Интегрирование выражений вида r cosx sinx

Обновлено: 04.11.2024

Построение графика функции методом дифференциального исчисления

Экстремум функции двух переменных

Приемы нахождения неопределенных интегралов

Приближенное вычисление определенного интеграла по формуле прямоугольников.
см. также Задача интегрирования в конечном виде, Несобственные интегралы

Пример 1. Вычислить ∫ (3x+15) 17 dx .
Решение.
Возводить двучлен в 17-ю степень нецелесообразно. Исходя из табличного интеграла , получаем
= .
Пример 2. Вычислить .
Решение.
Аналогично предыдущему,
=

Пример 3. .
Решение. Поскольку
, то .

Пример 4. Вычислить
Решение. Так как
, то .

Пример 5. Вычислить .
Решение.
Применим подстановку . Отсюда x-5=t 2 , x=t 2 +5 , dx=2tdt .
Подставив в интеграл, получим

Пример 6. Вычислить ∫ x 2 e x dx .
Решение.
Положим u=x 2 , dv=e x dx ; тогда du=2xdx , v=e x . Применим формулу интегрирования по частям:
∫x 2 e x dx=x 2 e x -2∫xe x .
Мы добились понижения степени x на единицу. Чтобы найти ∫xe x , применим еще раз интегрирование по частям. Полагаем u=x , dv=e x dx ; тогда du=dx , v=e x и
∫xe x =x 2 e x -2xe x +2e x +C .

Пример 7. Вычислить .
Решение. Выделяя целую часть, получим: .
Учитывая, что x 4 +5x 2 +4=(x 2 +1)(x 2 +4) , для второго слагаемого получаем разложение

Приводя к общему знаменателю, получим равенство числителей:
-5x 2 –4=(Ax+B)(x 2 +4)+(Cx+D)(x 2 +1) .
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем
x 3 : 0=A+C
x₂: -5=B+D
x: 0=4A+C
x 0 : -4=4B+D

Отсюда находим A=C=0 , B= 1 /₃ , D=- 16 /₃ .
Подставляя найденные коэффициенты в разложение и интегрируя его, получаем:

Пример 8. Вычислить .
Решение. Так как
,
то подынтегральное выражение есть рациональная функция от x и ; поэтому введем подстановку:
; ,
откуда
; ; ;.
Следовательно,

Пример 9. Вычислить .
Решение.
Подынтегральная функция рационально зависит от sinx(x) и cos(x) ; применим подстановку tg x /₂=t , тогда
, , и
=
Возвращаясь к старой переменной, получим
= .

Пример 10. Вычислить .
Решение.
Произведем замену 1+3x 8 = z 2 . Тогда , ;
таким образом,
.
Следует обратить внимание, что при замене переменной в определенном интеграле пределы интегрирования в общем случае изменяются.

Читайте также: