В определенном интеграле введена новая переменная тогда интеграл примет вид

Обновлено: 04.05.2024

После вычисления неопределённого интеграла, вы сможете получить бесплатно ПОДРОБНОЕ решение введённого вами интеграла.

Найдем решение неопределенного интеграла от функции f(x) (первообразную функции).

Примеры

С применением степени
(квадрат и куб) и дроби

С применением синуса и косинуса

Гиберболические синус и косинус

Гиберболические тангенс и котангенс

Гиберболические арксинус и арккосинус

Гиберболические арктангенс и арккотангенс

Правила ввода выражений и функций

Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке): absolute(x) Абсолютное значение x
(модуль x или |x|) arccos(x) Функция - арккосинус от x arccosh(x) Арккосинус гиперболический от x arcsin(x) Арксинус от x arcsinh(x) Арксинус гиперболический от x arctg(x) Функция - арктангенс от x arctgh(x) Арктангенс гиперболический от x exp(x) Функция - экспонента от x (что и e^x) log(x) or ln(x) Натуральный логарифм от x
(Чтобы получить log7(x), надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x)=log(x)/log(10)) sin(x) Функция - Синус от x cos(x) Функция - Косинус от x sinh(x) Функция - Синус гиперболический от x cosh(x) Функция - Косинус гиперболический от x sqrt(x) Функция - квадратный корень из x sqr(x) или x^2 Функция - Квадрат x ctg(x) Функция - Котангенс от x arcctg(x) Функция - Арккотангенс от x arcctgh(x) Функция - Гиперболический арккотангенс от x tg(x) Функция - Тангенс от x tgh(x) Функция - Тангенс гиперболический от x cbrt(x) Функция - кубический корень из x gamma(x) Гамма-функция LambertW(x) Функция Ламберта x! или factorial(x) Факториал от x В выражениях можно применять следующие операции: Действительные числа вводить в виде 7.5, не 7,5 2*x - умножение 3/x - деление x^3 - возведение в степень x + 7 - сложение x - 6 - вычитание 15/7 - дробь
Другие функции: asec(x) Функция - арксеканс от x acsc(x) Функция - арккосеканс от x sec(x) Функция - секанс от x csc(x) Функция - косеканс от x floor(x) Функция - округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0) ceiling(x) Функция - округление x в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0) sign(x) Функция - Знак x erf(x) Функция ошибок (или интеграл вероятности) laplace(x) Функция Лапласа asech(x) Функция - гиперболический арксеканс от x csch(x) Функция - гиперболический косеканс от x sech(x) Функция - гиперболический секанс от x acsch(x) Функция - гиперболический арккосеканс от x
Постоянные: pi Число "Пи", которое примерно равно

3.14159.. e Число e - основание натурального логарифма, примерно равно

2,7183.. i Комплексная единица oo Символ бесконечности - знак для бесконечности

В определенном интеграле введена новая переменная . Тогда интеграл примет вид …

Предмет: Математика (108499 вопросов)

Помог сайт? Помоги другу:

Тип вопроса: Вопрос с одним правильными вариантом

Правильный ответ

Вопрос задал(а): Анонимный пользователь, 13 Ноябрь 2020 в 18:06
На вопрос ответил(а): Анастасия Степанова, 13 Ноябрь 2020 в 18:06

Похожие вопросы

Вопрос № 635619

В определенном интеграле введена новая переменная . Тогда интеграл примет вид …

Вопрос № 635335

В определенном интеграле введена новая переменная . Тогда интеграл примет вид …

Вопрос № 1059103

В определенном интеграле введена новая переменная . Тогда интеграл примет вид …

Вопрос № 1059107

В неопределенном интеграле введена новая переменная . Тогда интеграл примет вид …

Построение графика функции методом дифференциального исчисления

Экстремум функции двух переменных

Приемы нахождения неопределенных интегралов

Приближенное вычисление определенного интеграла по формуле прямоугольников.
см. также Задача интегрирования в конечном виде, Несобственные интегралы

Пример 1. Вычислить ∫ (3x+15) 17 dx .
Решение.
Возводить двучлен в 17-ю степень нецелесообразно. Исходя из табличного интеграла , получаем
= .
Пример 2. Вычислить .
Решение.
Аналогично предыдущему,
=

Пример 3. .
Решение. Поскольку
, то .

Пример 4. Вычислить
Решение. Так как
, то .

Пример 5. Вычислить .
Решение.
Применим подстановку . Отсюда x-5=t 2 , x=t 2 +5 , dx=2tdt .
Подставив в интеграл, получим

Пример 6. Вычислить ∫ x 2 e x dx .
Решение.
Положим u=x 2 , dv=e x dx ; тогда du=2xdx , v=e x . Применим формулу интегрирования по частям:
∫x 2 e x dx=x 2 e x -2∫xe x .
Мы добились понижения степени x на единицу. Чтобы найти ∫xe x , применим еще раз интегрирование по частям. Полагаем u=x , dv=e x dx ; тогда du=dx , v=e x и
∫xe x =x 2 e x -2xe x +2e x +C .

Пример 7. Вычислить .
Решение. Выделяя целую часть, получим: .
Учитывая, что x 4 +5x 2 +4=(x 2 +1)(x 2 +4) , для второго слагаемого получаем разложение

Приводя к общему знаменателю, получим равенство числителей:
-5x 2 –4=(Ax+B)(x 2 +4)+(Cx+D)(x 2 +1) .
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем
x 3 : 0=A+C
x₂: -5=B+D
x: 0=4A+C
x 0 : -4=4B+D

Отсюда находим A=C=0 , B= 1 /₃ , D=- 16 /₃ .
Подставляя найденные коэффициенты в разложение и интегрируя его, получаем:

Пример 8. Вычислить .
Решение. Так как
,
то подынтегральное выражение есть рациональная функция от x и ; поэтому введем подстановку:
; ,
откуда
; ; ;.
Следовательно,

Пример 9. Вычислить .
Решение.
Подынтегральная функция рационально зависит от sinx(x) и cos(x) ; применим подстановку tg x /₂=t , тогда
, , и
=
Возвращаясь к старой переменной, получим
= .

Пример 10. Вычислить .
Решение.
Произведем замену 1+3x 8 = z 2 . Тогда , ;
таким образом,
.
Следует обратить внимание, что при замене переменной в определенном интеграле пределы интегрирования в общем случае изменяются.

Пример 12. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.
Решение.
Подынтегральная функция непрерывна и интегрируема на R . По определению = = Интеграл сходится.

Пример 13. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой y=x 2 и прямой x+y=2 .
Решение.
Найдем абсциссы точек пересечения параболы y=x 2 и прямой y=2-x . Решая уравнение x 2 =2-x , находим x₁=-2 , x₂=1 . Так как фигура ограничена сверху прямой, а снизу параболой, по известной формуле находим
.

Эта формула позволяет свести вычисление интеграла к вычислению интеграла . При этом мы подставляем вместо переменную дифференциал этой переменной, т. е. формулой замены переменной под знаком неопределенного интеграла . Она используется на практике как "слева направо", так и "справа налево". Метод замены переменной позволяет сводить многие интегралы к табличным. После вычисления интеграла надо снова заменить .

Пример 1. Вычислим .

Решение. Введем новую переменную . Тогда и, следовательно,

Замечание. Вычисление короче записывают так:

Аналогичными преобразованиями мы будем пользоваться и в дальнейшем.

Пусть известно, что . Тогда

Например, и потому .

Пример 2. Вычислить неопределённый интеграл .

Решение. В состав данного подынтегрального выражения входит множитель , являющийся дифференциалом функции . Полагая , получим:

Пример 3. Вычислим .

Решение. Числитель данного подынтегрального выражения напоминает дифференциал для .

Это наводит на мысль о целесообразности подстановки . Таким образом,

В рассмотренных примерах новая переменная была функцией от переменной интегрирования. В ряде случаев бывает целесообразно переменную интегрирования в заданном интеграле заменить функцией от другой переменной. В частности, при интегрировании некоторых видов иррациональных функций оказываются удобными тригонометрические подстановки.

Пример 4. Вычислим .

Решение. Положим и выразим все множители, входящие в состав подынтегрального выражения, через новую переменную

При этом , так как . Переходя к новой переменной под знаком неопределенного интеграла, учитывая, что и потому , получим:

Замена переменной в определенном интеграле

Пусть является первообразной для на отрезке и пусть — дифференцируемая функция на отрезке , отображающая его в отрезок , причем . В предыдущем пункте мы видели, что

Значит,

В результате мы приходим к следующему утверждению:

Пусть функция имеет первообразную на отрезке , а функция определена на отрезке и дифференцируема внутри этого отрезка, причем и . Тогда

Условие, что при имеем: , заведомо выполняется, если функция монотонна на отрезке . Это имеет место, если ее производная сохраняет знак на .

Пример 5. Вычислим .

Пример 6. Вычислим .

Решение. Выделим полный квадрат в знаменателе:

Метод неопределенных коэффициентов

В ряде случаев по виду подынтегральной функции можно предположить, что ее первообразная будет иметь ту же структуру, что и подынтегральная функция. Это бывает в тех случаях, когда, например, подынтегральная функция представляет собой произведение многочлена и показательной функции, произведение многочлена и синуса или косинуса или произведение показательной функции и синуса или косинуса. Тогда записывают искомую первообразную в предполагаемом виде с неопределенными буквенными коэффициентами. Задача в этом случае сводится к нахождению неопределенных буквенных коэффициентов, для чего, пользуясь свойствами неопределенного интеграла, сначала дифференцируют обе части равенства, а затем сравнивают левую часть полученного равенства с правой. Поясним сказанное на примерах.

Пример 1. Вычислим интеграл с экспонентой .

Решение. Если вычислить этот интеграл с помощью трехкратного интегрирования по частям, то получим:

Разделив обе части этого равенства на

откуда

Мы получили систему из четырех уравнений с четырьмя переменными . Решая ее, находим: . Таким образом,

Пример 2. Вычислим интеграл с экспонентой и синусом .

Решение. Здесь подынтегральная функция является произведением показательной функции и синуса. Мы видели, что в этом случае ее первообразная равна произведению показательной функции и линейной комбинации синуса и косинуса того же аргумента:

Для нахождения неопределенных коэффициентов

Разделим обе части этого равенства на

Далее имеем:

Полученное равенство справедливо для любых значений и в левой и правой частях равенства. Приравняв друг другу указанные коэффициенты, получим:

Читайте также:

  
• Этот царь добровольно примет постриг
  
• Девиз кровь и честь
  
• Смс с днем рождения короткие людмила
  
• Смотреть порно фильмы зрелых женщин онлайн бесплатно в хорошем качестве без регистрации и смс
  
• Французский девиз на французском