Загадка про три двери

Обновлено: 24.12.2024

Я думаю, большая часть из вас, дорогие пикабушники, слышала об этом парадоксе, который по сути-то и не является настоящим парадоксом. Он назван так только потому, что простая человеческая интуиция никак не может принять обоснованный логический ответ и упорно сопротивляется. В этом посте я хотел бы рассказать об этом парадоксе тем, кто о нем не слышал, и постараться объяснить на пальцах, почему решение именно такое.

Ну что ж, начнем с самой формулировки:

"Представьте, что вы стали участником игры, в которой вам нужно выбрать одну из трёх дверей. За одной из дверей находится автомобиль, за двумя другими дверями — козы. Вы выбираете одну из дверей, например, номер 1, после этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, а где — козы, открывает одну из оставшихся дверей, например, номер 3, за которой находится коза. После этого он спрашивает вас — не желаете ли вы изменить свой выбор и выбрать дверь номер 2? Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор?"

Сначала попробуйте подумать сами над этой задачей и прийти к ответу.

Многие отвечают, что если изменить выбор двери, то ничего изменится, т.к. дверей осталось всего две, то есть вероятность выигрыша 50 на 50. Но это неверный ответ. Правильный ответ таков, что при смене двери шансы выиграть автомобиль увеличиваются аж в 2 РАЗА! Однако, казалось бы, почему если в конце произвольный выбор из двух дверей, то вероятность должна быть не 50 на 50? А все потому, что от начального выбора двери (когда их 3 закрытых),и будет зависеть то, какая дверь будет выбрана в конце.

Давай-те же теперь подробно разберемся, почему так происходит.

Думаю, всем очевидно, что в начале шанс указать из трех дверей на дверь с автомобилем равна 1/3, а на одну из дверей с козой, соответственно, - 2/3. И давайте теперь разберем все возможные случаи того, как может происходить игра.

1)Предположим, что в начале игрок выбрал дверь с автомобилем (вероятность этого 1/3)

а)Игрок не меняет дверь, он выиграл АВТОМОБИЛЬ! (+)

б)Игрок меняет дверь и уходит домой с одной козой :(( (-)

2)Предположим, что в начале игрок выбрал дверь с козой (вероятность этого 2/3)

а)Игрок не меняет дверь и, опечалившись, уходит домой с козой (-)

б)Игрок меняет дверь и радостный уезжает на АВТОМОБИЛЕ домой (+)

Посмотрев на все возможные варианты развития событий, можно заметить, что при смене двери игрок уходит с козой, только если изначально была выбрана верная дверь, вероятность чего 1/3, а в ином случае с вероятность 2/3, он забирает ключи и валит из этого заведения на новенькой (или не очень) машине.

Ну вот и все, надеюсь Вам было интересно и понятно, что я написал. Также надеюсь, что Вам стал понятен ответ в этой вызывающей споры и большие дискуссии задаче :)

Всем пока и удачного дня)

P.s. Мой первый пост, однако судите, как хотите. Мне не нужны все эти "судите не строго", мне нужна конструктивная критика.

Найдены возможные дубликаты

5 лет назад Мой корешь из-за этого парадокса квартиру в наперстки проиграл у вокзала. Там тоже выбор из 3 стаканчиков был. 1 год назад ответный пост

На самом деле никакого парадокса нет. Дурят вашего брата! Нужно только осознать, что на самом деле, ты выбираешь дверь 2 раза. Просто представь себе, что дверь с баранами,которую открывает этот хитровыношенный муфлон - это твоя первая попытка! Тогда задачка сводится к элементарной рядовой задачке тервера. Вероятность промаха в первой попытке 2/3. Вероятность промаха во второй попытке 1/2. Вероятность промаха в двух попытках 2/3Х1/2=2/6=1/3.

Вероятность попадания 1-1/3=2/3. И никаких парадоксов.

2 года назад

У меня делема по поводу тех трех дверей. Действительно вероятность успеха при смене двери повышается в 2 раза, но зато вероятность неудачи при условии того что дверь не меняется падает в 2 раза.

Объяснение, три двери , к примеру, одна с подарком, две пустые. В фильме действительно при выборе другой двери вероятность того что там будет подарок(мазератти) повышается на 33,3% и становиться равной 66,6%.

Но что будет если пойти от обратного , что если во время выбора я изначально буду стараться выбрать неправильную дверь.То есть, в тот момент когда там будут 3 двери, и ,к примеру, я выберу специально неверную дверь, первоначально вероятность того что дверь выбранная мною без подарка равна 66% (2/3) , но в тот момент когда дверей остается только две, вероятность того что дверь выбранная мною не содержит подарок падает в 2 раза . В итоге мы имеем две закрытых двери и одну пустую открытую. пусть пустая дверь это №1, выбранная мною №2, и оставшаяся закрытой №3. После исключение первой двери, вероятность в которой была 33% присутствия и 66% отсутствия подарка, вероятности перераспределяются . На втором этапе когда остаются только 2 двери , вероятность что в моей подарок остается 33%, но вероятность того что в моей двери подарка нет падает с 66% до 33% , и становиться 33%/33%, то есть 1/1, а это 50/50. А вероятность того что в двери №3 подарок повышается на 33% и становится 66%, но вероятность отсутствия в нем подарка остается неизменной 66%, из этого получается что в двери №3 вероятность присутствия и отсутствия подарка 66%/66% , то есть 1/1, а это 50/50.

Если же изменить логику и предположить что вся вероятность с двери №1 переносится в дверь №3, а вероятность в моей 2 двери остается неизменной, то получается что вероятность 33% неудачи и 66% успеха одинаково переносится от двери № 1 к двери №3, в итоге получается что в двери №3 вероятность: 1.подарок есть= 33+33=66% 2.подарка нет=66+66=132% , а из этого удача/неудача 3. 66%/132% =0.5, то есть 50%.Так же 33%(удачи)/66%(неудачи)=0,5=50% в двери №2 .

Следующая загадка

Возможно, вы слышали об этом парадоксе, который по сути-то и не является настоящим парадоксом. Он назван так только потому, что простая человеческая интуиция никак не может принять обоснованный логический ответ и упорно сопротивляется.

Ну что ж, еще раз формулировка:

"Представьте, что вы стали участником игры, в которой вам нужно выбрать одну из трёх дверей. За одной из дверей находится автомобиль, за двумя другими дверями — козы. Вы выбираете одну из дверей, например, номер 1. После этого ведущий который знает где находится автомобиль, а где — козы, открывает одну из оставшихся дверей, например, номер 3, за которой находится коза. После этого он спрашивает вас — не желаете ли вы изменить свой выбор и выбрать дверь номер 2? Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор?"

Распределение вероятностей. Из тех, кто менял дверь (нижний левый угол). Двое получили машину и один — козу. Из тех, кто не менял (нижний правый угол) — наоборот. Распределение вероятностей. Из тех, кто менял дверь (нижний левый угол). Двое получили машину и один — козу. Из тех, кто не менял (нижний правый угол) — наоборот.

Многие отвечают, что если изменить выбор двери, то ничего изменится, т.к. дверей осталось всего две, то есть вероятность выигрыша 50 на 50. Но это неверный ответ. Правильный ответ таков, что при смене двери шансы выиграть автомобиль увеличиваются аж в 2 РАЗА ! Однако, казалось бы, почему если в конце произвольный выбор из двух дверей, то вероятность должна быть не 50 на 50? А все потому, что от начального выбора двери (когда все три закрыты) и будет зависеть то, какая дверь будет выбрана в конце.

Давайте теперь подробно разберемся, почему так происходит.

Всем очевидно, что вначале шанс указать из трех дверей на дверь с автомобилем равна 1/3, а на одну из дверей с козой, соответственно, 2/3. И давайте теперь разберем все возможные случаи того, как может происходить игра.

1. Предположим, что вначале игрок выбрал дверь с автомобилем (вероятность этого 1/3)

а) Игрок не меняет дверь, он выиграл АВТОМОБИЛЬ! (+)

б) Игрок меняет дверь и уходит домой с одной козой (-)

2. Предположим, что в начале игрок выбрал дверь с козой (вероятность этого 2/3)

а) Игрок не меняет дверь и, опечалившись, уходит домой с козой (-)

б) Игрок меняет дверь и радостный уезжает на АВТОМОБИЛЕ домой (+)

Посмотрев на все возможные варианты развития событий, можно заметить:

1) Если сначала игрок выбрал дверь с авто, то изменив - теряет авто ( шанс 1/3 выбрать изначально АВТО, т.е. минимальный);

2) Если сначала выбрал дверь с козой, то изменив - получаем авто ( шанс 2/3 выбрать изначально КОЗУ, т.е. максимальный).То есть, изменив выбор, в 2/3 случаях игрок получает автомобиль.

Парадокс

Парадокс впервые был сформулирован американским математиком Стивом Селвином ещё в 1975 году, но широкую известность он приобрёл благодаря популярному игровому шоу «Давайте заключим сделку». В честь ведущего этой телевикторины, которого звали Монти Холл, парадокс и получил своё название.

В чём же суть парадокса Монти Холла?

Представьте, что перед вами три двери, как показано на рисунке ниже. За двумя дверьми находятся козы, за одной — автомобиль. Надо угадать дверь с автомобилем, и он ваш.

Казалось бы, ничего сложного. Но, как говорилось в одном фильме: «Если бы задача так просто решалась, то армянское радио этим бы не занималось». В своей передаче, после того как участник выбирал дверь, Монти всегда открывал одну из дверей с козой и предлагал ему поменять свой выбор. А вы поменяли бы или нет?

Этот вопрос многих ставит в тупик. Люди обычно думают: «Ну какая разница: остались две двери, и машина может с одинаковой вероятностью 50% оказаться как за одной, так и за другой дверью?». … И оказываются неправы. Правильный ответ — всегда менять первоначальный выбор. Поступая так, вы удваиваете свои шансы на победу.

Удивлены? Такой ответ для многих становится откровением: мало кто ожидает этого. Давайте подробно разберёмся, как так получается.

Итак, вы выбрали одну из трёх дверей. Вероятность того, что машина окажется именно за ней, составляет 1/3. А вероятность того, что она окажется за одной из двух оставшихся (то есть не выбранных вами) дверей, будет 2/3. Это должно быть понятно.

На рисунке у нас наглядно показаны эти вероятности: 1/3 слева и 2/3 справа.

Теперь Монти открывает одну из невыбранных дверей — тех, что справа. И открывает он всегда ту, за которой коза.

Вероятности остаются неизменными: 1/3 слева (ваш первоначальный выбор) и 2/3 справа. Изменилось лишь то, что справа одна дверь теперь открыта, но вероятность для оставшейся неоткрытой двери здесь та же, что была прежде для обеих.

Если не совсем понятно, попробуем объяснить на примере с десятью дверьми.

Выбранная вами дверь будет слева, остальные девять — справа (как на рисунке ниже). Вероятность того, что вы угадали дверь с машиной, будет 1/10. Вероятность того, что вы не угадали и машина окажется за одной из оставшихся девяти дверей, будет 9/10.

Дальше Монти открывает восемь из этих невыбранных девяти дверей, причем за всеми восемью — козы. Как поступить теперь: поменять свой выбор или нет? Конечно, поменять! Ведь теперь восемь из девяти дверей справа открыты, а вероятность того, что машина окажется за оставшейся девятой дверью (как мы уже посчитали ранее), равна 9/10.

Ответ на вопрос станет ещё очевиднее, если представить, что Монти даёт вам возможность открыть не одну оставшуюся справа неоткрытой дверь, а сразу все девять!

Вот и всё. Это так просто! Однако важно не забывать, что всегда есть вероятность проигрыша. Верное решение определяется стратегией. Правильная стратегия — делать так, чтобы шансы на победу были максимальными или хотя бы такими, которые позволяют больше выигрывать, чем проигрывать.

Следующая загадка

Парадокс Монти Холла — это одна из тех математических задач, над решением которой уже долгое время бьются многие умы, и даже всемирно известных математиков она приводит в затруднение. Хотя идея, лежащая в основе этого парадокса, предельно ясна и понятна. Задача эта, строго говоря, и не парадокс вовсе, но называется так из-за неочевидности и парадоксальности предлагаемых решений и объяснений, которые становятся поводом для самых жарких дискуссий в Интернете. Их накал уступает, пожалуй, лишь спорам из-за оптической иллюзии так называемого «платья раздора» и аудиоиллюзии «Янни и Лорел». Предлагаемое здесь объяснение призвано раз и навсегда развеять все связанные с этим парадоксом вопросы и очень доходчиво разъяснить всем интересующимся его суть.

Парадокс

В чём же суть парадокса Монти Холла?

На рисунке у нас наглядно показаны эти вероятности: 1/3 слева и 2/3 справа.

Следующая загадка

Усложняем задачу

Предположим, Монти хочет усложнить для вас задачу и открывает лишь одну дверь с правой стороны. Как вы поступите теперь: выберите одну из восьми закрытых дверей справа или не станете менять свой выбор?

Здесь придётся кое-что посчитать. Вероятность того, что машина окажется за одной из девяти дверей справа, равна 9/10. Разделим её на количество оставшихся неоткрытыми дверей (8):

Это будет вероятность того, что машина окажется за одной из восьми остающихся закрытыми дверей справа. И она чуть больше вероятности 0,1 (1/10), что первоначально выбранная вами дверь слева окажется с машиной. Поэтому вам всё же предпочтительнее поменять свой выбор, хотя шансы выиграть машину и в этом случае будут очень низкими. По этой же формуле можно посчитать вероятность для любого количества неоткрытых дверей.

Вот и весь парадокс Монти Холла вкратце. Не знаю, можно ли придумать более простое его объяснение? Я лишь выношу на ваш суд свой взгляд, отличный от тех, что изложены в большинстве других объяснений, в которых вы можете тоже почерпнуть много полезного. Надеюсь, что после прочтения статьи вы приблизились к пониманию парадокса Монти Холла.

Читайте также: