Нормальное распределение вероятность что случайная величина примет значение больше
Обновлено: 19.04.2024
О непрерывной случайной величине (НСВ) я неоднократно упоминал в предыдущих статьях, и поэтому, если вы зашли с поисковика и/или не совсем в теме, то начните с первого урока о случайных величинах. После чего продолжаем и сразу вспоминаем разницу:
– В отличие от дискретной случайной величины, НСВ может принять любое действительное значение из некоторого промежутка ненулевой длины, что делает невозможным её представление в виде таблицы (т.к. действительных чисел несчётно много). В этой связи непрерывную случайную величину задают функциями двух типов, названия которых вы видите в заголовке.
Функция распределения непрерывной случайной величины определяется точно так же, как и функция распределения ДСВ:
– вероятность того, что случайная величина примет значение, МЕНЬШЕЕ, чем переменная , которая «пробегает» все значения от «минус» до «плюс» бесконечности. Таким образом, учитываются все значения, которые В ПРИНЦИПЕ может принять произвольная случайная величина. С увеличением функция распределения «накапливает» (суммирует) вероятности, а значит, является неубывающей и изменяется в пределах . По этой причине её иногда называют интегральной функцией распределения.
Важной особенностью является тот факт, что функция распределения ЛЮБОЙ непрерывной случайной величины всегда и всюду непрерывна! Часто её можно встретить в кусочном виде, например:
однако в точках «стыка» всё хорошо:
и если там разрыв, то вы имеете дело с опечаткой или откровенной ошибкой!
! Но сама по себе непрерывность и ноль слева, единица справа – ещё не означают, что перед нами функция распределения.
При ручном построении чертежа целесообразно найти опорные точки; в нашем примере удобно взять: и плавно-плавно провести карандашом кусочек параболы :
Напоминаю, что левый нижний луч следует прочертить жирно (чтобы он не сливался с осью), а правый верхний луч продолжить за остриё оси (т.к. график бесконечен). Также не забываем, что не может убывать, и если вдруг окажется, что какой-то кусок графика идёт «сверху вниз», то ищите ошибку или опять же – имеет место опечатка. А может просто дрогнула рука :)
Что касаемо масштаба, то смотрим по ситуации, чаще всего оптимальный масштаб составляет 1 ед. = 1 см (две клетки), но поскольку я строю графики не от руки, то особо не слежу за пропорциями – в данном случае по оси ординат вышло примерно в 2 раза больше, чем по оси абсцисс.
Теперь вернёмся к смыслу функции распределения и рассмотрим пару конкретных «икс»:
– вероятность того, что случайная величина примет значение, МЕНЬШЕЕ, чем –1;
– вероятность того, что случайная величина примет значение, МЕНЬШЕЕ, чем 4.
Ну, и очевидно, что рассматриваемая случайная величина принимает случайные, наперёд неизвестные значения из отрезка . Если вкладывать в задачу содержательный смысл, то это может быть случайная продолжительность некоего процесса (в секундах, например), или масса либо размер случайно выбранного объекта (например, крупинки песка). И тому подобное – примеров масса. Конкретные задачи непременно будут, но прежде остановимся на технической стороне вопроса.
Вероятность того, что случайная величина примет значение из некоторого промежутка рассчитывается ещё проще, чем для дискретной случайной величины. Здесь нет никакой Санта-Барбары: отрезок ли нам дан, полуинтервал или интервал , соответствующую вероятность можно вычислить по единой формуле:
Примечание: в следующем параграфе мы обоснуем это утверждение
Например:
– вероятность того, что случайная величина примет значение из отрезка . И точно такими же будут вероятности ;
– вероятность того, что случайная величина примет значение из отрезка ;
– вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала ;
Наверное, вы подметили, что на участках одинаковой длины результаты получились разными: . И возникает вопрос: как оценить эту «концентрацию» вероятностей на различных промежутках? – ведь функция распределения характеризует накопление вероятностей по мере увеличения , и много раз вычислять что-то неохота.
Эффективный ответ на поставленный вопрос даёт
функция ПЛОТНОСТИ распределения вероятностей
или дифференциальная функция распределения. Она представляет собой производную функции распределения: .
Примечание: для дискретной случайной величины такой функции не существует
В нашем примере:
То есть, всё очень просто – берём производную от каждого куска, и порядок.
Но настоящий порядок состоит в том, что несобственный интеграл от с пределами интегрирования от «минус» до «плюс» бесконечности:
– равен единице, и строго единице. В противном случае перед нами не функция плотности, и если эта функция найдена как производная, то – не является функцией распределения (несмотря на какие бы то ни было другие признаки).
Проверим «подлинность» наших функций. Если случайная величина принимает значения из конечного промежутка, то всё дело сводится к вычислению определённого интеграла. В силу свойства аддитивности:
Совершенно понятно, что левый и правый интегралы равны нулю и нам осталось вычислить:
, что и требовалось проверить. С вероятностной точки зрения это означает, что случайная величина достоверно примет одно из значений отрезка . Геометрически же это означает, что площадь между осью и графиком равна единице, в данном случае речь идёт о площади треугольника . Сторона является фрагментом прямой и для её построения достаточно найти точку :
Ну вот, стало всё наглядно – где бОльшая площадь, там и более вероятные значения. Так как функция плотности «собирает под собой» вероятности, то она тоже неотрицательна и её график не может располагаться ниже оси . Следует также отметить, что в общем случае эта функция разрывна (следим, где «жирные» точки!).
Теперь разберём весьма любопытный факт: поскольку действительных чисел несчётно много, то вероятность того, что случайная величина примет какое-то конкретное значение стремится к нулю. И поэтому вероятности рассчитывают не для отдельно взятых точек, а для целых промежутков (пусть даже очень малых). Как вы правильно догадались:
(синяя площадь на чертеже) – вероятность того, что случайная величина примет значение из отрезка ;
(красная площадь) – вероятность того, что случайная величина примет значение из отрезка .
По той причине, что отдельно взятые значения можно не принимать во внимание, с помощью этих же интегралов рассчитываются и вероятности по интервалам / полуинтервалам, в частности:
Этим же объяснятся аналогичная «вольность» с функцией .
Возможно, кто-то спросит: а зачем считать интегралы, если есть функция ?
А дело в том, что во многих задачах непрерывная случайная величина ИЗНАЧАЛЬНО задана функцией плотности распределения, которая ТОЖЕ однозначно определяет случайную величину. Но, как вариант, можно сначала найти функцию (с помощью тех же интегралов), после чего использовать «лёгкий способ» бросить курить отыскания вероятностей. Впрочем, об этом чуть позже:
Непрерывная случайная величина задана своей функцией распределения:
Найти значения и функцию . Проверить, что действительно является функцией плотности распределения. Вычислить вероятности . Построить графики .
Тренируемся самостоятельно! Если возникнут затруднения, то внимательно перечитайте вышеизложенный материал. Краткое решение и ответ в конце урока.
Вообще, типовые задачи на непрерывную случайную величину можно разделить на 2 большие группы: 1) когда дана функция , 2) когда дана функция .
В первом случае не составляет никаких трудностей отыскать функцию плотности распределения – почти всегда производные не то что простЫ, а примитивны (в чём мы недавно убедились). Но вот когда НСВ задана функцией , то нахождение функции распределения – есть более кропотливый процесс:
Непрерывная случайная величина задана функцией плотности распределения:
Найти значение и составить функцию распределения вероятностей. Вычислить . Построить графики .
Решение: найдём константу . Это классика. В подавляющем большинстве задач вам не предложат готовую функцию плотности. Используем свойство . В данном случае:
На практике нулевые интегралы можно опускать, а константу сразу выносить за знак интеграла:
Пользуясь чётностью подынтегральной функции, вычислим:
и подставим результат в уравнение:
, откуда выразим
Таким образом, функция плотности распределения:
Выполним проверку, а именно, вычислим тот же самый интеграл, но уже с известной константой. Для разнообразия я не буду пользоваться чётностью:
, что и требовалось проверить.
Обратите внимание, что только при – и только при этом значении, предложенная в условии функция является функцией плотности распределения. Ну и тут не лишним будет проконтролировать, что на интервале , т.е. условие неотрицательности выполнено. Доверяй условию, да проверяй ;) Не раз и не два мне встречались функции, которые в принципе не могли быть плотностью, что говорило об опечатках или о невнимательности авторов задач.
Теперь начинается самое интересное. Функция распределения вероятностей – есть интеграл:
Так как наша состоит из трёх кусков, то решение разобьётся на 3 шага:
1) На промежутке , поэтому:
2) На интервале , и мы прицепляем следующий вагончик:
При подстановке верхнего предела интегрирования можно считать, что вместо «икс» мы подставляем «икс». Если же возник вопрос с пределом нижним, то вспоминаем график синусоиды или нечётность синуса с тригонометрической таблицей.
3) И, наконец, на , и детский паровозик отправляется в путь:
! А вот в этом задании нулевые интегралы пропускать НЕ НАДО. Чтобы показать своё понимание функции распределения ;) К тому же, они могут оказаться вовсе не нулевыми, и тогда придётся иметь дело с интегралами несобственными. Соответствующие примеры я обязательно разберу ниже.
Записываем наши достижения под единую скобку:
С высокой вероятностью всё правильно, но, тем не менее, устно возьмём производную , а также «прозвоним» точки «стыка»:
Правильность решения можно проконтролировать и в ходе построения графика, но, во-первых, он не всегда требуется, а во-вторых, до сего момента можно успеть «наломать дров». Ибо вероятности попадания в интервал чаще находят с помощью функции распределения:
– вероятность того, что случайная величина примет значение из промежутка
Но ценители интегрального исчисления, конечно же, не откажут себе в удовольствии:
, что, кстати, не труднее. И проверочка заодно получилась.
Выполним чертежи. График представляет собой косинусоиду, сжатую вдоль ординат в 2 раза:
Тот редкий случай, когда функция плотности непрерывна.
Значение численно равно заштрихованной площади – это я специально сделал, чтобы напомнить вероятностный смысл функции плотности. И вся площадь под «дугой» равна единице, то есть, достоверным является тот факт, что случайная величина примет значение из интервала . Заметьте, что значения , согласно условию, невозможны.
Осталось изобразить функцию распределения. График представляет собой сжатую в 2 раза вдоль оси ординат синусоиду, сдвинутую на вверх:
В принципе, тут можно не заморачиваться преобразованием графиков, а найти несколько опорных точек и догадаться, как выглядит кривая (тригонометрическая таблица в помощь). Но «любительский» подход чреват тем, что график получится принципиально не точным. Так, в нашем примере в точке существует перегиб графика, и велик риск неверно отобразить его выпуклость / вогнутость.
Чертежи желательно расположить так, чтобы оси ординат лежали ровненько одна под другой. Это будет хорошим тоном.
И я так чувствую, вам уже не терпится проверить свои силы. Как водится, пример попроще:
Задана плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины :
Требуется:
1) определить коэффициент ;
2) найти функцию распределения ;
3) построить графики ;
4) найти вероятность того, что примет значение из промежутка
и задачка поинтереснее:
Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения вероятностей:
Найти значение и построить график плотности распределения. Найти функцию распределения вероятностей и построить её график. Вычислить вероятность .
Дерзайте! Свериться с решением можно внизу страницы.
И в заключение 1-й части урока обещанные случаи с несобственными интегралами:
Непрерывная случайная величина задана своей плотностью распределения:
Найти коэффициент и функцию распределения . Построить графики.
Решение: по свойству функции плотности распределения:
В данной задаче состоит из 2 частей, поэтому:
Правый интеграл равен нулю, а вот левый – есть «живой» несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом:
Таким образом, наше уравнение превратилось в готовый результат:
и функция плотности:
Функция , как нетрудно понять, отыскивается в 2 шага:
1) На промежутке , следовательно:
– вот такая вот у нас замечательная экспонента. Как птица Феникс.
2) На интервале и:
, что и должно получиться.
Для построения графиков найдём пару опорных точек: и аккуратно прочертим кусочки экспонент с причитающимися дополнениями:
Заметьте, что теоретически случайная величина может принять сколь угодно большое по модулю отрицательное значение, и ось абсцисс является горизонтальной асимптотой для обоих графиков при .
Ещё более интересное задание для самостоятельного изучения:
Проверить, что является функцией плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины. Найти и выполнить чертежи.
Здесь случайная величина теоретически принимает вообще ВСЕ действительные значения, т.к. определена при любом «икс». В ходе проверки на плотность удобно использовать чётность подынтегральной функции в несобственном интеграле, а для нахождения самого интеграла нужно представить и избавиться от трёхэтажности дроби. Самостоятельно выясните, как будут выглядеть графики – статья об асимптотах в помощь.
Жду вас во 2-й части урока, посвящённой числовым характеристикам НСВ. Постарайтесь освоить её как можно скорее – по «горячим» знаниям и навыкам!
Решения и ответы:
Пример 1. Решение: в силу непрерывности функции распределения:
Таким образом:
Найдём функцию плотности распределения:
Покажем, что действительно является функцией плотности:
1) Для любого значения , в частности, на среднем промежутке:
Внимание! Без 1-го пункта обойтись нельзя!
2)
Таким образом, найденная функция действительно является функцией плотности распределения.
Требуемые вероятности выгоднее вычислить с помощью функции распределения:
– вероятность того, что случайная величина примет значение из полуинтервала ;
– вероятность того, что случайная величина примет значение, больше, чем .
Построим графики :
Пример 3. Решение:
1) По свойству функции плотности распределения:
В данной задаче:
Таким образом, искомая плотность:
2) Функцию распределения найдём с помощью формулы :
– если то и ;
– если то и ;
– если то и:
.
Таким образом:
3) Выполним чертежи:
4) Найдём вероятность того, что случайная величина примет значение из промежутка :
Пример 4. Решение: функция плотности распределения вероятности обладает свойством . В данном случае:
Таким образом, функция плотности распределения:
Выполним чертеж:
Составим функцию распределения вероятностей :
1) Если , то и
2) Если , то и
3) Если , то и:
4) Если , то и:
Таким образом:
,
Выполним чертеж:
Вычислим – вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала .
Пример 6. Решение: проверим, что функция является функцией плотности:
1) Поскольку экспоненциальная функция положительна, то для любого , значит, свойство неотрицательности функции плотности выполнено.
2) Проверим выполнение свойства . Сначала удобно найти неопределённый интеграл:
.
Используем чётность подынтегральной функции:
Вывод: является функцией плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины, что и требовалось проверить.
Найдём функцию распределения:
– для всех .
Выполним чертёжи:
! Обратите внимание, что у 1-го графика одна, а 2-го – две горизонтальные асимптоты, «залезать» за которые нельзя!
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
«Всё сдал!» — онлайн-сервис помощи студентам
Математическое ожидание и дисперсия - чаще всего применяемые числовые характеристики случайной величины. Они характеризуют самые важные черты распределения: его положение и степень разбросанности. Математическое ожидание часто называют просто средним значением случайной величины. Дисперсия случайной величины - характеристика рассеивания, разбросанности случайной величины около её математического ожидания.
Во многих задачах практики полная, исчерпывающая характеристика случайной величины - закон распределения - или не может быть получена, или вообще не нужна. В этих случаях ограничиваются приблизительным описанием случайной величины с помощью числовых характеристик.
Математическое ожидание дискретной случайной величины
Подойдём к понятию математического ожидания. Пусть масса некоторого вещества распределена между точками оси абсцисс x 1 , x 2 , . x n . При этом каждая материальная точка имеет соответствующую ей массу с вероятностью из p 1 , p 2 , . p n . Требуется выбрать одну точку на оси абсцисс, характеризующую положение всей системы материальных точек, с учётом их масс. Естественно в качестве такой точки взять центр массы системы материальных точек. Это есть среднее взвешенное значение случайной величины X, в которое абсцисса каждой точки x i входит с "весом", равным соответствующей вероятности. Полученное таким образом среднее значение случайной величины X называется её математическим ожиданием.
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех возможных её значений на вероятности этих значений:
Пример 1. Организована беспроигрышная лотерея. Имеется 1000 выигрышей, из них 400 по 10 руб. 300 - по 20 руб. 200 - по 100 руб. и 100 - по 200 руб. Каков средний размер выигрыша для купившего один билет?
Решение. Средний выигрыш мы найдём, если общую сумму выигрышей, которая равна 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50000 руб, разделим на 1000 (общая сумма выигрышей). Тогда получим 50000/1000 = 50 руб. Но выражение для подсчёта среднего выигрыша можно представить и в следующем виде:
С другой стороны, в данных условиях размер выигрыша является случайной величиной, которая может принимать значения 10, 20, 100 и 200 руб. с вероятностями, равными соответственно 0,4; 0,3; 0,2; 0,1. Следовательно, ожидаемый средний выигрыш равен сумме произведений размеров выигрышей на вероятности их получения.
Пример 2. Издатель решил издать новую книгу. Продавать книгу он собирается за 280 руб., из которых 200 получит он сам, 50 - книжный магазин и 30 - автор. В таблице дана информация о затратах на издание книги и вероятности продажи определённого числа экземпляров книги.
| Число проданных экземпляров | Вероятность | Затраты |
| 500 | 0,20 | 225000 |
| 1000 | 0,40 | 250000 |
| 2000 | 0,25 | 300000 |
| 3000 | 0,10 | 350000 |
| 4000 | 0,05 | 400000 |
Найти ожидаемую прибыль издателя.
Решение. Случайная величина "прибыль" равна разности доходов от продажи и стоимости затрат. Например, если будет продано 500 экземпляров книги, то доходы от продажи равны 200*500=100000, а затраты на издание 225000 руб. Таким образом, издателю грозит убыток размером в 125000 руб. В следующей таблице обобщены ожидаемые значения случайной величины - прибыли:
| Число | Прибыль x i | Вероятность p i | x i p i |
| 500 | -125000 | 0,20 | -25000 |
| 1000 | -50000 | 0,40 | -20000 |
| 2000 | 100000 | 0,25 | 25000 |
| 3000 | 250000 | 0,10 | 25000 |
| 4000 | 400000 | 0,05 | 20000 |
| Всего: | 1,00 | 25000 |
Таким образом, получаем математическое ожидание прибыли издателя:
Пример 3. Вероятность попадания при одном выстреле p = 0,2 . Определить расход снарядов, обеспечивающих математическое ожидание числа попаданий, равное 5.
Решение. Из всё той же формулы математического ожидания, которую мы использовали до сих пор, выражаем x - расход снарядов:
Найти математическое ожидание случайной величины самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 4. Определить математическое ожидание случайной величины x числа попаданий при трёх выстрелах, если вероятность попадания при каждом выстреле p = 0,4 .
Подсказка: вероятность значений случайной величины найти по формуле Бернулли.
Свойства математического ожидания
Рассмотрим свойства математического ожидания.
Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины равно этой постоянной:
Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:
Свойство 3. Математическое ожидание суммы (разности) случайных величин равно сумме (разности) их математических ожиданий:
Свойство 4. Математическое ожидание произведения случайных величин равно произведению их математических ожиданий:
Свойство 5. Если все значения случайной величины X уменьшить (увеличить) на одно и то же число С, то её математическое ожидание уменьшится (увеличится) на то же число:
Когда нельзя ограничиваться только математическим ожиданием
В большинстве случаев только математическое ожидание не может в достаточной степени характеризовать случайную величину.
Пусть случайные величины X и Y заданы следующими законами распределения:
| Значение X | Вероятность |
| -0,1 | 0,1 |
| -0,01 | 0,2 |
| 0 | 0,4 |
| 0,01 | 0,2 |
| 0,1 | 0,1 |
| Значение Y | Вероятность |
| -20 | 0,3 |
| -10 | 0,1 |
| 0 | 0,2 |
| 10 | 0,1 |
| 20 | 0,3 |
Математические ожидания этих величин одинаковы - равны нулю:
Однако характер распределения их различный. Случайная величина X может принимать только значения, мало отличающиеся от математического ожидания, а случайная величина Y может принимать значения, значительно отклоняющиеся от математического ожидания. Аналогичный пример: средняя заработная плата не даёт возможности судить об удельном весе высоко- и низкооплачиваемых рабочих. Иными словами, по математическому ожиданию нельзя судить о том, какие отклонения от него, хотя бы в среднем, возможны. Для этого нужно найти дисперсию случайной величины.
Дисперсия дискретной случайной величины
Дисперсией дискретной случайной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения её от математического ожидания:
Средним квадратическим отклонением случайной величины X называется арифметическое значение квадратного корня её дисперсии:
Пример 5. Вычислить дисперсии и средние квадратические отклонения случайных величин X и Y, законы распределения которых приведены в таблицах выше.
Решение. Математические ожидания случайных величин X и Y, как было найдено выше, равны нулю. Согласно формуле дисперсии при Е(х)=Е(y)=0 получаем:
Тогда средние квадратические отклонения случайных величин X и Y составляют
Таким образом, при одинаковых математических ожиданиях дисперсия случайной величины X очень мала, а случайной величины Y - значительная. Это следствие различия в их распределении.
Пример 6. У инвестора есть 4 альтернативных проекта инвестиций. В таблице обобщены данные об ожидаемой прибыли в этих проектах с соответствующей вероятностью.
| Проект 1 | Проект 2 | Проект 3 | Проект 4 |
| 500, P=1 | 1000, P=0,5 | 500, P=0,5 | 500, P=0,5 |
| 0, P=0,5 | 1000, P=0,25 | 10500, P=0,25 | |
| 0, P=0,25 | 9500, P=0,25 |
Найти для каждой альтернативы математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
Решение. Покажем, как вычисляются эти величины для 3-й альтернативы:
В таблице обобщены найденные величины для всех альтернатив.
У всех альтернатив одинаковы математические ожидания. Это означает, что в долгосрочном периоде у всех - одинаковые доходы. Стандартное отклонение можно интерпретировать как единицу измерения риска - чем оно больше, тем больше риск инвестиций. Инвестор, который не желает большого риска, выберет проект 1, так как у него наименьшее стандартное отклонение (0). Если же инвестор отдаёт предпочтение риску и большим доходам в короткий период, то он выберет проект наибольшим стандартным отклонением - проект 4.
Свойства дисперсии
Приведём свойства дисперсии.
Свойство 1. Дисперсия постоянной величины равна нулю:
Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его при этом в квадрат:
Свойство 3. Дисперсия случайной величины равна математическому ожиданию квадрата этой величины, из которого вычтен квадрат математического ожидания самой величины:
Свойство 4. Дисперсия суммы (разности) случайных величин равна сумме (разности) их дисперсий:
Закон распределения случайной величины:
Дисперсию данной случайной величины вычислим по формуле из свойства 3 дисперсии:
Найти математическое ожидание случайной величины самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 8. Дискретная случайная величина X принимает лишь два значения. Большее из значений 3 она принимает с вероятностью 0,4. Кроме того, известна дисперсия случайной величины D(X) = 6 . Найти математическое ожидание случайной величины.
Пример 9. В урне 6 белых и 4 чёрных шара. Из урны вынимают 3 шара. Число белых шаров среди вынутых шаров является дискретной случайной величиной X . Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
Решение. Случайная величина X может принимать значения 0, 1, 2, 3. Соответствующие им вероятности можно вычислить по правилу умножения вероятностей. Закон распределения случайной величины:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| p | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
Отсюда математическое ожидание данной случайной величины:
Дисперсия данной случайной величины:
Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины
Для непрерывной случайной величины механическая интерпретация математического ожидания сохранит тот же смысл: центр массы для единичной массы, распределённой непрерывно на оси абсцисс с плотностью f(x). В отличие от дискретной случайной величиной, у которой аргумент функции x i изменяется скачкообразно, у непрерывной случайной величины аргумент меняется непрерывно. Но математическое ожидание непрерывной случайной величины также связано с её средним значением.
Чтобы находить математическое ожидание и дисперсию непрерывной случайной величины, нужно находить определённые интегралы. Если дана функция плотности непрерывной случайной величины, то она непосредственно входит в подынтегральное выражение. Если дана функция распределения вероятностей, то, дифференцируя её, нужно найти функцию плотности.
Арифметическое среднее всех возможных значений непрерывной случайной величины называется её математическим ожиданием, обозначаемым или .
Математическое ожидание непрерывной случайной величины Х, плотностью вероятности которой является функция f(x), находится как величина интеграла
если он сходится абсолютно.
Дисперсией непрерывной случайной величины называется величина интеграла
если он сходится.
Среднее квадратичное отклонение непрерывной случайной величины определяется как арифметическое значение квадратного корня из дисперсии.
Найти математическое ожидание и дисперсию непрерывной случайной величины самостоятельно, а затем посмотреть решение
Это наиболее простой пример, так как функция распределения вероятностей дифференцируется и интегралы находятся в нём весьма просто. Поэтому пример предлагается для самостоятельного решения.
Пример 10. Дана функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины:
Найти математическое ожидание и дисперсию непрерывной случайной величины.
Пример 11. Дана функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины:
Найти математическое ожидание и дисперсию непрерывной случайной величины.
Решение. Найдём функцию плотности вероятностей случайной величины. Дифференцируя функцию F(x) :
Таким образом, функция плотности:
Математическим ожиданием данной непрерывной случайной величины будет следующий интеграл:
Этот интеграл найдём, интегрируя по частям. Для этого ведём следующие обозначения:
Таким образом, находим математическое ожидание:
Дисперсией непрерывной случайной величины будет следующий интеграл:
Его также найдём по частям. Введём обозначения:
Вновь интегрируем по частям. Вводим обозначения:
И находим дисперсию данной непрерывной случайной величины:
Пример 12. Дана непрерывная случайная величина. Её плотность вероятности при и при остальных значениях x. Найти её математическое ожидание и дисперсию.
Решение. Сначала определим параметр с. Разбивая отрезок интегрирования на части, получаем
так как остальные два интеграла равны нулю вследствие равенства нулю плотности вероятности на этих интервалах. Следовательно,
При находим математическое ожидание искомой случайной величины:
(пределы интегрирования 0 и 10 установлены по тем же соображениям, что и при нахождении параметра с). Дисперсию вычисляем при a=5 и f(x)=0,1:
Тема "Нормальное распределение"
Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое задается плотностью
.
Нормальное распределение задается двумя параметрами: – математическим ожиданием, – средним квадратическим отклонением.
График плотности нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса).
Нормированным называют нормальное распределение с параметрами .
Плотность нормированного распределения задается формулой
.
Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины
Как уже было установлено, вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу , равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в соответствующих пределах:
.
Для нормально распределенной случайной величины соответственно получим:
.
Преобразуем последнее выражение, введя новую переменную . Следовательно, показатель степени выражения, стоящего под интегралом преобразуется в:
.
Для замены переменной в определенном интеграле еще необходимо заменить дифференциал и пределы интегрирования, предварительно выразив переменную из формулы замены:
;
;
– нижний предел интегрирования;
– верхний предел интегрирования;
(для нахождения пределов интегрирования по новой переменной в формулу замены переменной были подставлены и – пределы интегрирования по старой переменной ).
Подставим все в последнюю из формул для нахождения вероятности:
где – функция Лапласа.
Вывод: вероятность того, что нормально распределенная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу , равна:
,
где – математическое ожидание, – среднее квадратическое отклонение данной случайной величины.
Примеры решения задач
Пример 1. Случайная величина имеет нормальное распределение с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением . Найти вероятность того, что случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу .
Решение.
Известно, что вероятность того, что нормально распределенная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу , равна:
,
где – математическое ожидание, – среднее квадратическое отклонение.
По условию . Следовательно,
Ответ: .
Вычисление вероятности заданного отклонения
Вычислим вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины от своего математического ожидания по абсолютной величине не превысит , то есть вероятность осуществления неравенства .
Заменим неравенство с модулем равносильным ему двойным неравенством:
Теперь мы можем воспользоваться формулой для нахождения вероятности попадания в заданный интервал нормальной случайной величины, где границами интервала являются
:
(в последних преобразованиях использовано свойство нечетности функции Лапласа: ).
Вывод: вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины от своего математического ожидания по абсолютной величине не превысит , равна:
,
где – математическое ожидание, – среднее квадратическое отклонение.
Примеры решения задач
Пример 1. Случайная величина имеет нормальное распределение с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением . Найти вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидания по абсолютной величине не больше, чем на .
Решение.
Известно, что вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины от своего математического ожидания по абсолютной величине не превысит , равна:
,
где – математическое ожидание, – среднее квадратическое отклонение.
По условию . Следовательно,
.
Ответ: .
Правило трех сигм
Вычислим вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины от своего математического ожидания по абсолютной величине не превысит .
Воспользуемся формулой для нахождения вероятности заданного отклонения, в которую в качестве подставим :
.
Таким образом, вероятность того, что отклонение случайной величины по абсолютной величине будет меньше утроенного среднего квадратического отклонения, равна 0,9973.
Другими словами, вероятность того, что абсолютная величина отклонения превысит , составляет всего 0,0027. Такое событие, исходя их принципа невозможности маловероятных событий, можно считать практически невозможным.
Вывод (правило трех сигм): если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.
Понятие о теореме Ляпунова
Известно, что нормально распределенные случайные величины широко распределены на практике. Объяснение этому было дано А.М.Ляпуновым в центральной предельной теореме: если случайная величина представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то имеет распределение, близкое к нормальному.
Читайте также: