Наука об операциях над высказываниями
Обновлено: 07.05.2024
Познакомимся с основными логическими операциями, которые можно выполнять над высказываниями. Они соответствуют связкам, употребляемым в нашей речи. Простые высказывания состоят из одной законченной мысли, а составные из нескольких, для их связи и используются логические операции.
Конъюнкция
Конъюнкция (логическое умножение) — логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум высказываниям новое высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны.
Для записи конъюнкции используются следующие знаки: И , ˆ , ⋅ , & .
Например: A И B , A ˆ B , A ⋅ B , A & B .
Конъюнкцию можно описать в виде таблицы, которую называют таблицей истинности :
В таблице истинности перечисляются все возможные значения исходных высказываний (столбцы \(A\) и \(B\)), причём соответствующие им двоичные числа, как правило, располагают в порядке возрастания: \(00, 01, 10, 11\). В последнем столбце записан результат выполнения логической операции для соответствующих операндов.
Пример:
\(A\) = «Джордж Буль создал новую область науки — математическую логику»,
\(B\) = «Клод Шеннон связал математическую логику с работой компьютера».
Построим сложное высказывание A И B : «Джордж Буль создал новую область науки — математическую логику, и Клод Шеннон связал математическую логику с работой компьютера» истинно только в том случае, когда одновременно истинны оба исходных высказывания.
Дизъюнкция
Рассмотрим два высказывания:
\(A\) = «Идея использования в логике математической символики принадлежит Готфриду Вильгельму Лейбницу»,
\(B\) = «Лейбниц является основоположником бинарной арифметики».
Очевидно, новое высказывание «Идея использования в логике математической символики принадлежит Готфриду Вильгельму Лейбницу или Лейбниц является основоположником бинарной арифметики» ложно только в том случае, когда одновременно ложны оба исходных высказывания.
Дизъюнкция — логическая операция, которая каждым двум высказываниям ставит в соответствие новое высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны.
Для записи дизъюнкции используются следующие знаки: ИЛИ ; ∨ ; | ; + .
Например: A ИЛИ B ; A ∨ B ; A | B ; A + B .
Дизъюнкция определяется следующей таблицей истинности:
Обрати внимание!
Дизъюнкцию также называют логическим сложением.
Инверсия
Инверсия — логическая операция, которая каждому высказыванию ставит в соответствие новое высказывание, значение которого противоположно исходному.
Для записи инверсии используются следующие знаки: НЕ ; ¬ ; −
Например: НЕ А ; ¬ А ; А − .
Инверсия определяется следующей таблицей истинности:
Обрати внимание!
Инверсию также называют логическим отрицанием.
Отрицанием высказывания «У меня дома есть компьютер» будет высказывание «Неверно, что у меня дома есть компьютер» или, что в русском языке то же самое, что «У меня дома нет компьютера».
Отрицанием высказывания «Я не знаю китайский язык» будет высказывание «Неверно, что я не знаю китайский язык» или, что в русском языке: «Я знаю китайский язык».
Таким образом, при построении отрицания к простому высказыванию либо используется речевой оборот «неверно, что . », либо отрицание строится к сказуемому, тогда к соответствующему глаголу добавляется частица «не».
Каждое сложное высказывание можно записать в виде логического выражения, которое содержит логические переменные, операции, скобки.
Последовательность выполнения логических операций:
- Инверсия;
- Конъюнкция;
- Дизъюнкция.
Если в выражении присутствуют скобки, то приоритет операций меняется, сначала выполняются действия в скобках.
Читайте также: