Загадка с 9 квадратами

Обновлено: 22.11.2024

Поэтому сегодня я предлагаю вам достаточно необычный тест на смекалку! Мне его показал дядя, когда я был совсем маленький. И скажу вам честно - тест до сих пор заставляет меня вспоминать его слова, которые он сказал мне спустя два часа после моих раздумий. В конце статьи я поделюсь этой мудростью, а пока давайте вернемся к тесту.

Послесловие

Возможно, решение этой задачи поможет вам сделать что-нибудь вроде такого шкафа:

Или еще что-нибудь не менее прекрасное.

Вообще, вопросы о разрезаниях разных фигур на специфические части обычно бывают интересными и красивыми. Причем рассчитаны они могут быть на самую разную аудиторию: задачки такого рода часто дают на математических кружках, но, как мы только что убедились, бывают и не очень «кружковские» задачи.

Про разрезания именно прямоугольников известно многое. Вполне очевидно, что если отношение сторон прямоугольника рационально, то его можно разрезать на одинаковые квадраты. А если можно резать на необязательно одинаковые квадраты, то что тогда? В 1903 году Макс Ден (Max Dehn) доказал, что и в этом случае отношение сторон прямоугольника должно быть рационально (кстати, имя этого немецкого математика уже встречалось ранее в одной из задач на «Элементах»). Его доказательство было сложным, но позднее был придуман более простой способ. Вкратце его суть такова. Оказывается, по любому разрезанию прямоугольника можно построить специальную электрическую цепь, и это сопоставление настолько удачно, что условия состыкования сторон квадратов идентичны правилам Кирхгофа для этой цепи. Поскольку эти правила позволяют полностью рассчитать электрическую цепь, то это позволяет найти и размеры квадратов. Подробнее об этом можно прочитать в статье М. Скопенкова, М. Прасолова и С. Дориченко «Разрезания металлического прямоугольника» («Квант» №3, 2011), на основе которой был подготовлен этот материал.

Есть еще одна похожая по формулировке задача про разрезание прямоугольников: прямоугольник как-то разрезан на прямоугольники, причем известно, что хотя бы одна из сторон каждого из них имеет целую длину; требуется доказать, что тогда и у большого прямоугольника будет целая сторона. А вот решение у нее довольно далекое от рассмотренных выше идей. Если у вас не получится решить эту задачу, то прочитать ее решение можно, например, здесь.

Подсказка

Можно, конечно, просто взять линейку и измерить длины отрезков на рисунке, но этот способ не очень хороший по двум причинам. Во-первых, точность таких измерений не слишком высока и ответ получится лишь приближенный. Во-вторых, если бы в нашем распоряжении оказалась картинка «под углом», то истинные длины сторон на ней были бы искажены, и тогда пришлось бы еще думать, что делать с измерениями. Но можно найти стороны прямоугольника абсолютно точно, и знать для этого необходимо только схему разрезания. Для этого нужно составить систему уравнений, приняв за неизвестные длины сторон квадратов и прямоугольника.

Что нужно делать?

Задача простая надо соединить 9 точек 4 линиями, не отрывая руки от экрана. Сами точки вы можете найти на изображении ниже

Следующая загадка

Перед вами прямоугольник, разделённый на 9 квадратов.

Сторона самого маленького квадрата (красного цвета) равна 4 см.

Узнайте площадь большого прямоугольника (фиолетового цвета).

Стоит отметить, что данная задачка произошла от задачи, известной как квадрирование квадрата , или проще говоря разбиение квадрата на определённое (конечное) число квадратов меньшего размера.

Решение

Как уже было отмечено в подсказке, эта задача вовсе не по геометрии (как могло бы показаться), а по линейной алгебре. Причем, решается она довольно просто. Нужно лишь не побояться сначала ввести много обозначений.

Рис. 1. Пронумеруем квадраты

Итак, пусть x и y — ширина и высота большого прямоугольника, которые мы ищем. Пронумеруем квадраты, как показано на рисунке 1, и обозначим сторону квадрата с номером i через z_i. Переменные уже есть. А откуда взять уравнения? Посмотрим внимательно на рисунок 1: видно, что некоторые стороны квадратов «хорошо» примыкают друг к другу. Например, белый квадратик дополняет сторону красного квадрата до стороны оранжевого. Еще пример: белый вместе с желтым по высоте занимают столько же, сколько голубой с пурпурным. Эти условия стыковки и позволяют написать уравнения. Получится система линейных уравнений, которую запишем в два приема. Сначала выпишем уравнения, которые отвечают вертикальным стыкам:

Последнее уравнение описывает примыкание третьего и восьмого квадратов к правой стороне прямоугольника. Но оно следует из предыдущих уравнений (проверьте это), поэтому далее его не учитываем. Теперь выпишем уравнения на горизонтальные стыки (условие для нижней стороны пропускаем по той же причине):

Объединим всё в одну систему, из которой нам и нужно найти x и y:

Для решения систем линейных уравнений давно придумано множество методов. Но в нашем случае можно обойтись и без привлечения мощных теорий, а просто последовательно выражать одни переменные через другие и делать соответствующие подстановки, постепенно упрощая систему. Удобно выражать переменные через z₅: z₂ = 1 + z₅, значит z₁ = 2 + z₅, значит z₄ = 3 + z₅. Уже можно явно вычислить сторону голубого квадрата: z₆ = 1 + z₄ – z₅ = 4. Продолжая в том же духе, несложно найти стороны остальных квадратов, а вместе с ними и стороны прямоугольника: x = 32, а y = 33.

Следующая загадка

В наших школьных учебниках таких задач не встретишь. Зато такие задачи встречаются под звездочками, на олимпиадах. Подобная задача была в каком-то американском сборнике тестов. Не знаю для кого предназначался этот тест, потому что не видел обложку. Поэтому мне сложно оценить уровень американских школьников (или студентов?), но российские школьники задачку решили. Хотя не все.

Попробуйте решить и вы. Надо найти площадь большого красного треугольника, в который вписаны три квадрата с известными площадями.

Площадь черных квадратов известна: 4, 36 и 9. Надо найти площадь красного треугольника. Площадь черных квадратов известна: 4, 36 и 9. Надо найти площадь красного треугольника.

Следующая загадка

Прямоугольник разрезан на 9 квадратов, как показано на рисунке. Сторона маленького белого квадрата равна 1.

Найдите стороны прямоугольника.

Решение

Сначала делаем самое очевидное — находим стороны квадратов: 2, 6 и 3 соответственно. Теперь смотрим на средний правый треугольничек, образованный сторонами большого и среднего квадратов, и на нижний правый. Я обвел их розовых и зеленым (правда, зеленый не очень похож на зеленый).

Эти два маленьких треугольничка подобны по двум углам. И мало того, что они подобны, они ещё равны и равнобедренны. Длина равных бедер равна 3. Почему? Смотрите на рисунке выше, там все довольно подробно и четко нарисовано. Из всего этого мы делаем вывод, что правый нижний отрезок большого треугольника (от квадрата со стороной 3 до угла) равен трём.

Теперь перемещаемся к аналогичным треугольникам слева. Смотри рисунок ниже. Средний и нижний треугольники снова подобны. Но уже НЕ равны и НЕ равнобедренны. Коэффициент подобия этих треугольников k=2, а катеты соотносятся как 1:2. На рисунке ниже снова всё хорошо видно, поэтому не буду дополнительно пояснять, как мы получили, что левый отрезок (от угла до квадрата со стороной 2) равен единице.

Читайте также: