Что такое сопряженное выражение
Обновлено: 22.12.2024
Если дробь содержит корень в знаменателе, то мы говорим об иррациональности в знаменателе дроби. Часто бывает необходимо освободиться от иррациональности в знаменателе дроби. То есть заменить исходную дробь, содержащую иррациональность в знаменателе на тождественно равную ей дробь, которая иррациональность не содержит. Как это сделать?
Общее правило такое: нужно числитель и знаменатель дроби умножить на выражение, сопряженное знаменателю дроби.
Выражение А называется сопряженным иррациональному выражению В, если произведение АВ не содержит знака корня, то есть произведение АВ является рациональным числом.
Рассмотрим примеры сопряженных выражений.
1. Иррациональное выражение В содержит квадратный корень.
Возможны два случая:
a) . В этом случае :
Например, чтобы исключить иррациональность из знаменателя в дроби " />
, нужно числитель и знаменатель дроби умножить на " />
, получим >/*sqrt>=<5sqrt>/3" />
Внимание! Обязательно умножаем на выражение, сопряженное знаменателю и числитель, и знаменатель дроби - только в этом случае мы получим дробь, тождественно равную исходной.
б) sqrt" />
,
В этом случае сопряженным выражением будет дополняющее sqrt" />
до разности квадратов:
Для выражения " />
сопряженным будет " />
: )(sqrt-sqrt)=a-b" />
Соответственно, для выражения " />
сопряженным будет " />
: )(sqrt+sqrt)=a-b" />
Например, исключим иррациональность из знаменателя дроби >" />
Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на " />
Получим: >=<2*(2+sqrt)>/<(2-sqrt)(2+sqrt)>=<2(2+sqrt)>/=2(2+sqrt)" />
2. Иррациональное выражение В содержит корень n-й степени: " />
В этом случае сопряженное выражение >" />
:
root>=root
Пример: исключим иррациональность из знаменателя дроби >" />
Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение >=root>" />
. Получим:
>>>/>*>>>=<3*>>>/>>=<3>>>/7" />
3. Иррациональное выражение В является одним из множителей в разложении на множители разности или суммы кубов. В этом случае сопряженным ему выражением будет второй множитель:
+root)(root-rootroot+root)=a+b" />
-root)(root+rootroot+root)=a-b" />
Исключим иррациональность из знаменателя дроби:
-root>=
Рассмотрим пример упрощения выражения, содержащего иррациональность в знаменателе дроби.
Найти значение выражения:
-3>>*-2>>+6sqrt)(sqrt-4)" />
Внимание! Если нужно упростить выражение, содержащее иррациональность в знаменателе, то первым делом исключаем иррациональность из знаменателя, даже если кажется, что без этого можно обойтись.
Итак, исключим иррациональность из знаменателя первой и второй дроби:
-3>>*-2>>+6sqrt)(sqrt-4)" />
-3>>=<59(2sqrt+3)>/<(2sqrt-3)(2sqrt+3)>=<59(2sqrt+3)>/=<59(2sqrt+3)>/=2sqrt+3" />
-2>>=<26*(sqrt+2)>/(sqrt-2)(sqrt+2)=<26*(sqrt+2)>/(17-4)=<26*(sqrt+2)>/13=2(sqrt+2)" />
Подставим полученные выражения в исходное:
+3)(2(sqrt+2))+6sqrt)(sqrt-4)=" />
-3>>*-2>>+6sqrt)(sqrt-4)=20" />
И.В. Фельдман, репетитор по математике.
Читайте также: