Что значит прологарифмировать выражение

Обновлено: 21.11.2024

Уравнения вида 2 x = 3 ; x log 3 x − 2 = 27 ; x log 3 x = 4 x решаются логарифмированием обеих частей уравнения.

Логарифмирование — это переход от уравнения f x = g x к уравнению log a f x = log a g x .

Рассмотрим на примерах.

Пример:

реши уравнение 2 x = 3 .

Решение

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию \(2\):

log 2 2 x = log 2 3 ; x ⋅ log 2 2 = log 2 3 , т. к. log a b r = r ⋅ log a b ;

x ⋅ 1 = log 2 3 ; x = log 2 3 .

Ответ: x = log 2 3 .

Пример:

реши уравнение: x log 3 x − 2 = 27 .

Решение

x > 0 x ≠ 1 x ∈ ( 0 ; 1 ) ∪ 1 ; + ∞ .

Прологарифмируем обе части по основанию \(3\):

log 3 x log 3 x − 2 = log 3 27 ;

log 3 x − 2 ⋅ log 3 x = 3 , т. к. log a b r = r ⋅ log a b .

Пусть log 3 x = t ;

t − 2 ⋅ t = 3 ; t 2 − 2 t − 3 = 0 .

По теореме Виета

t 1 + t 2 = 2 t 1 ⋅ t 2 = − 3 ⇒ t 1 = 3 t 2 = − 1 .

Вернёмся к обозначенному:

log 3 x = 3 ; x 1 = 3 3 = 27 . log 3 x = − 1 ; x 2 = 3 − 1 = 1 3 .

Оба значения принадлежат ОДЗ.

Ответ: 1 3 , 27 .

Пример:

реши уравнение: x log 2 x = 4 x .

Решение

x > 0 x ≠ 1

(по определению показательной функции);

x ∈ ( 0 ; 1 ) ∪ ( 1 ; + ∞ ) .

Прологарифмируем по основанию \(2\):

log 2 x log 2 x = log 2 4 x ; log 2 x ⋅ log 2 x = log 2 4 x ; log 2 2 x − log 2 4 x = 0 ; log 2 2 x − log 2 4 + log 2 x = 0 ; log 2 2 x − log 2 x − log 2 4 = 0 ; log 2 2 x − log 2 x − 2 = 0 .

Обозначим log 2 x = t , тогда t 2 − t − 2 = 0 .

По теореме Виета

t 1 + t 2 = 1 t 1 ⋅ t 2 = − 2 ⇒ t 1 = 2 t 2 = − 1 log 2 x = 2 ; log 2 x = − 1 ; x 1 = 2 2 = 4 . x 2 = 2 − 1 = 1 2 .

Читайте также: