Какое выражение является предикатом

Обновлено: 22.12.2024

Например:
«Число 13 – нечётное» – высказывание, истинное
«2 + 2 = 5» – высказывание, ложное
«Мы живём в XXI веке» – высказывание, истинное
«Который час?» – не высказывание, т.к. вопросительное предложение
«Вася Пупкин – хороший человек» – не высказывание, т.к. неоднозначно. Но, если определить множество людей, которые оцениваются, и правила их оценки так, что предложение приобретёт однозначность, оно станет высказыванием.

Высказывания обозначают большими латинскими буквами (A, B, C, X, Y, Z, …)

Например:
A: натуральное число a делится на 2;
B: натуральное число a чётное.
Заметим, немного забегая наперёд, что в данном случае из А следует В, и из В следует А. Говорят, что эти высказывания эквивалентны: A ⇔ B.

п.2. Предикаты

Предикат – это предложение с переменной P(x), которое становится высказыванием при подстановке определённого значения переменной.
Предикат P(x) является функцией, которая определена на некотором множестве значений x>, и ставит ему в соответствие два значения – истина или ложь.

Например:
P(x): x – объект с четырьмя ногами
При x = слон – предикат становится истинным высказыванием, P("слон" )=1
При x = муравей – предикат становится ложным высказыванием, т.к. у муравья 6 ног, P(муравей)=0
При x = стол – предикат становится истинным высказыванием, P("стол" )=1
При x = человек – предикат становится ложным высказыванием, т.к. у человека 2 ноги, P(человек)=0

Множество значений переменной, на котором предикат становится истинным, называют множеством истинности предиката .
Предикат, который при любых значениях переменной, является истинным, называют тождественным предикатом или тождеством .

Например:
P(x):|x| ≥ 0 – выполняется при любом значении x, это тождественный предикат.
$\mathrm>$

Предикат может быть функцией нескольких переменных, в этом случае его называют многоместным предикатом .

Например:
P(x, y): x делится на y – двуместный предикат, который становится истинным высказыванием на парах значений переменных (15;5), (14;7), (16;4) и т.д.
P(a, b):(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 – является тождественным двуместным предикатом, т.к. выполняется для любых a и b.

п.3. Кванторы

Квантор – логическая операция, ограничивающая область истинности предиката и создающая высказывание. Вид квантора Обозначение Читается

Единственности и существования

«существует точно одно такое, что…», «существует и единственно…»

Пусть P(x) – одноместный предикат. Чтобы установить истинность высказывания (∃x)P(x), достаточно найти хотя бы один такой x*, что P(x* ) становится истинным высказыванием. Высказывание Формула Доказательство истинности

Существуют натуральные числа, которые делятся на 13

Например x = 26

Существуют треугольники, у которых все углы равны

Например, равносторонний треугольник со стороной 1

Пусть P(x) – одноместный предикат. Чтобы установить ложность высказывания (∀x)P(x), достаточно найти хотя бы один такой x*, что P(x* ) становится ложным высказыванием. Высказывание Формула Доказательство ложности

Любое натуральное число делится на 5

Например x = 6 на 5 не делится

У любого выпуклого четырехугольника диагонали перпендикулярны

Например, у прямоугольника со сторонами 3 и 4 угол между диагоналями ≈ 74° ≠ 90°

Пусть P(x) – одноместный предикат. Чтобы установить истинность высказывания (∀x)P(x), необходимо доказать, что предикат P(x) является тождеством. Высказывание Формула Доказательство истинности (тождественности)

Разность квадратов двух любых выражений равна произведению суммы и разности

Сумма углов любого треугольника равна 180°.

Третий класс задач (теорема) – самый сложный, т.к. требует не просто одного примера, а доказательства в общем случае.

п.4. Примеры

Пример 1. Запишите по два высказывания (A – истинное, B – ложное), относящиеся к
а) физике
A: Плотность равна отношению массы тела к его объему.
B: КПД механизма может быть больше 1.
б) химии
A: Гидроксид натрия – сильное основание.
B: Сульфат натрия – нерастворимая соль.
в) географии
A: На Земле шесть материков.
B: На Земле три океана.

Пример 2. Запишите по два предиката, относящиеся к
а) физике
A(h): Потенциальная энергия прямо пропорциональна высоте h.
B(v): Сила лобового сопротивления прямо пропорциональна квадрату скорости v 2 .
б) химии
A(x,y): Между основанием x и кислотой y проходит реакция нейтрализации.
B(x): Металл x вытесняет водород из HCl.
в) географии
A(x,y,z): День x является днём y солнцестояния в z полушарии.
B(x,y): Река x впадает в море y.

Пример 3. С каким из кванторов предикат x 2 + 4 = 12 станет истинным высказыванием?
Если запишем (∀x) x 2 + 4 = 12 – это ложное высказывание, т.к., например, при x=0 оно не выполняется.
Если запишем (∃x) x 2 + 4 = 12 – это истинное высказывание, т.к., например, при $\mathrm>$, оно выполняется.
Если запишем (∃x!) x 2 + 4 = 12 – это ложное высказывание, т.е. решений у данного уравнения не одно, а два: $\mathrm=2\sqrt>$
Ответ: квантор существования ∃.

Пример 4. Найдите область истинности предиката: $$ P(x):\ \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. $$ Решаем систему: $$ \left\< \begin < l >\mathrm <(x-4)(x-7)\geq 0>& \\ \mathrm <(x-2)(x-9)\lt 0>& \end\right. $$
Область истинности предиката: x ∈ (2;4] ∪ [7;9)
P(x) = 1 приx ∈ (2;4] ∪ [7;9)

Читайте также: