Наука об операциях над высказываниями

Обновлено: 22.12.2024

Познакомимся с основными логическими операциями, которые можно выполнять над высказываниями. Они соответствуют связкам, употребляемым в нашей речи. Простые высказывания состоят из одной законченной мысли, а составные из нескольких, для их связи и используются логические операции.

Конъюнкция

Конъюнкция (логическое умножение) — логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум высказываниям новое высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны.

Для записи конъюнкции используются следующие знаки: И , ˆ , ⋅ , & .

Например: A И B , A ˆ B , A ⋅ B , A & B .

Конъюнкцию можно описать в виде таблицы, которую называют таблицей истинности :


В таблице истинности перечисляются все возможные значения исходных высказываний (столбцы \(A\) и \(B\)), причём соответствующие им двоичные числа, как правило, располагают в порядке возрастания: \(00, 01, 10, 11\). В последнем столбце записан результат выполнения логической операции для соответствующих операндов.

Пример:

\(A\) = «Джордж Буль создал новую область науки — математическую логику»,

\(B\) = «Клод Шеннон связал математическую логику с работой компьютера».

Построим сложное высказывание A И B : «Джордж Буль создал новую область науки — математическую логику, и Клод Шеннон связал математическую логику с работой компьютера» истинно только в том случае, когда одновременно истинны оба исходных высказывания.

Дизъюнкция

Рассмотрим два высказывания:

\(A\) = «Идея использования в логике математической символики принадлежит Готфриду Вильгельму Лейбницу»,

\(B\) = «Лейбниц является основоположником бинарной арифметики».

Очевидно, новое высказывание «Идея использования в логике математической символики принадлежит Готфриду Вильгельму Лейбницу или Лейбниц является основоположником бинарной арифметики» ложно только в том случае, когда одновременно ложны оба исходных высказывания.

Дизъюнкция — логическая операция, которая каждым двум высказываниям ставит в соответствие новое высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны.

Для записи дизъюнкции используются следующие знаки: ИЛИ ; ∨ ; | ; + .

Например: A ИЛИ B ; A ∨ B ; A | B ; A + B .

Дизъюнкция определяется следующей таблицей истинности:


Обрати внимание!

Дизъюнкцию также называют логическим сложением.

Инверсия

Инверсия — логическая операция, которая каждому высказыванию ставит в соответствие новое высказывание, значение которого противоположно исходному.

Для записи инверсии используются следующие знаки: НЕ ; ¬ ; −

Например: НЕ А ; ¬ А ; А − .
Инверсия определяется следующей таблицей истинности:

Обрати внимание!

Инверсию также называют логическим отрицанием.

Отрицанием высказывания «У меня дома есть компьютер» будет высказывание «Неверно, что у меня дома есть компьютер» или, что в русском языке то же самое, что «У меня дома нет компьютера».

Отрицанием высказывания «Я не знаю китайский язык» будет высказывание «Неверно, что я не знаю китайский язык» или, что в русском языке: «Я знаю китайский язык».


Таким образом, при построении отрицания к простому высказыванию либо используется речевой оборот «неверно, что . », либо отрицание строится к сказуемому, тогда к соответствующему глаголу добавляется частица «не».

Каждое сложное высказывание можно записать в виде логического выражения, которое содержит логические переменные, операции, скобки.

Последовательность выполнения логических операций:

  1. Инверсия;
  2. Конъюнкция;
  3. Дизъюнкция.

Если в выражении присутствуют скобки, то приоритет операций меняется, сначала выполняются действия в скобках.

Читайте также: