Загадки по теореме пифагора
Обновлено: 19.05.2024
Знаменитый учёный Пифагор заложил основы многих научных теорий. Будучи человеком невероятно одарённым, он великолепно разбирался в самых разных науках. Его авторитет был столь велик, что вокруг него сформировался настоящий культ личности, и пифагорейцы почитали своего лидера за едва ли не божественное существо. Многие из них верили, что Пифагор действительно обладает сверхъестественными силами.
Собственная школа Пифагора включала в себя три направления: политическое, религиозное и философское.В результате первой же прочитанной лекции Пифагор приобрел 2000 учеников, которые не вернулись домой, а вместе со своими женами и детьми образовали громадную школу.
Одним из требований для все желающих присоединиться к школе Пифагора был отказ от всего имущества.
Следующая загадка
Да, путь познания не гладок
Но знаем мы со школьных лет,
Загадок больше, чем разгадок,
И поискам предела нет.
На радужной узрел я оболочке
Бегущие квадратики, кружочки,
Вселенной опрокинутый узор,
И вспыхнуло в мелькании сквозь строчки
Пылающее имя – Пифагор.
Пифагор – один из самых известных учёных, но и самая загадочная личность, человек символ, философ и пророк. Он был властителем дум и проповедником созданной им религии. Его обожествляли и ненавидели.
Родился Пифагор на о. Самос (небольшом острове в Икарийском море, напротив Милета).
Отец Пифагора был Мнесарх – резчик по драгоценным камням. Пифагор - это не имя, а прозвище. Поскольку мудрый учитель высказывал истину, столь же постоянно и авторитетно, за это и был прозван Пифагором. Родившийся мальчик был сказочно красив, а вскоре проявил свои незаурядные способности. Целые дни юный Пифагор проводил со своим учителем - старцем Гермодамантом, внимая мелодии кифары и гекзаметрам Гомера.
Именно в музыке он нашел доказательство своему знаменитому тезису «Все есть число».
Неугомонному воображению Пифагора очень скоро стало тесно на маленьком Самосе. Он отправляется путешествовать, утолять жажду познания.
20-летним юношей Пифагор отправляется в Египет. Но попасть туда было трудно. И пока он живет на острове Лесбос, знакомится с философом Ферекидом и учится у него медицине, астрологии, предсказанию затмений, тайнам чисел.
С Лесбоса его путь сначала лежит в Милет – к знаменитому ФАЛЕСУ, основателю первой в истории философской школы. Здесь Пифагор приобретает много важных знаний.
И вот, наконец, Пифагор в Египте. Сначала он учится в школе писцов. Дальнейшее образование получает у египетских жрецов. И чтобы проникнуть в «святая святых» - египетские храмы –принимает посвящение в сан жреца.
У жрецов он заимствовал всякого рода мистики, пристрастие к таинствам, к священнодействиям, к магии чисел и т.д.
По окончании обучения у жрецов Пифагор волею судеб оказался втянутым в военные действия между персами и египтянами. Пифагор попадает в плен.
Отправляясь из Египта на родину, Пифагор попадает в плен к вавилонскому царю Камбизу . Даже находясь в плену, Пифагор не переставал учиться. Он встречался с персидскими магами, приобщился к восточной астрологии и мистике, познакомился с учением халдейских мудрецов (астрономия, астрология, медицина, арифметика). Через несколько лет ему удалось бежать из плена. Он решает вернуться на родину, чтобы приобщить к знаниям свой народ.
Однако в Греции произошли изменения. Лучшие умы, спасаясь от персидского ига, перебрались в Южную Италию и основали города – колонии: Сиракузы, Агригент, Кротон. В Кротоне и обосновался Пифагор. Жители Кротона единодушно избирают мудрого старца цензором нравов, своеобразным
духовным отцом города.
Кротон – небольшой греческий полис на юге Аппенинского полуострова. Начинается самый славный период биографии Пифагора. Он учреждает религиозно - этическое братство или пифагорейское братство (религиозный союз, политический клуб, научное общество), его основу составляют братства орфиков. «Золотые стихи» Пифагора составляют моральный кодекс пифагорейцев.
Предание о смерти великого мудреца
Когда был подожжен дом Милона, где собирались пифагорейцы, Пифагор в задумчивости сидел в центре залы. Великий мудрец и не помышлял сделать хоть одно движение к своему спасению. Тогда ученики бросились в огонь и проложили в нем дорогу, чтобы он по их телам, как по мосту, вышел из объятого пламенем дома. Пифагора спасли, но страшной ценой – ценой жизней его единомышленников. Оставшись один, Пифагор так затосковал, что удалился из города и там лишил себя жизни.
Следующая загадка
1. Существенно расширить круг геометрических задач, решаемых с помощью теоремы Пифагора.
2. Познакомить учащихся с основными этапами жизни и деятельности Пифагора.
3. Осуществить межпредметную связь геометрии с алгеброй, географией, историей, литературой.
Вступительное слово учителя.
Теорема Пифагора – одна из важнейших теорем геометрии, потому что с ее помощью можно доказать много других теорем и решить множество задач.
Суть истины вся в том, что нам она – навечно,
Когда хоть раз в прозрении ее увидим свет,
И теорема Пифагора через столько лет
Для нас, как для него, бесспорна, безупречна…
(Отрывок из стихотворения А. Шамиссо)
Повторение теории.
Теорема Пифагора – важнейшее утверждение геометрии.
Если дан нам треугольник
И притом с прямым углом,
То квадрат гипотенузы
Мы всегда легко найдем:
Катеты в квадрат возводим,
Сумму степеней находим —
И таким простым путем
К результату мы придем.
3. Историческая справка.
Изучение вавилонских, древнекитайских рукописей показало, что утверждение было известно задолго до Пифагора. Его же заслуга состояла в том, что он доказал эту теорему. Древняя легенда свидетельствует о том, что Пифагор в честь этого открытия принес в жертву быка или даже сто быков.
Пребудет вечной истина, как скоро
Все познает слабый человек!
И ныне теорема Пифагора
Верна, как и в его далекий век.
Обильно было жертвоприношенье
Богам от Пифагора. Сто быков
Он отдал на закланье и сожженье
За света луч, пришедший с облаков.
Поэтому всегда с тех самых пор,
Чуть истина рождается на свет,
Быки ревут, ее почуя, вслед.
Они не в силах свету помешать,
А могут лишь закрыв глаза дрожать
От страха, что вселил в них Пифагор.
Существует более 150 доказательств теоремы Пифагора. Мы изучили одно из доказательств, основанное на использовании понятия равновеликих фигур (рис.1).
Доказательство теоремы Пифагора считалось в кругах учащихся средних веков очень трудным и называлось Pons Asinorum «Ослиный мост» или elefuga «бегство убогих» , так как некоторые ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии. Слабые ученики, заучившие теорему наизусть. Без понимания, и прозванные «ослами», были не в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непреодолимого моста.
Теорема Пифагора вначале звучала так: квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах (рис. 2).
Вероятно, факт, изложенный в теореме Пифагора, был сначала установлен для равнобедренных прямоугольных треугольников.
Данный чертеж похож на пчелу. В Древней Греции слова «пчела» и «невеста» звучали одинаково, поэтому теорему Пифагора иногда называли «теоремой невесты» (рис. 3).
Смотрите, а вот и «Пифагоровы штаны» во все стороны равны (рис. 4)
Характерный чертеж теоремы Пифагора иногда превращается школьниками в забавные шаржи (рис. 5).
Благодаря большому количеству доказательств, теорема Пифагора попала в Книгу рекордов Гиннеса, как теорема с наибольшим количеством доказательств. Существует так называемое дерево Пифагора – гипотетическое дерево, которое составлено из соединенных между собой прямоугольников, с построенными на катетах и гипотенузе квадратами (рис. 6).
Теорема Пифагора всегда имела широкое применение при решении геометрических задач.
Решение исторических задач .
Задача индийского математика XII века Бхаскары
«На берегу реки рос тополь одинокий.
Вдруг ветра порыв его ствол надломал.
Бедный тополь упал. И угол прямой
С теченьем реки его ствол составлял.
Запомни теперь, что в этом месте река
В четыре лишь фута была широка
Верхушка склонилась у края реки.
Осталось три фута всего от ствола,
Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:
У тополя как велика высота?»
АВ 2 =3 2 +4 2 =25
Как называется треугольник со сторонами 3, 4, 5? (Египетский)
Сценка. Древний Египет.
Мать. У нас опять беда. Разлился Нил, а когда сошла вода, невозможно определить границы нашего участка, где мы обрабатываем землю. Когда же придут гарпедонавты?
Дочь. Мама, мама, они пришли. А что это за палки у них в руках?
Гарпеданавт. Это не палки. А вехи, с их помощью мы «провешиваем» прямые. А еще, при строительстве пирамид, мы строим прямой угол с помощью каната или обычной веревки. На веревке завязаны 12 узлов на равном расстоянии. Когда мы натягиваем веревку, то получаем треугольник со сторонами 3, 4, 5, в этом треугольнике есть прямой угол. Этот треугольник называется египетским.
Решение исторических задач.
У египтян была известная задача о лотосе.
«На глубине 12 футов растет лотос с 13-фунтовым стеблем. Определите на какое расстояние цветок может отклониться от вертикали, проходящей через точку крепления стебля ко дну».
Ответ: может отклониться на 5 метров
Задача из учебника «Арифметика» Леонтия Магницкого.
«Случися некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обреете лестницу долготью 125 стоп. И ведати хочет, колико стоп сея лестницы нижний конец от стены отстояти имать».
ВС 2 =125 2 -117 2 =(125-117)(125+117) = 8*242=8*2*121
Задача из китайской «Математики в девяти книгах»
«Имеется водоем со стороной в 1 чжан = 10 чи. В центре его растет камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснётся его. Спрашивается: каковаглубина воды и какова длина камыша?».
Историческая справка.
Пифагор – не только самый популярный ученый, но и самая загадочная личность, человек – символ. Философ, пророк. Известно, что Пифагор родился на острове Самос в Эгейском море у берегов Малой Азии около 570 г до н. э. По многим античным свидетельствам родившийся мальчик был сказочно красив, а вскоре проявил и незаурядные способности. Увлекался музыкой и поэзией. Неугомонному воображению Пифагора очень скоро стало тесно на маленьком острове. Мудрый Ферекид – один из учителей Пифагора – однажды сказал: «Ты вырос из Самоса, отправляйся путешествовать – только так ты утолишь жажду познаний. Помни: путешествие и память – суть два средства, возвышающие человека и открывающие ему врата мудрости»
В 526 г до н. э. в Египет вторглись войска персидского царя Камбиза, и Пифагор вместе с другими жрецами попал в плен. Так он оказался в Вавилоне, где и прожил12 лет.
С приездом Пифагора в Кротон начинается самый яркий период его биографии. Пифагор основал сообщество своих учеников и последователей – пифагорейскую школу – которое было одновременно научно-философской школой, религиозно-мистическим союзом, духовным братством.
Пифагорейская школа.
В Кротоне Пифагор учредил нечто вроде религиозно – этического братства, тайного монашеского ордена, члены которого обязывались вести «пифагорейский образ жизни». Это был одновременно и религиозный союз, и политический клуб, и научное общество. Не только сила личности и мудрость Пифагора, но и высокая нравственность проповедуемых им идей и жизненных принципов притягивала к нему единомышленников.
Нравственные принципы и правила, проповедуемые Пифагором, и сегодня достойны подражания. Для всех было у него одно правило: беги от всякой хитрости; отсекай огнем, железом и любым оружием от тела болезнь, от души – невежество, от утробы – роскошь, от города – смуту, от семьи – ссору.
Пифагор выработал для себя и своих учеников особый распорядок дня. Встав до восхода солнца, пифагорейцы с равным усердием заботились о физическом и духовном развитии. В основе религиозно – философского учения Пифагора лежало представление о числе, как основе всего существующего в мире.
Важнейшей научной заслугой Пифагора считается систематическое введение доказательства в математику и, прежде всего, в геометрию. Гениальная догадка Пифагора состоит в том, что в геометрии можно выбрать конечное число истин (аксиом), из которых с помощью логических правил выводимо неограниченное число геометрических предложений. В геометрии впервые возник аксиоматический метод построения науки.
Пифагорейский союз – союз истины, добра и красоты – был любимым детищем великого мудреца. И, конечно, трудно найти человека, у которого бы имя Пифагора не ассоциировалось с теоремой Пифагора.
Пифагор был настолько знаменит, что его изображали на гравюрах, а так же была выпущена монета с его изображением.
Заключение.
Значение теоремы Пифагора состоит в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии и решить множество задач. Теорема Пифагора замечательна и тем, что сама по себе она вовсе не очевидна. Например, свойства равнобедренного треугольника можно видеть непосредственно на чертеже. Но сколько не смотри на прямоугольный треугольник, никак не увидишь, что между сторонами есть простое соотношение: с 2 =а 2 + b 2 .
Кроме того, практическое значение теоремы Пифагора и обратной ей теоремы заключается в том, что с их помощью можно найти длины отрезков, не измеряя их самих. Это как бы открывает путь от прямой к плоскости, от плоскости к объемному пространству и дальше. Именно по этой причине теорема Пифагора так важна для человечества, которое стремится открывать все больше измерений и создавать технологии в этих измерениях. Например, в Германии недавно открылся кинотеатр, где показывают кино в шести измерениях: первые три даже перечислять не стоит, а так же время, запах, вкус. Вы спросите: а как связаны между собой теорема Пифагора и запахи, вкусы? А все очень «просто»: ведь при показе кино надо рассчитать куда и какие запахи направлять и т. д. Представьте: на экране показывают джунгли, и вы чувствуете запах листьев, показывают обедающего человека, а вы чувствуете вкус еды… Захватывает? Конечно да, и это говорит о том, насколько много направлений деятельности еще будет у теоремы Пифагора и связанных с ней.
Но не надо думать, что теорема Пифагора больше не имеет других значений. Например, при строительстве любого сооружения, рассчитывают расстояния, центры тяжести, размещение опор, балок и т. д. В целом, значение теоремы, кроме вышесказанного, заключается в том, что она применяется практически во всех современных технологиях, а также открывает простор для создания и придумывания новых.
В шутку, хотя и не совсем безосновательно, было предложено передать обитателям «Марса» или иной планеты световой сигнал в виде чертежа теоремы Пифагора. Математический факт, выраженной теоремой Пифагора, имеет место всюду и поэтому похожие на нас обитатели другого мира должны понять такой сигнал.
Домашнее задание.
Задача о бамбуке из древнекитайского трактата "Гоу-гу"
Имеется бамбук высотой в 1 чжан. Вершину его согнули так, что она касается земли на расстоянии 3 чи от корня (1 чжан = 10 чи).
Следующая загадка
Трудно найти человека, у которого имя Пифагора не ассоциировалось бы с его теоремой. Пожалуй, даже те, кто в своей жизни навсегда распрощался с математикой, сохраняют воспоминания о "пифагоровых штанах" - квадрате на гипотенузе, равновеликом двум квадратам на катетах. Причина такой популярности теоремы Пифагора это её простота, красота, значимость. В самом деле, теорема Пифагора проста, но не очевидна. Это сочетание двух противоречивых начал и придает ей особую притягательную силу, делает ее красивой. Но, кроме того, теорема Пифагора имеет огромное значение: она применяется в геометрии буквально на каждом шагу, и тот факт, что существует около 500 различных доказательств этой теоремы (геометрических, алгебраических, механических и т.д.), свидетельствует о её широком применении, однако не все знают о нём. Поэтому я заинтересовалась и решила провести исследование.
Объект исследования. Теорема Пифагора.
Гипотеза. Если теорема Пифагора так популярна и сегодня, то в ней заложены такие основы, которые позволяют использовать её в широком диапазоне.
Цели и задачи. Цель работы – показать значение теоремы Пифагора не только в математике, но и других отраслях нашей повседневной жизни.
Исходя из цели, были поставлены следующие задачи:
1. Найти в различных источниках и проанализировать найденную информацию о теореме и биографии Пифагора.
2. Изучить историю появления и развития теоремы Пифагора.
3. Провести опрос среди учащихся в виде анкетирования для выявления знаний о теореме Пифагора.
4. Установить какое значение имеет открытие теоремы в развитии математики.
5. Выяснить где может применяться теорема в повседневной жизни.
6. Обработать полученные данные и сделать вывод.
Методы исследования.
1. Интернет - источники.
2. Изучение дополнительной литературы по данному вопросу.
3. Результаты опроса учеников 8 «б» класса школы №50.
Г лава I . Основное содержание
1.1 Биография Пифагора.
Пифагор – древнегреческий философ-идеалист, математик, основатель пифагореизма, политический, религиозный деятель. Его родиной был остров Самос (отсюда и прозвище - Самосский), где он появился на свет приблизительно в 570 г. до н. э. Его отцом был резчик по драгоценным камням. Согласно древним источникам, Пифагор с рождения отличался удивительной красотой; когда стал взрослым, носил длинную бороду и диадему из золота. Его одаренность также проявилась в раннем возрасте.
В Кротоне Пифагор выступил организатором собственной школы, которая была одновременно и политической структурой, и религиозно-монашеским орденом со своим уставом и очень строгими правилами.
Прокатившаяся в то время волна демократических восстаний в Греции и колониях докатилась и до Кротона. После победы демократии Пифагор с учениками переселяется в Тарент, позднее в Метапонт. Когда они прибыли в Метапонт, там бушевало народное восстание, и в одном из ночных побоищ Пифагор погиб. Тогда он был глубоким старцем, ему было около 80 лет. Вместе с ним прекратила существование и его школа, ученики рассредоточились по всей территории страны.
Поскольку Пифагор считал свое учение тайной и практиковал только устную передачу его ученикам, собрания сочинений после него не осталось. Некоторые сведения все-таки стали явными, однако разграничить истину и выдумки невероятно сложно.
1.2 История теоремы и её формулировка.
До недавнего времени для меня оставалось загадкой открытие теоремы Пифагора. Из различных источников я выяснила, хоть теорема и называется «теоремой Пифагора», сам Пифагор ее не открывал. Прямоугольный треугольник и его особенные свойства изучались задолго до него. Есть две полярных точки зрения на этот вопрос. По одной версии Пифагор первым нашел полноценное доказательство теоремы. По другой - доказательство не принадлежит авторству Пифагора.
Сегодня уже не проверишь, кто прав, а кто заблуждается. Известно лишь, что доказательства Пифагора, если оно когда-либо существовало, не сохранилось. Впрочем, высказываются предположения, что знаменитое доказательство из «Начал» Евклида может принадлежать как раз Пифагору, и Евклид его только зафиксировал.
Также мне оказался интересен тот факт, что задачи о прямоугольном треугольнике встречаются в египетских источниках времен фараона Аменемхета I, на вавилонских глиняных табличках периода правления царя Хаммурапи, в древнеиндийском трактате «Сульва сутра» и древнекитайском сочинении «Чжоу-би суань цзинь».
Во времена Пифагора теорема звучала так: «доказать, что квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника равновелик сумме квадратов, построенных на катетах» или «площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах.
В современных учебниках теорема гласит: «в прямоугольном треугольник квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов».
Глава II . Практическая часть.
2.1 Исследование знаний о теореме.
В школьном курсе геометрии с помощью теоремы Пифагора решаются только математические задачи. К сожалению, вопрос о практическом применении теоремы рассматривается крайне редко. Теорема Пифагора самая известная теорема в геометрии, о ней знает подавляющее большинство населения планеты. В связи с этим, мне стало интересно проанализировать знания по этому вопросу среди своих сверстников. Я провела в школе опрос на тему: «Знаете ли Вы теорему Пифагора?» Были получены следующие результаты:
Читайте также: