Какое выражение является неопределенностью вида ноль на ноль
Обновлено: 04.11.2024
На картинке выше я написал одно из возможных раскрытий такой неопределенности. Здесь используются свойства логарифма и экспоненты, а также правило Бернулли-Лопиталя, которое гласит, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных. То есть получается, что это вполне определенность?
Но давайте немного подумаем, действительно ли мы понимаем смысл этой операции? Всё ли здесь так просто?
Пожалуй, всё зависит от степени абстракции. Можно долго спорить над тем, что подразумевать под возведением в нулевую степень. Ведь всем понятно, что x ¹ = x, x ² = x⋅x, x ³ = x⋅x⋅x
А что тогда значит возвести в нулевую степень? Да еще и число 0, которое сколько ни умножай на себя, должен получаться 0. Это из области таких моментов, как и 0! = 1. (Факториал нуля равен единице).
А как это объяснить школьнику средней и младшей школы, который не знает пределы? К примеру, некоторую математику можно на жизнь перевести, на примеры с конфетами, тортами и яблоками :) И обычные возведения в степень, не равную 0, тоже можно свести умножению, а умножение свести к сумме, а сумму объяснить на пальцах или на конфетах. А как тут связать с жизненным наглядным примером?
Почему вообще 0 в нулевой степени стали считать неопределенностью
Дело в том, что если мы рассмотрим функцию от двух переменных, назовем её z(x,y) = x^y , то в точке (0, 0) она имеет разрыв, который особо не устраняется.
На положительном луче x > 0 мы имеем z(x > 0, y = 0) = x^0 = 1 в точке y = 0;
На положительном луче y > 0 мы имеем z(x = 0, y > 0) = 0^y = 0 в точке x = 0;
Давайте посмотрим на график этой функции, чтобы лучше понимать её интересное поведение
Вот такой вот разрыв и вертикальный диапазон значений от 0 до 1 вдоль оси z. Тогда получается, что вопрос о том, что нам выбрать при возведение x в степень y, где x → 0 и y → 0 сводится к некоторым соглашениям среди математиков.
Существует аргумент в пользу того, что 0^0 = 1 потому что так можно более кратко расписать разложение в ряд Маклорена экспоненты ( f(x) = exp(x) )
Если попытаться объяснить нашу неопределенность 0^0 школьнику или ребенку, то есть использовать это в контексте натуральных чисел, то нужно уточнить правило возведения в натуральную степень. Например, так:
В этом случае возведение любого числа (включая 0) в нулевую степень будет давать 1.
Еще пару слов в защиту предлагает теория множеств (Бурбаки). Что мол число отображений n-элементарного множества в m-элементарное множество равно m^n , а при m = n = 0 получаем отображение пустого множества в пустое множество, и такое отображение единственное, что дает единицу.
Что имеем в итоге? Соглашение 0^0 = 1 является символической фикцией, которую мы не можем использовать ни в каких алгебраических преобразованиях в силу того, что наша изначально рассмотренная функция терпит разрыв в этой точке.
Интересный и простейший анализ выражения
Допустим, у нас есть выражение вида 1/a или a^-1. Если а - произвольное положительной действительное число, то это выражение конечно и определено. Однако, если мы с помощью эквивалентных преобразований напишем 1/a = (a^(-1/t))^t и устремим к нулю t → 0, то мы получим:
1. с одной стороны неопределенность 0^0
2. с другой стороны конечное число 1/a.
Но если не отличать предельную форму 0^0 (каждый из нулей получается только стремлением, то есть бесконечно малые числа, но не прям нули(!)) от реального значение 0^0 (каждый из нулей настоящий конечный ноль), то можно ошибочно принять предел за 1.
Но как такое возможно, когда одно и то же выражение равно 1 и 1/a ?
Вот здесь начинаются скрытые подвохи математики, друзья!
Мы должны сделать вывод о том, что можно получить трудноуловимые ошибки, если спутать стремление к нулю с настоящим конечным нулем.
Получается, что бесконечно малая величина в бесконечно малой степени может быть любым значением, а не обязательно единицей.
Имеется тонкая грань между нулем и бесконечно малым числом, которая иногда размывается и приводит к математическому хаосу.
Еще больше подобных разборов в моей группе в vk: Репетитор IT mentor
Спасибо, что дочитали до конца :) Если вам нравятся такие разборы, и вы хотите видеть их чаще, то оставьте обратную связь (лайки, комментарии, ваши мысли).
Еще много полезного и интересного вы сможете найти на ресурсах:
Репетитор IT mentor в VK
Читайте также: