Степенные показательные и логарифмические выражения

Обновлено: 04.11.2024

где

Основные свойства показательной функции


1. Область определения:


2. Множество значений:

3. Четность и нечетность: не обладает свойством четности.

4. Периодичность: непериодическая.

5. Нули функции: нулей не имеет.


6. Промежутки знакопостоянства: Функция положительна для

7. Наибольшее и наименьшее значения: наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.

8. Промежутки возрастания и убывания: если функция возрастает для всех если – убывает для


9. Точки пересечения с осями координат: пересекает ось Оу в точке ось Ох не пересекает.

10. Асимптоты: прямая Y = 0 (ось Ох) является горизонтальной асимптотой.


11. График функции для A > 1 изображен на рис. 6.1, для – на рис. 6.2.



Из свойств функции следует: неравенство равносильно неравенствам:

1) если

2) если

Показательная функция с основанием Е, где Е – иррациональное число Е = 2,718281…, называется Экспонентой, пишут или

Через показательные выражения с основанием Е определяются Гиперболические функции.

Гиперболическим синусом называется функция


Основные свойства гиперболического синуса


1. Область определения:


2. Множество значений:

3. Четность и нечетность: нечетная.

4. Периодичность: непериодическая.


5. Нули функции:

6. Промежутки знакопостоянства: Функция отрицательна для положительна – для

7. Наибольшее и наименьшее значения: наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.


8. Промежутки возрастания и убывания: функция возрастает для всех


9. Точки пересечения с осями координат:

10. Асимптоты: асимптот не имеет.

11. График функции изображен на рис. 6.3.

Гиперболическим косинусом называется функция


Основные свойства гиперболического косинуса


1. Область определения:


2. Множество значений:

3. Четность и нечетность: четная.

4. Периодичность: непериодическая.

5. Нули функции: нулей не имеет.


6. Промежутки знакопостоянства: Функция положительна для


7. Наибольшее и наименьшее значения: наименьшее значение, равное 1, функция принимает при

8. Промежутки возрастания и убывания: функция убывает при возрастает при


9. Точки пересечения с осями координат: пересекает ось Оу в точке ось Ох не пересекает.

10. Асимптоты: асимптот не имеет.

11. График функции изображен на рис. 6.4.



Гиперболические тангенс и котангенс определяются через отношение гиперболических синуса и косинуса.

Гиперболическим тангенсом Называется функция

т. е.

Основные свойства гиперболического тангенса


1. Область определения:


2. Множество значений:

3. Четность и нечетность: нечетная.

4. Периодичность: непериодическая.


5. Нули функции:

6. Промежутки знакопостоянства: Функция отрицательна для положительна для

7. Наибольшее и наименьшее значения: наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.


8. Промежутки возрастания и убывания: функция возрастает для


9. Точки пересечения с осями координат:

10. Асимптоты: имеет горизонтальные асимптоты и

11. График функции изображен на рис. 6.5.


Гиперболический котангенсом называется функция

т. е.

Основные свойства гиперболического котангенса


1. Область определения:


2. Множество значений:

3. Четность и нечетность: нечетная.

4. Периодичность: непериодическая.

5. Нули функции: нулей не имеет.

6. Промежутки знакопостоянства: Функция отрицательна для положительна для

7. Наибольшее и наименьшее значения: наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.


8. Промежутки возрастания и убывания: функция убывает для

9. Точки пересечения с осями координат: нет.

10. Асимптоты: имеет горизонтальные асимптоты и

11. График функции изображен на рис. 6.6.


Пример 1. Сравнить числа:

1) и 2) и

3) и

Решение. 1) Преобразуем числа к одному основанию:



Так как и функция монотонно возрастает, то следовательно,

2) Преобразуем числа:



Так как и функция монотонно убывает, то следовательно,

3) Преобразуем числа:



Так как и функция монотонно возрастает, то тогда и

Пример 2. Построить график функции:

1) 2)


Решение. 1) Строим график функции


График функции получаем из предыдущего путем смещения его на 3 единицы влево по оси Ох и на 4 единицы вниз по оси Оу.


Для построения графика заданной функции оставляем ту часть графика функции которая лежит над осью Ох и на оси Ох. Ту часть графика, которая расположена ниже оси Ох, отображаем в верхнюю полуплоскость симметрично относительно оси Ох (рис. 6.7).



2) Строим график функции (см. рис. 6.5).


График функции получаем из предыдущего путем смещения его на 2 единицы вниз вдоль оси Оу.


Для построения графика заданной функции оставляем ту часть графика функции которая лежит правее оси Оу и на оси Оу. Часть графика, которая лежит левее оси Оу, отбрасываем, а оставшуюся часть отображаем в левую полуплоскость симметрично оси Оу (рис. 6.8).



Пример 3. Доказать тождество


Решение.

Читайте также: