Степенные показательные и логарифмические выражения
Обновлено: 02.07.2024
где
Основные свойства показательной функции
1. Область определения:
2. Множество значений:
3. Четность и нечетность: не обладает свойством четности.
4. Периодичность: непериодическая.
5. Нули функции: нулей не имеет.
6. Промежутки знакопостоянства: Функция положительна для
7. Наибольшее и наименьшее значения: наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.
8. Промежутки возрастания и убывания: если функция возрастает для всех если – убывает для
9. Точки пересечения с осями координат: пересекает ось Оу в точке ось Ох не пересекает.
10. Асимптоты: прямая Y = 0 (ось Ох) является горизонтальной асимптотой.
11. График функции для A > 1 изображен на рис. 6.1, для – на рис. 6.2.
Из свойств функции следует: неравенство равносильно неравенствам:
1) если
2) если
Показательная функция с основанием Е, где Е – иррациональное число Е = 2,718281…, называется Экспонентой, пишут или
Через показательные выражения с основанием Е определяются Гиперболические функции.
Гиперболическим синусом называется функция
Основные свойства гиперболического синуса
1. Область определения:
2. Множество значений:
3. Четность и нечетность: нечетная.
4. Периодичность: непериодическая.
5. Нули функции:
6. Промежутки знакопостоянства: Функция отрицательна для положительна – для
7. Наибольшее и наименьшее значения: наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.
8. Промежутки возрастания и убывания: функция возрастает для всех
9. Точки пересечения с осями координат:
10. Асимптоты: асимптот не имеет.
11. График функции изображен на рис. 6.3.
Гиперболическим косинусом называется функция
Основные свойства гиперболического косинуса
1. Область определения:
2. Множество значений:
3. Четность и нечетность: четная.
4. Периодичность: непериодическая.
5. Нули функции: нулей не имеет.
6. Промежутки знакопостоянства: Функция положительна для
7. Наибольшее и наименьшее значения: наименьшее значение, равное 1, функция принимает при
8. Промежутки возрастания и убывания: функция убывает при возрастает при
9. Точки пересечения с осями координат: пересекает ось Оу в точке ось Ох не пересекает.
10. Асимптоты: асимптот не имеет.
11. График функции изображен на рис. 6.4.
 |
 |
Гиперболические тангенс и котангенс определяются через отношение гиперболических синуса и косинуса.
Гиперболическим тангенсом Называется функция
т. е.
Основные свойства гиперболического тангенса
1. Область определения:
2. Множество значений:
3. Четность и нечетность: нечетная.
4. Периодичность: непериодическая.
5. Нули функции:
6. Промежутки знакопостоянства: Функция отрицательна для положительна для
7. Наибольшее и наименьшее значения: наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.
8. Промежутки возрастания и убывания: функция возрастает для
9. Точки пересечения с осями координат:
10. Асимптоты: имеет горизонтальные асимптоты и
11. График функции изображен на рис. 6.5.
 |
Гиперболический котангенсом называется функция
т. е.
Основные свойства гиперболического котангенса
1. Область определения:
2. Множество значений:
3. Четность и нечетность: нечетная.
4. Периодичность: непериодическая.
5. Нули функции: нулей не имеет.
6. Промежутки знакопостоянства: Функция отрицательна для положительна для
7. Наибольшее и наименьшее значения: наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.
8. Промежутки возрастания и убывания: функция убывает для
9. Точки пересечения с осями координат: нет.
10. Асимптоты: имеет горизонтальные асимптоты и
11. График функции изображен на рис. 6.6.
Пример 1. Сравнить числа:
1) и 2) и
3) и
Решение. 1) Преобразуем числа к одному основанию:
Так как и функция монотонно возрастает, то следовательно,
2) Преобразуем числа:
Так как и функция монотонно убывает, то следовательно,
3) Преобразуем числа:
Так как и функция монотонно возрастает, то тогда и
Пример 2. Построить график функции:
1) 2)
Решение. 1) Строим график функции
График функции получаем из предыдущего путем смещения его на 3 единицы влево по оси Ох и на 4 единицы вниз по оси Оу.
Для построения графика заданной функции оставляем ту часть графика функции которая лежит над осью Ох и на оси Ох. Ту часть графика, которая расположена ниже оси Ох, отображаем в верхнюю полуплоскость симметрично относительно оси Ох (рис. 6.7).
 |
2) Строим график функции (см. рис. 6.5).
График функции получаем из предыдущего путем смещения его на 2 единицы вниз вдоль оси Оу.
Для построения графика заданной функции оставляем ту часть графика функции которая лежит правее оси Оу и на оси Оу. Часть графика, которая лежит левее оси Оу, отбрасываем, а оставшуюся часть отображаем в левую полуплоскость симметрично оси Оу (рис. 6.8).
Пример 3. Доказать тождество
Решение.
Читайте также: