Загадка про бесконечный отель
Обновлено: 25.12.2024
Но как определить, что все приехавшие на автобусе разместились?
Я себе это так представляю, приехал автобус, мы освободили им номера и гости телепортировались в свои номера. После чего мы выглядываем на улицу, а там стоит все та же бесконечность, так как все до последнего разместиться не могут, так как нет последнего.
Или тут имеется в виду, что они будут бесконечно идти в свои номера, но так никогда и не разместятся все?
7 лет назадУстанавливаем взаимно-однозначное соответствие между чётными номерами и уже заселёнными посетителями (и те, и другие бесконечны и счётны).
Потом устанавливаем взаимно-однозначное соответствие между освободившимися нечётными номерами и вновь прибывшими посетителями.
Бесконечное число гостей
Если вы смогли найти комнату для одного гостя значит вы замечательный администратор. Но всегда есть простор для улучшения ваших навыков. Представьте что в полностью заполненный бесконечный отель приехало бесконечное число гостей. Как бы вы поселили бесконечное число гостей, при этом не выселяя никого из бесконечного числа постояльцев?
Задача стала интереснее. Может ли бесконечность вместить еще одну бесконечность? Для решения предыдущей задачи мы переселили каждого гостя на один номер вперед. Этот подход можно применить для любого конечного числа постояльцев. Если n номер комнаты постояльца, а m число прибывших гостей, тогда каждого постояльца надо переселить в номер n+m , чтобы освободить m номеров для m гостей. Но что если число гостей бесконечно, то есть m=∞ ?. Чему равно n+∞ ? Давайте попросим «Вольфрам Альфа» дать нам ответ: n+∞=∞ . То есть, надо переселить каждого постояльца на ∞ номеров. Нет, это нам не подходит. Но задача имеет решение, давайте взглянем на определение четного числа:
Четное число — целое число, которое делится без остатка на 2.
Что если мы возьмем номер постояльца и умножим его на два? В результате мы получим четное число, так как оно будет делится на два. Следовательно если мы переселим каждого гостя из номера n в номер 2×n , n→2×n , мы получим бесконечное число нечетных свободных комнат, и мы сможем поселить бесконечное число гостей. Только не спрашивайте сколько времени займет переселения гостя из комнаты номер 8140406085191601 в комнату номер 16280812170383202 .
Этот парадокс хорош тем, что он отлично показывает странные, но вполне логичные свойства бесконечности в простых и понятных сущностях. Посмотрите так же этот интересный ролик:
Следующая загадка
Эту задачу предложил немецкий математик Давид Гильберт где то в третьем десятилетии 20 века. Давид был одним из величайших умов своего времени. Среди большого числа его учеников, которые в последствии стали видными учеными, был Джон Фон Нейман. Он так же консультировал Эйнштейна при разработке тензорного анализа — фундамента теории относительности.
Следующая загадка
Все мы любим головоломки. И забавно, что эта любовь не имеет возрастных границ. С возрастом мы так же любим поломать голову над какой-нибудь сложной загадкой, а когда наконец приходим к её отгадке, хочется прыгать от радости и поделиться ею со всем миром. Эта статья посвящена головоломке, основанной на математическом парадоксе.
«И сказал Бог: да будет свет. И стал свет». (Третий стих книги Бытия)
ВОТ ТАКАЯ ГОЛОВОЛОМКА
В чём суть этого парадокса «Гранд-отель»?
Предположим, что на планете Титан есть отель со счётным бесконечным множеством номеров, начиная от первого и до бесконечности. Счётное множество является бесконечным, если оно имеет взаимно-однозначное соответствие с натуральными числами, такими как 1, 2, 3 и так далее до бесконечности.Этот отель известен на всю Вселенную. Каждый вечер в нём останавливается бесчисленное количество людей. И вот однажды отель оказался заполнен постояльцами. Теперь управляющий отеля ломает голову над тем, где разместить будущих посетителей.
ЭПИЛОГ
Приём в «Гранд-отеле» имел грандиозный успех!Всем очень понравилось отдохнуть в нём.Это был праздник галактического масштаба,который теперь будут отмечать ежегодно.
«Да будет свободный номер. И свободный номер появился!». (Управляющий бесконечного «Гранд-отеля»).
И в следующий раз, когда вам понадобится номер в отеле, загляните в этот бесконечный отель. Здесь для вас всегда найдётся свободный номер. Разве что ближе к вечеру, возможно, придётся переместиться в один из соседних номеров. 😉
Спасибо, что дочитали. А вы хотели бы остановиться в этом бесконечном отеле?
Один гость
Напомню вам условие задачи для одного гостя из предыдущей статьи:
Представьте себе гостиницу с бесконечным числом комнат. Комнаты пронумерованы натуральными числами, от 1 до ∞. В один прекрасный день в нашу гостиницу вошел человек и попросил снять комнату. К сожалению, для нашего гостя не нашлось комнаты, так как именно в этот день отель был полностью заполнен бесконечным числом гостей. Выгнать гостя? Или все же есть возможность предоставить ему свободную комнату не выселяя никого из постояльцев?
Несмотря на то, что задача явно говорит что все номера заняты, мы все же можем выделить сколько угодно свободных комнат. Давайте просто переселим человека из первой комнату во вторую, человека из второй комнаты в третью и так далее. То есть, каждого гостя из комнаты с номером n переселим в комнату с номером n+1 , n→n+1 . В результате этого у нас освобождается комната с номером один, и мы с радостью можем поселить нашего нового гостя.
Следующая загадка
Действия могут повторяться для любого конечного числа новых гостей. Если, скажем, туристический автобус привезёт 40 человек для размещения, тогда каждый постоялец просто переедет из комнаты n в комнату n+40, таким образом освобождая первые 40 комнат.
Теперь приезжает бесконечно большой автобус со счётным бесконечным количеством пассажиров, желающих снять комнаты. «Счётное бесконечное» — ключевое понятие. Автобус с бесконечным количеством пассажиров сначала сбивает с толку менеджера, но он находит способ разместить новых гостей. Он просит гостя из комнаты No 1 перейти во комнату No 2. Потом он просит гостя из комнаты No 2 переместиться в комнату No 4, гостя из комнаты No 3 — в комнату No 6 и так далее. Каждый постоялец переезжает из комнаты n в комнату 2n, заполняя только бесконечное количество чётных комнат. Таким образом, он освободил бесконечное количество нечётных номеров, которые потом занимают пассажиры бесконечного автобуса.
Все счастливы и гостиничный бизнес процветает лучше, чем когда-либо. Вообще, он процветает так же, как и всегда, принося бесконечное количество долларов за ночь. О потрясающем отеле разносятся слухи. Люди съезжаются отовсюду. Как-то ночью происходит невообразимое. Ночной менеджер смотрит на улицу и видит нескончаемую череду бесконечно больших автобусов со счётным бесконечным количеством пассажиров. Что же ему делать? Если он не найдёт для них комнат, отель понесёт бесконечные убытки, и он точно лишится работы. К счастью, он вспоминает, что примерно в 300 году до нашей эры Евклид доказал существование бесконечного количества простых чисел.
Так как в каждом таком числе только единица и степень с натуральным показателем простого числа могут быть множителями, то номерá комнат не совпадают. Все пассажиры автобусов распределяются по комнатам с помощью уникальной схемы определения комнат, основанной на уникальных простых числах. Так ночной менеджер может расселить каждого пассажира из каждого автобуса. Хотя останется множество незанятых комнат, таких как шестой номер, поскольку 6 не является степенью простого числа. К счастью, начальники не так хороши в математике, поэтому его должность в безопасности.
На один уровень сложнее O(INFINITE)
Мяяяу очень понравилось её пребывание в бесконечном отеле.Два месяца спустя, в рождественский сочельник, она появилась снова, но уже не одна, а со всеми жителями своей планеты, прилетев на специальном звездолёте!И все они хотят остановиться в этом бесконечном отеле.Но самое интересное: число жителей её планеты Р-616 не является конечным.Оно бесконечно.
Здесь логика перемещения (N + бесконечность) не применима. Но в таком случае каково же будет решение?
Давайте не складывать, а умножать. На 2. Постоялец первого номера переместится во второй номер, постоялец второго — в четвёртый, третьего — в шестой. В общем случае постоялец номера N переместится в номер (2 * N). Заметили закономерность? Все чётные номера заселяются теми, кто уже являются постояльцами отеля, а все нечётные номера освобождаются для вновь прибывающих. И таким образом, все нечётные номера (число которых бесконечно) могут быть заняты новыми, вновь прибывшими посетителями, число которых также бесконечно.
Так сложно и в то же время так просто O(FINITE)
Тут открылись главные ворота.Управляющий поднял взгляд и застыл в изумлении.За всю свою жизнь он не видел такой очаровательной и ослепительной дамы.Она подошла к стойке администратора и сказала: «Монсеньор, меня зовут Мяяяу.Я — представитель планеты Р-616 из Шелковистой Галактики.Ваш отель знаменит на всю Вселенную, поэтому я решила остаться здесь на ночь.Не могли бы Вы выдать мне ключ-карту от моего номера?».
Так как это бесконечный отель, в нём всегда остаётся ещё один номер для заселения. Но управляющий не может предоставить ей любой номер, так как все гостиничные номера (не только 1-й, 2-й, 3-й, но и, скажем, 1284742018764398976755836-й) уже заняты. Так неужели заселить её в отель не получится? Было бы обидно отказать такой красотке 😉 Ну, конечно же, управляющий найдёт ей номер. А теперь оторвитесь от чтения, сделайте паузу и немного подумайте.
Предположим, мы попросим её занять первый номер. Но он ведь уже занят, верно? Куда девать его постояльца? Мы попросим его переселиться во второй номер, а постояльца второго номера — в третий и так далее. Таким образом, все постояльцы переселяются каждый в следующий, соседний номер. То есть в общем случае постоялец из номера N переселится в номер (N + 1). Но отель ведь бесконечный и всегда остаётся ещё один номер, поэтому ни у кого проблем с заселением не возникнет.
Следовательно, применяя такую логику перемещения постояльцев из одного номера в другой, можно для любого конечного числа прибывающих посетителей отеля найти номера для заселения. Если в отель прибыли M посетителей, то первые M номеров можно освободить, переселив каждого постояльца из номера N в номер (N + M). В таком случае эти М освободившихся номеров смогут занять M вновь прибывших посетителей.
Преодолевая все ограничения O(INFINITE of INFINITE)
На межвселенских галактических переговорах был принят закон, согласно которому все жители всех планет в назначенную дату одновременно должны заселиться в этот отель.Чтобы вы понимали: количество этих планет бесконечно, и число жителей каждой из них бесконечно,и все хотят остановиться в отеле одновременно.Как же их всех разместить?
Мы не можем здесь проделать предыдущий трюк: нечётно-чётная стратегия применима лишь в случае одной планеты с бесконечным числом жителей. А как быть с другими планетами? Подумайте немного об этом, прежде чем идти дальше. Ну хорошо, дам подсказку: согласно теореме Евклида существует бесконечно много простых чисел.
Итак, давайте возьмём первое простое число 2. Теперь переместим постояльцев в их новые номера. Для этого число 2 возводим в степень, соответствующую занимаемому ими номеру. Так постоялец первого номера переместится в номер 2¹. Постоялец второго номера переместится в номер 2². Постоялец третьего номера переместится в номер 2³. В общем случае постоялец номера N перемещается в номер 2^N. А как насчёт первой планеты с бесконечным числом жителей? Возьмём число 3 и будем возводить его в степень, соответствующую порядковому номеру каждого прибывающего с этой планеты, и таким образом предоставим им всем номера. Первому — номер 3¹, второму — номер 3² и т. д. Так, P-й прибывший будет заселён в номер 3^P. Эта же логика будет применяться и в отношении прибывающих со всех остальных планет, то есть 5^P, 7^P, 11^P, 13^P и т. д. Теперь, когда каждому постояльцу соответствует его степень простого числа, все постояльцы будут размещены каждый в отдельном номере! Так что у нас есть способ принять бесконечное количество прибывающих с бесконечного количества планет — infinite of infinite!
Читайте также: