Основные понятия логики высказываний

Обновлено: 06.10.2022

Логика как самостоятельная наука возникла в IV веке до н.э. в трудах Аристотеля , который опираясь на накопленные до него знания, дополнил их собственными и создал систему формального логического вывода , которая заключается в том, что в рассуждениях одни предложения исходят из других через определенную связь между их формой и структурой независимо от их содержания.

Революционные научные волнения конца XIX - начала ХХ века затронули и логику Аристотеля, путем реализации идеи Г. В. Лейбница , предложенной им еще в конце ХVII века , о применении в логике математической символики и построений логических исчислений . Эта идея реализована в работах Д. Буля , Ч.С. Пирса, Ф. Л. Г. Фреге , наряду со многими исследованиями других ученых.

Классическая математическая логика включает два основных раздела: логику высказываний и логику предикатов. Для их построения существуют два подхода ( языка ) , на основе которых основаны два варианта формальной логики: алгебра логики и логическое исчисление . Между основными понятиями этих языков имеет место взаимно однозначное соответствие, но строго говоря эти термины не синонимы .


Рисунок 1.1 – Составные части классической математической логики

По своей сути логика высказываний - это наука про размышления, предпосылки и выводы которых складываются из высказываний.

Определение 1.1.1. Высказыванием называют осмысленное выражение обычного языка, которому можно приписать значения истинности.

Таким выражением может стать утверждение или повествовательное предложение, о котором можно сказать, истинное оно или ложное. Следует иметь в виду, что в логике высказываний нет средства, чтобы установить истинность или ложность простого высказывания. Если истинность и ложность нельзя установить вообще (то есть с помощью других наук), то такое высказывание не рассматривается (например: указательные высказывания, бессмысленные утверждения).

Определение 1.1.2. Значенние истинности – это абстрактный объект, которой ставится в соответтствии с высказыванием: истина – когда высказывание отвечает действительности, ложь – когд а высказывание не отвечает действительности .

Обозначают : “Истина ” – И, T (True), или 1; “Ложь” – Л, F (False) або 0.

Пример 1.1.1. Определить какие из данных предложений являются выражениями:

Днепр впадает в Черное море;Днепр впадает в Азовское море;Кто вы?;

Расстояние от Земли до Сонця равняется 150 млн км ”.

Решение. Первые два предложения являются высказываниями, причем первое является истинным, а второе – ложным высказыванием. Третье предложение не является высказыванием, поскольку оно не повествовательное. Четвертое предложение также не является высказыванием. Его истинность или ложность зависит от определенной точности.

Классическая логика высказываний оперирует только двумя значениями истинности: И и Л, но не одновременно одним и другим, поэтому ее называют двузначной или бинарной логикой.

Повествовательные предложения могут быть простыми и сложными. Каждое простое предложение может быть утверждением и не может быть разбито на более мелкие предложения.

Определение 1.1.3. Атомом (элементарным высказыванием) называется такое высказывание, которое является простым повествовательным предложением, т.е. не имеет составных частей.

Для обозначения атомо используют, как символы, буквы латинского алфавита с индексами или без них.

Сложные предложения, как правило, состоят из простых предложений, соединенных союзами. То есть простые предложения, которые представляют атомы и союзы, являются элементами словаря, необходимого для формализации естественного языка с помощью логики высказываний. Значение истинности сложного высказывания определяется значениями истинности его составных частей.

Алгебра высказываний полностью абстрагуруется от смыслового значения высказываний, принимая во внимание только их предметное значения, то есть денотат, которым выступают такие абстрактные объекты, как "истина" и "ложь".

Определение 1.1.4. Интерпретацией высказываний называют приписывание значений истинности атомам, из которых построены высказывания.

Если высказывания содержат n атомов, то можно составить 2 n и нтерпретаций.

Определение 1.1.5. Однозначно определенным высказыванием називают высказывания, значение истинности которого не зависит от ситуации. Например, “ 3 3=9= И . Но существуют высказывания, которые могут принимать разные значения . Например, “ Завтра будет снег ”, можно придавать значение “И стина ” и “ Ложь ” в зависимости от конкретной ситуации.

1.2. Высказывания и логические связки

Определение 1.2.1. Логика высказываний это алгебрагическая структура

, X , I [TEX]\rangle [/TEX] с носителем – двоичным множеством < Л : “Ложь”, И : “Истина”>, операциями – логическими связками: “ [TEX]\wedge [/TEX] ” - конъюнкция, “ [TEX]\vee [/TEX] ” - дизъюнкция “ ¬ ”– отрицание, “ ” – импликация, “

” – эквивалентность и константами : Л – ложь и И – истина.

В обычном языке для образования сложного предложения из простых предложений используют служебные слова – связки : “ и ” , “ или ” , “ неправильно, что ” и другие. Например два предложения “ Я поеду летом к морю ” и “ Я поеду летом в горы ” можно объединить связкой “ или ” в одно сложное предложение “ Я поеду летом к морю или в горы ” . Здесь связку “ или ” нельзя присоединить ни к первому, ни ко второму простому предложению, она обслуживает одновременно оба простых предложения и поэтому называется бинарной . Например, в предложении “ Неправильно, что жителей в Киеве меньше, чем во Львове ” происходит противоречие

В Киеве меньше жителей, чем во Львове ”. Связка “ неправильно, что … ” является унарною, потому что применяется к одному предложению. Кроме рассмотренных, существуют связки : “ если ”, “ если … то ”, “ и ”, “ тогда ”, “… тоогда и только тогда ”, “ а ”, “ нет ” и другие.

Логические связки можно рассмотреть как формальные обозначения связок, которые им соответствуют, табл. 1.2.1.

Читайте также: