Что значит прологарифмировать выражение
Обновлено: 05.07.2024
Уравнения вида 2 x = 3 ; x log 3 x − 2 = 27 ; x log 3 x = 4 x решаются логарифмированием обеих частей уравнения.
Логарифмирование — это переход от уравнения f x = g x к уравнению log a f x = log a g x .
Рассмотрим на примерах.
Пример:
реши уравнение 2 x = 3 .
Решение
Прологарифмируем обе части уравнения по основанию \(2\):
log 2 2 x = log 2 3 ; x ⋅ log 2 2 = log 2 3 , т. к. log a b r = r ⋅ log a b ;
x ⋅ 1 = log 2 3 ; x = log 2 3 .
Ответ: x = log 2 3 .
Пример:
реши уравнение: x log 3 x − 2 = 27 .
Решение
x > 0 x ≠ 1 x ∈ ( 0 ; 1 ) ∪ 1 ; + ∞ .
Прологарифмируем обе части по основанию \(3\):
log 3 x log 3 x − 2 = log 3 27 ;
log 3 x − 2 ⋅ log 3 x = 3 , т. к. log a b r = r ⋅ log a b .
Пусть log 3 x = t ;
t − 2 ⋅ t = 3 ; t 2 − 2 t − 3 = 0 .
По теореме Виета
t 1 + t 2 = 2 t 1 ⋅ t 2 = − 3 ⇒ t 1 = 3 t 2 = − 1 .
Вернёмся к обозначенному:
log 3 x = 3 ; x 1 = 3 3 = 27 . log 3 x = − 1 ; x 2 = 3 − 1 = 1 3 .
Оба значения принадлежат ОДЗ.
Ответ: 1 3 , 27 .
Пример:
реши уравнение: x log 2 x = 4 x .
Решение
x > 0 x ≠ 1
(по определению показательной функции);
x ∈ ( 0 ; 1 ) ∪ ( 1 ; + ∞ ) .
Прологарифмируем по основанию \(2\):
log 2 x log 2 x = log 2 4 x ; log 2 x ⋅ log 2 x = log 2 4 x ; log 2 2 x − log 2 4 x = 0 ; log 2 2 x − log 2 4 + log 2 x = 0 ; log 2 2 x − log 2 x − log 2 4 = 0 ; log 2 2 x − log 2 x − 2 = 0 .
Обозначим log 2 x = t , тогда t 2 − t − 2 = 0 .
По теореме Виета
t 1 + t 2 = 1 t 1 ⋅ t 2 = − 2 ⇒ t 1 = 2 t 2 = − 1 log 2 x = 2 ; log 2 x = − 1 ; x 1 = 2 2 = 4 . x 2 = 2 − 1 = 1 2 .
Читайте также: