Логические загадки льюиса кэрролла

Обновлено: 25.12.2024

Льюису Кэрроллу были очень интересны логические задачки.
Он с огромным удовольствием развлекал своих маленьких друзей различными головоломками.

Он с увлечением играл словами, выстраивал силлогизмы, придумывал сориты.
Для Кэрролла язык не был просто набором символов и слов. В языке он видел пластический материал для проверки своих открытий.

Его смелые эксперименты опередили появление семантики и семиотики. Он разработал оригинальный вариант математической логики.

Попробуйте разгадать его знаменитую задачу о часах:

Какие часы чаще показывают правильное время — те, которые не работают, или те, которые отстают на одну минуту?
Льюис Кэрролл считал наиболее точными те, которые стоят.
Часы, которые опаздывают на одну минуту в сутки, показывают точное время один раз в два года, а стоящие часы — два раза в сутки.

Другая его знаменитая загадка про обезьяну и груз (1893 год):

Через блок, который прикреплен к потолку, переброшен канат. На одном конце прикреплен груз, на другом повисла обезьяна. Вес груза и обезьяны одинаков. Что произойдет с грузом, когда обезьяна начнет взбираться вверх по канату?
Эта задачка стала предметом многочисленных споров и дискуссий. Авторитетное жюри даже включило ее в перечень 400 наилучших логических задач в мире в специальном выпуске математического журнала The American Mathematical Monthly (1957 год). Очень редко физические задачи, составленные любителями, пользуются таким успехом.

«Какой же правильный ответ?» — спросите вы. Загвоздка в том, что решения задачи в таком виде не существует: оно зависит от дополнительных условий и предположений, которые вводятся при решении.

Особого мастерства Кэрролл достиг в решении соритов — логических задач, которые представляют цепочку силлогизмов, в которых изъятый вывод одного силлогизма служит посылкой другого.

Справка: силлогизм — рассуждение, состоящее из двух посылок и одного заключения. Решение силлогизма — это поиск заключения. Классический пример силлогизма:
Посылка 1: все люди смертны.
Посылка 2: Сократ — человек.
Заключение: Сократ смертен.

Льюис Кэрролл экспериментировал и применял новые методы синтеза и анализа силлогизмов и соритов.

В своей книге «Логическая игра» он обучает читателя графическим способом из двух суждений выводить третье.

Кэрролл предпочитал «инверсную силлогистику», которая «Все у — это m» выворачивает наизнанку «Ни один m не есть y». Льюис так любил закручивать текст посылки, что понять смысл порой сложно.

Например, его задачка про устрицу:

«Ни одно ископаемое животное не может быть несчастно в любви.
Устрица может быть несчастна в любви».
Какое заключение из этого можно сделать?
«Устрица — не ископаемое животное».
Книга «Логическая игра» была опубликована в 1887 году. Кэрролл не был знаменит как логик, поэтому, чтобы привлечь внимание к книге, он подписал ее своим уже известным сказочным псевдонимом.

Автор пытался оживить школьную логику с помощью метода диаграмм. Его метод позволяет сводить умозаключения к передвижению фишек на специальной игровой доске. Гилберт Честертон, мыслитель и писатель конца XIX — начала XX веков, назвал этот метод «геометрией мысли будущего».

Льюис Кэрролл предвосхитил то, что наши современники называют интерактивными методами. В книге «Символическая логика» 1889 года правила вывода сформулированы через словесные правила-формулы, с помощью которых заключения не требуют диаграмм и выводятся сразу, а в «Истории с узелками» приводит большое количество остроумных задач на логику.

Даже в сказках об Алисе чувствуется его любовь к логическим рассуждениям.

В задачах Льюиса Кэрролла раскрывается талант писателя и ученого. Серьезные по сути задачи он излагал легко и с юмором. Кэрролл соблюдал дисциплину мышления: в каждой задаче он оговаривал универсум и четко формулировал содержание терминов.

Историки науки признали логические работы Кэрролла опережающими время, а практически каждый логик сегодня знаком с его наследием. Но даже знать работы Льюиса еще не означает понимать их до конца.

Следующая загадка

Для компьютеризации содержательного рассуждения, основанного на выявлении взаимосвязей между сущностями рассматриваемых вещей, требуется адекватное представление исследуемых взаимосвязей, в первую очередь, наиболее значимой из них — содержательного следования. При истолковании x и y как особенностей, характеризующих исследуемые вещи, отношение содержательного следования x ⇒ y имеет место, когда сущность y содержится в сущности x, т. е. x = xy. Эта взаимосвязь не допускает совмещения особенности x с y' — противоположностью y, а x' — противоположность X должна содержаться в y': y' = x'у'. При этом о совместимости x' и y сказать ничего нельзя: они возможно совместимы, но могут быть и несовместимыми, — тогда имеет место эквивалентность x = у.

Указанный недостаток устраняется введением третьего значения, выражающего не необходимость, возможность. Обозначая несовместимость особенностей индексом 0, приписываемым к конъюнкции, и считая умалчиваемые конъюнкции не необходимыми, получим трехзначное обобщение булевой алгебры, допускающее три статуса членов ДНФ — «необходимо дан», «необходимо исключен» и «возможен». Наличие третьего-привходящего статуса позволяет непарадоксально выразить отношение содержательного следования:

(x ⇒ y) = xy ∨ x'y' ∨ xy'0.

Естественный способ выражения взаимосвязей между вещами изобрел Льюис Кэрролл, использовавший как средство для обучения содержательной логике силлогистику Аристотеля [1]. В его трехзначной алгебре логические взаимосвязи задаются совокупностями вещей, характеризуемых присущими им особенностями.

Характеристики вещей строятся посредством булевых связок. Конъюнкция обозначающих особенности букв-терминов выражает совместную присущность этих особенностей некоторой вещи, и представляет собой характеристику всех обладающих этой особенностью вещей — соответствующего класса вещей. Например, конъюнкция xy'z характеризует вещи, которым одновременно присущи три особенности х, y', и z. Умалчивание в характеристике класса особенности и ее противоположности означает несущественность для данной вещи соответствующего качества, например, вещи xz = xyz ∨ xy'z могут обладать как y, так и его противоположностью y', особенность y для xz-вещей несущественна. В общем случае особенности вещей представляются произвольными булевыми выражениями, которые для дальнейшего изложения удобно полагать приведенными в СДНФ.

Третье значение «несущественность» Кэрролл использует не только для умалчивания особенностей в характеристиках вещей, но и для обозначения возможного существования вещи в совокупности наряду с необходимым их существованием и несуществованием. Так если в методе диаграмм [1] клетка, соответствующая xy-вещам, занята красной фишкой (алгебраически Vxy), то в совокупности, соответствующей диаграмме, существуют xy-вещи, если черной фишкой (V'xy), xy-вещи исключены, а если клетка остается пустой — они возможны.

В логике Кэрролла исследуются всевозможные совокупности вещей, в том числе и такие, которым не соответствуют реальные взаимосвязи. Например, суждение «Ни один x не есть y». Кэрролл понимает как совокупность V'xy, в которой может не быть ни одного x и ни одного y, допуская таким образом отношения между несуществующими вещами, невозможные в силлогистике Аристотеля. Привести логику Кэрролла в соответствие с аристотелевским пониманием отношений можно, приняв предполагаемое в силлогистике применительно к качествам сосуществование противоположностей [3], — принцип, согласно которому каждая рассматриваемая особенность вместе со своей противоположностью должна быть представлена в рассмотрении хотя бы одной вещью, или, что то же самое, непустота классов x, x', y, y'. Благодаря соблюдению этого принципа, в силлогистике исключаются рассуждения о несуществующем, приводящие к парадоксам. Например, отношение следования x ⇒ y определяется в скорректированной логике Кэрролла совокупностью Vxy Vx'y' V'xy', где Vxy и Vx'y' означают необходимое — существование в совокупности xy- и x'y'-вещей, V'xy' — непременное отсутствие xy'-вещей, а x'y-вещи, о которых ничего не сказано возможны. Класс вещей, принадлежащих указанной совокупности характеризуется в алгебре, обобщенной введением третьего значения, как xy ∨ xy'0 ∨ x'y'.

Метод диаграмм Кэрролла [1], скорректированный в соответствии с принятием сосуществования противоположностей, раскрывает сущность исследуемых взаимосвязей: они оказываются вынуждаемыми несовместимостью некоторых особенностей. В рассмотренном примере отношение следования необходимо возникает в условиях сосуществования противоположностей, когда особенности x и y' оказываются несовместимыми: поскольку xy'-вещи не существуют, появляется необходимость существования xy- и x'y'-вещей, а существование x'y-вещей ничем не вынуждается.

В методе диаграмм, представляющих совокупности вещей, сформулированы способы оперирования этими совокупностями, которые алгебраически выражаются в виде следующих очевидных правил [4, 5]:

1. V'(xy ∨ xy') ≡ V'xy V'xy' — если класс пуст, пусты все его подклассы;

2. Vx V'xy' ≡ Vxy V'xy' — если класс непуст, но один из его подклассов пуст, дополнение этого подкласса до непустого класса непусто;

3. V(xy ∨ xy') ≡ Vxy ∨ Vxy' — непустота класса вещей тождественна непустоте хотя бы одного его подкласса;

4. Vxy ⇒ Vx — из непустоты подкласса следует и непустота охватывающего его класса вещей.

Использование приведенных правил позволяет исчерпывающе выразить традиционную силлогистику Аристотеля, исследующую отношения между несоставными особенностями [3], каждая из которых соответствует наличию либо отсутствию у вещи только одного качества. Очевидно, что обобщенная введением третьего-привходящего статуса булева алгебра допускает выражение отношений между составными особенностями, представленными произвольными выражениями и нахождение взаимосвязей между такими особенностями. Эта задача рассматривалась и Кэрроллом — введенные им методы индексов и деревьев [2] нацелены на расширение возможностей силлогистики посредством решения соритов — задач, содержащих произвольное количество посылок, а также рассмотрения суждений, связывающих составные особенности, таких как, «Всякий xy есть z».

Система совместно данных посылок в общем случае может включать произвольное количество отношений между составными особенностями, представленными булевыми выражениями, из n задающих универсум рассмотрения несоставных особенностей x1. xn. В соответствии с принципом сосуществования противоположностей, все x1. xn и их противоположности не пусты.

Исходные посылки конъюнктивно совмещаются, при этом, согласно правилу (1) все выражения, характеризующие пустые классы могут быть сведены к одной СДНФ, обозначим ее N(x1. xn) (от кэрролловского nullity). По правилу (3), система посылок содержит не менее 2n выражений в СДНФ, соответствующих классам, обязанным не быть пустыми (в частности, классам x1, x'1. xn, хn'), обозначим их E1(x1. xn), Ek(x1. xn) (от entity). Заметим, что обязаны существовать вещи, характеризуемые каждым выражением Ei(x1. xn), однако конъюнкции, входящие в каждую СДНФ Ei(x1. xn) возможны, но не необходимы. Правило (2) позволяет удалить из каждой Ei(x1. xn) конъюнкции, входящие в N(x1. xn), при этом ни одно из Ei(x1. xn) не может исчерпать все свои конъюнкции, поскольку это приведет к рассмотрению особенности (простой или составной), не представленной ни одной вещью.

Отыскание взаимосвязи между некоторыми составными особенностями f(x1. xn) и g(x1. xn), производится выявлением несовместимости f либо ее противоположности f' с g либо с ее противоположностью g'. Например, если f и g' оказываются несовместимыми, то имеет место отношение следования (f ⇒ g) ≡ (g' ⇒ f'), а если несовместимы f и g — отношение (f ⇒ g') ≡ (g ⇒ f').

Несовместимость f и g обнаруживается сопоставлением конъюнкции fg с выражением N(x1. xn) и каждой СДНФ f и g со всеми Ei(x1. xn). Если в N(x1. xn) содержатся все конъюнкции из fg, можно сделать вывод о пустоте класса fg, но это еще не обеспечивает несовместимости, которая возникает лишь между непустыми особенностями. Поэтому требуется еще проверить непустоту f и g, для которой необходимо, чтобы среди Ei(x1. xn) имелось как подвыражение f так и подвыражение g.

Такой способ представления отношений и выявления взаимосвязей является естественной основой для компьютеризации рассуждений. Представление булевых выражений N(x1. xn) и Ei(x1. xn) соответствующими типами данных — шкалами битов, в которых битам сопоставлены конъюнкции СДНФ, позволяет просто трансформировать правила оперирования суждениями в алгоритмы, осуществляющие умозаключения. Дальнейшее развитие кэрролловского метода алгебраизации рассуждения состоит в рассмотрении несоставных особенностей, выраженных в обобщенной добавлением третьего значения булевой алгебре.

Пример. Пусть имеются две посылки xy ⇒ z и xy' ⇒ z, требуется установить, как взаимосвязаны особенности x и z.

(xy ⇒ z') ≡ V'xyz' Vxyz V(x' ∨ y')z' Vx Vx' Vy' Vz Vz',

(хy' ⇒ z) ≡ V'xy'z' Vxy'z V(x' ∨ y)z' Vx Vx' Vy' Vz.

(xy ⇒ z)(xy' ⇒ z) ≡ V'(xyz' ∨ xy'z') Vxyz V(x' ∨ y')z' Vxy'z V(x' ∨ y)z' Vx Vx' Vy' Vz Vz'.

Шкала для N(x, y, z) ≡ (xyz' ∨ xy'z') равна 00001010, где младшей (правой) единице соответствует индивидная конъюнкция xyz. Аналогично представляются шкалы для Ei(x, y, z): выражению E1(x, y, z) ≡ xyz соответствует шкала 00000001, выражению E2(x, y, z) ≡ (x' ∨ y')z' — шкала 10101000, E3(x, y, z) ≡ xy'z — шкала 00000100, E4(x, y, z) ≡ (x' ∨ y)z' — шкала 10100010 и т.д. Предположим, что особенности x и z связаны отношением следования (x ⇒ z) ≡ V'xz' Vxz Vx'z', тогда особенности x и z' несовместимы, т.е. xz'-вещей не существуют, но существуют xz и x'z'-вещи. Для того, чтобы проверить, выполнены ли указанные условия, необходимо убедиться, что конъюнкция xz' входит в выражение N(x, y, z), а конъюнкции xz ≡ xyz ∨ xy'z и x'z' ≡ x'yz' ∨ x'y'z' содержат какие-либо из Ei как подвыражения. Действительно, шкала 000001010, представляющая xz' совпадает со шкалой для N(x, y, z), а шкалы 00000101 для xz и 10100000 для x'z' содержат единицы в битах, в которых единицы содержатся в E1 и E3, т.е. xz- и x'z'-вещи существуют, и имеет место отношение x ⇒ z имеет место.

Следующая загадка

Даже для тех, кто знал Льюиса Кэрролла близко, он представлял подчас загадку — в нем соединялись стихии, казалось бы, совершенно несовместимые: приверженность, с одной стороны, к таким наукам, как математика и алгебраическая логика (в оксфордском колледже «Крайст-Черч» — «Церковь Христова», все преподаватели которого могли быть только духовными лицами, он являлся едва ли не образцом педагога и ученого), а с другой стороны, нежелание до конца жизни принять священнический сан (он так и оставался диаконом) ввиду беззаветной своей любви к театру, к атмосфере спектаклей и обществу актеров! Наконец, и это, конечно, главное, Льюис Кэрролл был натурой художественной, т. е. и поэтом (без стихов которого давно уже немыслима антология английской поэзии), и прозаиком, и эссеистом. Первое его художественное произведение, увидевшее свет, — поэма «Одиночество» (1856). В ней он ностальгически прощался с детством:

«Я готов отдать свои победы,
Не беречь последний уголек,
Только чтобы мальчиком побегать
В солнечный единственный денек» 1

Художественные произведения Льюиса Кэрролла повести-сказки «Приключения Алисы в Стране Чудес» и «Сквозь зеркало и что там увидела Алиса, или Алиса в Зазеркалье», поэма «Охота на Снарка», двухтомный роман «Сильви и Бруно» и «Заключение "Сильви и Бруно"» книги, как известно, не только детские, хотя они публиковались при жизни писателя и публикуются сейчас в богато иллюстрированных детских изданиях и читаются детьми с удовольствием. Как остроумно заметила в своем эссе о Льюисе Кэрролле английская писательница Вирджиния Вулф (1882—1941), приключения Алисы нельзя отнести к детской литературе, но это книги, в которых мы становимся детьми. Впрочем, Гилберт Кит Честертон (1874—1936) утверждал в статье, написанной к столетию со дня рождения Льюиса Кэрролла в 1932 г., что интеллектуальные эскапады писателя предназначались для взрослых и что лучшее у Кэрролла написано вовсе не взрослым для детей, а ученым для ученых.

Так называемые «бессмыслицы» Кэрролла, логические задачи, загадки и головоломки предвосхитили появление таких наук, как математическая логика, семиотика, лингвистический анализ, наконец, — теорию относительности, а влияние его творчества, как явное, так и скрытое, прослеживается в произведениях целого ряда классиков мировой литературы, творивших после него. Достаточно сказать, что в этой связи обычно называют Генри Джеймса, О. Генри, Редьярда Киплинга, Джеймса Джойса, Франца Кафку, американского детского писателя Фрэнка Баума (1856—1919), 3 наконец, Владимира Набокова.

Герой романа «Лолита» писатель Гумберт Гумберт, «вспоминая нимфетку с длинными волосами Алисы н Стране Чудес», говорит о Льюисе Кэрролле как о своем более счастливом собрате. 4 Вообще же, в набоковедении считается, что аллюзии на «Приключения Алисы в Стране Чудес» имеются и в романах «Пнин», «Истинная жизнь. Себастьяна Найта», «Просвечивающие предметы», «Ада, или Страсть». 5

В творчестве Льюиса Кэрролла много «темных мест». Большинство из них в обширной «кэрроллиане» ныне расшифрованы, причем расшифровка эта началась еще при жизни писателя. Обнаружены прототипы персонажей кэрролловских сказок, прослежены истоки его игры слов, приемы оживления метафор и буквальной интерпретации элементов фразеологических единств, проанализированы многочисленные моменты полисемии и омонимии в кэрролловских текстах, разгаданы лингвистические загадки, математические фокусы и головоломки, объяснены омофоны и каламбуры, прочитаны акростихи и анаграммы, специальная литература посвящена одним только пародиям Кэрролла, и все же загадки в его текстах остаются.

Да и сама личность Льюиса Кэрролла, как справедливо заметил составитель изданий кэрролловского эпистолярного наследия Мортон Н. Коэн, представляет для читателя определенную загадку. В жизни, пишет М.Н. Коэн, это был «серьезнейший человек, официальный и ученый, робкий и неловкий, трудолюбивый. утонченный и глубоко религиозный». 6 Неожиданная слава и всеобщее признание оказались для Кэрролла большим испытанием. Он был человек деликатный и не хотел, чтобы ему поклонялись, «Поэтому он продолжал внушать, даже самому себе, что писатель Льюис Кэрролл и его преподобие Чарлз Лютвидж Доджсон — разные Люди». 7 Коллега Кэрролла, один оксфордский профессор, объяснял поведение писателя следующим образом: «Он не хочет быть Льюисом Кэрроллом и очень ревниво оберегает свою тайну. Поэтому он живет так замкнуто. Всякую минуту он боится, что кто-нибудь упомянет при нем Алису». 8

В девятнадцать лет будущий писатель поступает учиться в самый старый университет в мире — Оксфордский, в двадцать три года — он уже преподаватель математики колледжа Крайст-Черч в этом университете, в двадцать пять лет — получает степень магистра математики, в двадцать девять лет — посвящен в сан диакона (принять сан священника, как уже было сказано выше, он отказался).

Сорок семь лет — с 1851 г. и до своей смерти в 1898 г. — Чарлз Лютвидж Доджсон, он же Льюис Кэрролл, жил и трудился в кэмпусе Крайст-Черч, где были написаны его удивительные книги, расшифровкой и истолкованием которых ученые занимаются вот уже более столетия. Соблюдая строгий распорядок жизни обитателей оксфордского колледжа, этот профессор математики, куратор «Клуба профессоров» Крайст-Черч, этот лучший фотограф XIX в., снимавший, главным образом детей, сумел сплести столь загадочные и ни на что не похожие тексты, что они чаруют мир и по сей день.

Следующая загадка

Задача Льюиса Кэрролла

Попробуйте, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя дважды одну и ту же линию, нарисовать фигуру, изображенную на рисунке. При этом надо выполнить еще одно условие: линии не должны нигде пересекаться между собой (допускается только угловое касание линий).

Занимательные головоломки в картинках с решениями и ответами для детей и взрослых; множество красочных головоломок для решения онлайн бесплатно; головоломки со спичками, разрезание фигур на части, на распознавание скрытых образов; тренировка сообразительности и логического мышления .

Еще с сайта

Заполните пустые ячейки поля судоку цифрами от 1 до 9 таким образом, чтобы ни в одном столбце, ряду, либо поле 3х3 ячейки, ограниченном .

Небольшие занимательные игры, развивающие и трени­рующие такие полезные качества как внимание, память, эрудицию, логическое мышление .

Примечания

1. Цит. по: Падни Дж Льюис Кэрролл и его мир / Пер. с англ. Харитонова В. Сквайрс Е. — М., 1982. — С. 47.

2. Train: A first-class magazine. — L., 1856 — 1858. — N 1—5.

3. Фрэнк Баум — автор много численных книг о волшебной Стране Оз.

4. Набоков В. Лолита. — М., 1989. — С. 300.

5. См. об этом: Милова Т. Другие берега Страны Чудес // Русская мысль. — Париж, 1993. — Сент. 16—22. — 3996. — С 13.

6. Cohen M.N Preface to the first edition // Carroll L. The selected letters of Lewis Carroll / Ed. by Cohen M. — L., 1989. — P. IX.

Литература

1. Кэрролл Л. Символическая логика. // История с узелками. — М.: «Мир», 1973.

2. Carroll L. Symbolic logic / Ed., with annotations a. an introd. By Bartley W.W. — N.Y.: Clarkson N. Potter, 1977. — XXV, 496 p. — Cont.: Pt I: Elementary, Pt 2: Advanced, never previously published.

3. Брусенцов Н.П., Владимирова Ю.С. Конструктная компьютеризация силлогистики // Математические методы распознавания образов. ММРО-13. — М.: МАКС-Пресс, 2007. С. 10—13.

4. Брусенцов Н.П. Полная система категорических силлогизмов Аристотеля. // Вычислительная техника и вопросы кибернетики. Вып. 19. — М.: Изд-во Моек, ун-та, 1982. С. 3—17.

5. Владимирова Ю.С. Компьютеризация содержательного рассуждения на основе силлогистического вывода. // Программные системы и инструменты № 12. Под ред. Л.Н. Королева. — М.: Издательский отдел ВМиК МГУ, 2010. С. 92—97.

Читайте также: