Что такое сопряженное выражение

Обновлено: 02.07.2024

Если дробь содержит корень в знаменателе, то мы говорим об иррациональности в знаменателе дроби. Часто бывает необходимо освободиться от иррациональности в знаменателе дроби. То есть заменить исходную дробь, содержащую иррациональность в знаменателе на тождественно равную ей дробь, которая иррациональность не содержит. Как это сделать?

Общее правило такое: нужно числитель и знаменатель дроби умножить на выражение, сопряженное знаменателю дроби.

Выражение А называется сопряженным иррациональному выражению В, если произведение АВ не содержит знака корня, то есть произведение АВ является рациональным числом.

Рассмотрим примеры сопряженных выражений.

1. Иррациональное выражение В содержит квадратный корень.

Возможны два случая:

a) . В этом случае :

Например, чтобы исключить иррациональность из знаменателя в дроби " />
, нужно числитель и знаменатель дроби умножить на " />
, получим >/*sqrt>=<5sqrt>/3" />

Внимание! Обязательно умножаем на выражение, сопряженное знаменателю и числитель, и знаменатель дроби - только в этом случае мы получим дробь, тождественно равную исходной.

б) sqrt" />
,

B=sqrt<pm></p> <p>В этом случае сопряженным выражением будет дополняющее sqrt
до разности квадратов:

Для выражения " />
сопряженным будет " />
: )(sqrt-sqrt)=a-b" />

Соответственно, для выражения " />
сопряженным будет " />
: )(sqrt+sqrt)=a-b" />

2/<2-sqrt<3></p> <p>Например, исключим иррациональность из знаменателя дроби >

2+sqrt<3></p> <p>Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на

2/<2-sqrt</p> <p>Получим: >=<2*(2+sqrt)>/<(2-sqrt)(2+sqrt)>=<2(2+sqrt)>/=2(2+sqrt)

root<n></p> <p>2. Иррациональное выражение В содержит корень n-й степени:

A=root<n></p> <p>В этом случае сопряженное выражение >
:

AB=root</p> <p>root>=root<x^>=x

3/<root<5></p> <p>Пример: исключим иррациональность из знаменателя дроби >

Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение >=root>" />
. Получим:

<3*</p> <p>>>>/>*>>>=<3*>>>/>>=<3>>>/7

3. Иррациональное выражение В является одним из множителей в разложении на множители разности или суммы кубов. В этом случае сопряженным ему выражением будет второй множитель:

(root</p> <p>+root)(root-rootroot+root)=a+b

(root</p> <p>-root)(root+rootroot+root)=a-b

Исключим иррациональность из знаменателя дроби:

1/<root</p> <p>-root>=<root+rootroot+root>/<(<root-root>)(<root+rootroot+root>)>=<root+rootroot+root>/=<root+rootroot+root>

Рассмотрим пример упрощения выражения, содержащего иррациональность в знаменателе дроби.

Найти значение выражения:

(<59/<2sqrt</p> <p>-3>>*-2>>+6sqrt)(sqrt-4)

Внимание! Если нужно упростить выражение, содержащее иррациональность в знаменателе, то первым делом исключаем иррациональность из знаменателя, даже если кажется, что без этого можно обойтись.

Итак, исключим иррациональность из знаменателя первой и второй дроби:

-3>>*-2>>+6sqrt)(sqrt-4)" />
-3>>=<59(2sqrt+3)>/<(2sqrt-3)(2sqrt+3)>=<59(2sqrt+3)>/=<59(2sqrt+3)>/=2sqrt+3" />

<26/<sqrt</p> <p>-2>>=<26*(sqrt+2)>/(sqrt-2)(sqrt+2)=<26*(sqrt+2)>/(17-4)=<26*(sqrt+2)>/13=2(sqrt+2)

Подставим полученные выражения в исходное:

((2sqrt</p> <p>+3)(2(sqrt+2))+6sqrt)(sqrt-4)=

(<59/<2sqrt</p> <p>-3>>*-2>>+6sqrt)(sqrt-4)=20


И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Читайте также: