Загадки и тайны эшера математика и искусство
Обновлено: 05.10.2024
Обладая литературой более обширной, чем алгебра и арифметика, вместе взятые, и по крайней мере столь же обширной, как и анализ, геометрия в большей степени, чем любой другой раздел математики, является богатейшей сокровищницей интереснейших, но полузабытых вещей, которыми спешащее по- коление не имеет времени насладиться.
Е. Т. Белл
Бруно Эрнст. ВОЛШЕБНОЕ ЗЕРКАЛО М. К. ЭШЕРА.
Рэндом хауз, Нью-Йорк, 1976, 112с.
Bruno Ernst. THE MAGIC MIRROR OF M.C. ESCHER.
Random house. New York, 1976, 112 р.
Доктор физико-математических наук,
профессор Я. А. Смородинский.
Книга и в самом деле неожиданна и необычна.
Вообще же, хотя математическое начало, несомненно, весьма сильно в гравюрах Эшера (именно поэтому художественные критики долго не признавали его), они всетаки изображают не мир формул, а красоту мира.
Доктор .искусствоведения
Е. Некрасова.
Но вот придет ли на ум самостоятельно, без подсказки автора, что математическая структура "Картинной галереи" представляет собой зеркальное отражение той "сетки", на которой построены "Рыбы и чешуйки"? И так ли уж очевидно, что "Дом из лестниц" построен с помощью чисто геометрического преобразования вертикальных и горизонтальных линий на поверхности цилиндра, как показано на рисунках? И логарифмические спирали, организующие гравюру "Путь жизни II", тоже едва ли сами по себе стали видны неискушенному взгляду, если бы математик не програнил их своим все на свете обнажающим пером.
Но всего, пожалуй, "математичнее" серьезные игры художника с бесконечностью и с ее интерпретацией в различных геометрических построениях.
Доктор физико-математических наук,
профессор И. М. Яглом.
В книге приводится иллюстрация из работы Г. С. М. Коксетера, в которой Эшер сразу же увидел новые возможности для своего художнического способа "игры" с бесконечностью. Так а 1958 году появилась гравюра "Предел на круге I". Сам художник был недоволен ею.
"В этой работе, поскольку она явилась первой попыткой, видны все недостатки. Не только форма рыб, развившаяся из некой прямолинейной абстракции в какое-то вымершее существо, но также и их расположение друг напротив друга оставляют желать лучшего. Можно проследить три различных ряда рыб, уменьшающихся к размерах по направлению осей, вдоль которых расположены их тела, но ряды эти состоят из белых рыб, соприкасающихся головами, и черных, смыкающихся хвостами. Таким образом нет непрерывности, нет "транспортного потока", нет единства цвета а каждом из рядов".
За этой гравюрой последовала другая, менее известная, "Предел на круге II". По поводу ее Эшер в разговоре с де Рийком говорил в своей обычной манере, когда шутку невозможно отличить от вполне серьезных слов:
"На самом деле этот вариант надо бы написать на внутренней поверхности полусферы. Я предложил его папе Павлу, чтобы он распорядился украсить таким образом внутреннюю часть купола собора святого Петра. Представьте себе бесконечное число крестов, висящих у вас над головой! Но папе идея не понравилась".
Автор "Волшебного зеркала М. К. Эшера" раскрывает "технологию" создания многих удивительных гравюр художника, воспроизводя в своей книге многочисленные эскизы, чертежи, а порой и специально сделанные макеты и фотографии. Вот как, например, рассказывает он о замысле гравюры "Три сферы I" и его исполнении; "Верхняя часть гравюры состоит из большого числа эллипсов, или, если хотите, большого числа маленьких прямоугольничков, расположенных по эллиптическим кривым. Но практически невозможно избавиться от ощущения, что мы видим перед собой сферу. Эшер, однако, стремится внушить нам, что никаких сфер на его гравюре вовсе нет, что она абсолютно плоская. Поэтому он сгибает верхнюю часть гравюры и перерисовывает получившуюся фигуру под так называемой сферой. И все-таки мы вновь не в силах отказаться от трехмерной интерпретации изображенного: теперь мы видим полусферу с "крышкой" наверху! Хорошо же, говорит Эшер, теперь я рисую верхнюю фигуру еще раз уже совершенно плоской, лежащей внизу гравюры. И что же? Даже тут мы отказываемся признать, что она плоская, и видим овальный надутый шар, а отнюдь не плоскую поверхность с нарисованными на ней кривыми линиями. Фотография иллюстрирует то, что сделано Эшером". Эта фотография, помещенная на обложку книги, иллюстрирует собой и тезис, неоднократно выдвигавшийся самим художником: «Рисовать — значит обманывать». Смысл, который он вкладывал в эти слова, состоит в том, что всякое изображение заставляет человека принимать воображаемое за реальность.
Дорис Шатшнейдер и Уоллес Уолкер. М. К. ЭШЕР. КАЛЕЙДОЦИКЛЫ.
Балантайн букс, Нью-Йорк, 1977, 48 стр. и альбом с 17 цветными развертками различных калейдоциклов.
Doris Schatschneider and Wallas Walker. M.K.ESCHER. KALEIDOCYCLES.
Ballantine Books. New York, 1977, 48 р.
И книга, и альбом, который составляет с ней одно законченное целое, построены, в сущности, на одной счастливой находке.
Но сначала несколько слов об истории, про которую в книге ничего не сказано. В ведущем американском научно-популярном журнале "Сайентифик Америкэн" (который с начала 1983 года переводится на русский язык издательством "Мир") была напечатана статья Марианны Теубер, специалистки по истории искусства, "Источники неоднозначности в гравюрах М. К. Эшера". Вокруг нее неожиданно разгорелась полемика.
В редакцию "Сайентифик Америкэн" пришло письмо от сына художника Джорджа Эcхера, по профессии геолога, в котором он самым решительным образом возражает Марианне Теубер. Работы гештальтпсихологов не оказали практически никакого влияния на его отца просто потому, что он их никогда не читал. Это доказывается, в частности, тем, что М. К. Эшер вел очень подробные записи, касающиеся всех его занятий, и там отмечались все источники, из которых он черпал свое вдохновение, однако ни слова в этих многолетних и тщательно составленных бумагах не сказано о трудах хотя бы одного из психологов. Образ человека, возникающий по прочтении статьи Теубер, ничем не напомнил Джорджу Эшеру его отца - ищущего, трудолюбивого, фанатически увлеченного своим делом художника, который никогда не искал готовых схем для своих гравюр в научных и технических журналах.
Что же касается его постоянного интереса к проблеме "фигура-фон", которой действительно много занимались гештальтпсихологи, а также почти болезненного стремления заполнять плоскость листа различными фигурами, вплотную, без зазоров примыкающими друг к ДРУГУ, что само по себе тоже имеет некоторое касательство к обсуждавшимся гештальтпсихологами вопросам, то в одном из писем Джордж Эшер рассказывает о любопытном эпизоде. Однажды его отец, будучи уже известным художником, ехал в трамвае, и вдруг солидная дама окликнула его: "Маук Эшер?" Это было его школьным именем, и, естественно, начались воспоминания двух уже немолодых одноклассников. И первое, чем поинтересовалась дама, было — не изменилась ли его детская привычка тщательно подбирать кусочки сыра и колбасы, прежде чем положить их на хлеб, чтобы бутерброд получился с безукоризненным "покрытием"? Оказалось, что хотя бы в этом отношении Маук совершенно не изменился.
Читатель книги-альбома познакомится и со многими важными понятиями кристаллографической симметрии, и с проблемой раскраски карт, и с другими любопытными вещами. Но все это будет полезным приложением к долгим часам наслаждения, когда он, с ножницами и клеем в руках, готовит поразительные в своем разнообразии и изяществе калейдоциклы.
Дуглас Р. Хофстадтер. ГЕДЕЛЬ, ЭШЕР, БАХ: НЕСКОНЧАЕМАЯ ЗОЛОТАЯ ЦЕПЬ.
Бейсик букс, Нью-Йорк,1979,777с.
Douglas R. Hofstadter.GODEL, ESCHER, BACH: AN ETERNAL GOLDEN BRAID.
Basic Books Inc. Publishers, New York, 1979, 777 р.
Из трех попавших в поле нашего внимания книг, раскрывающих возможности искусства в выражении геометрических идей, эта самая объемная и, пожалуй, самая глубокая и интересная.
Для явлений подобного рода Хофстадтер придумал специальный термин "странные петли". Феномен "странной петли" состоит в том, что, поднимаясь вверх (или опускаясь вниз) по уровням некой иерархической системы, мы неожиданно обнаруживаем себя на том же месте, откуда начали свой путь. "Странные петли" существуют в "спутанных иерархиях" (это снова термин, придуманный автором книги) — например, в науковедении, поскольку тут наука изучает свои собственные закономерности, или же в созданных правительственными органами институтах, занятых изучением деятельности правительства, или же в попытках человеческого мозга познать свою собственную структуру.
И здесь естественным и логичным путем перекидывается мостик к гравюрам Эшера и его видению мира:
Дуглас Хофстадтер не просто подмечает аналогию, но и использует ее для разрешения некоторых парадоксов познания. Он, в частности, приводит в своей книге диаграмму, схематически иллюстрирующую "спутанность" иерархий в системе "Рисующие руки". Тут нет обычных легкоразличимых уровней "рисующая" и "рисуемая" рука. Парадокс разрешается благодаря тому, что находится следующий, невидимый уровень, находящийся в ином пo отношению к гравюре измерении: это сам Морис Корнелиус Эшер, ее создатель, который является "рисующим" по отношению к правой и левой руке, да и всей гравюре в целом. Ситуацию можно еще дополнительно "эшеризировать", как предлагает автор книги: стоит лишь сфотографировать руку человека, рисующего гравюру "Рисующие руки".
Разговор о парадоксах подвел нас вплотную к смыслу аналогии между трудами Геделя, логика, и Эшера, художника. Однако этот путь увел бы нас слишком далеко от нашей геометрической темы, хотя правда, пройдя его, мы сумели бы вновь вернуться к начальной точке, совершив еще одну "странную петлю". Поэтому, сознательно игнорируя серьезный разговор о теореме Геделя, позволим себе лишь высказать предположение, что и параллель "Гедель-Эшер" тоже вполне обоснована некими глубинными структурами сознания и того и другого.
. И здесь, заключая рассказ о книге "Гедель, Эшер, Бах; нескончаемая золотая цепь", хочется сказать несколько слов о связи между математикой и философией, потому что, быть может, именно этих рассуждений не хватает книге Хофстадтера, обнаружившего не лежащую на поверхности близость образов, созданных средствами музыки и графики, математическим идеям.
Математика и философия многие века шли рука об руку, более того они были, в сущности, нерасторжимы: философы считали себя математиками, математики рассуждали как философы. Но и разойдясь, они не утратили "взаимности": философы по-прежнему находили в математических абстракциях опору для своих выводов, а математики, как и раньше, нередко по самым разным поводам обращались к философии. В наше время связь эта приобрела особое значение. "Неожиданная, на первый взгляд, не заданная изначально приложимость законов математики к физическому миру многих сбила с толку. Отдельные теоретики. стали задаваться вопросом: а не был ли прав Платон в своем объективном идеализме? В самом деле: разрабатывается некий математический аппарат, а затем оказывается, что физическая реальность подчиняется его выводам и законам.
"Не заданная изначально приложимость законов математики к физическому миру" сбивала с толку не единожды и в прошлом, и не только философов платоновского плана, но и многих выдающихся и даже великих математиков.
Легендарная надпись на вратах Академии, основанной Платоном почти две с половиной тысячи лет назад, гласила: "Негеометр да не войдет!". Казалось бы, какое право было у Платона на такие слова: что существенного сам он сделал для геометрии?
Таким образом, первоначальной платоновской идеей была математическая идея. Поэтому нет резона удивляться надвратной надписи. Не знающий геометрии не поймет, что такое геометрическая идея, а значит, для него останется пустым звуком и понятие идеи вообще.
Платон обладал свойственной всем великим мыслителям жаждой цельности и последовательности, а поэтому, признав "самостоятельность жизни" математических идей, он распространил это признание на все идеи вообще.
. И такой же нескончаемой золотой цепью предстает перед нами старая мудрая наука Геометрия.
( взято из книги К.Левитин. Геометрическая рапсодия. М. Знание, 1984, 176 с.)
Следующая загадка
Еще тинейджером профессор теории чисел Хендрик Ленстра (Hendrik Lenstra) был очарован математическими сюжетами картин М.К. Эшера. Несколькими годами позже, однако, он утратил к ним интерес, найдя математику "более захватывающей".
Сегодня Ленстра снова является поклонником Эшера. В его коллекции содержатся более дюжины книг о художнике, две документальных видеозаписи и набор галстуков с картинами Эшера, а также находится в процессе получения оригинальной гравюры "Картинная галерея" (Printgallery) Эшера, к которой в последнее время он испытывает особенную любовь.
"Я пришел к тому, что в этой картине гораздо больше математики, чем кажется на первый взгляд" - говорит Ленстра, который является одновременно профессором в Университете Калифорнии в Беркли и в Университете Лейдена (Голландия).
Используя теорию эллиптических кривых Ленстра показал, что искривление сцены с пристанью, изображенной на картине "Картинная галерея", может быть описано с помощью комплексной экспоненциальной функции. Это необычное открытие было отмечено в газете New York Times, на голландском телевидении и некоторых голландских газетах.
Следующая загадка
Голландский художник Родился 17.07.1898 В Леевардене, провинции Фрисландии Морис Эшер
В 1921 году- Эшер в Италии. Первые работы. Первая картина невозможной реальности Still Life with Street Начало творческого пути
мозаики и трансформации В 1938 году Эшер создает мозаику в виде двух птиц, летящих на встречу друг другу, Которая легла в основу картины «День и ночь»
Модели для картин Модели из Глины Дерева Проволоки 1943год Знаменитая картина «Рептилии» Эшер создает модели объектов для картин
Книга помогла обрести понимание среди математиков и кристаллографов из России и Канады В ней Он прокомментировал 76 работ В 60х годах вышла первая книга с работами Эшера Фигуры, уходящие в бесконечность
Загадки работ Эшера Эшер создал необычного вида плитки. Он буквально ошеломил архитекторов и строителей. Невозможно угадать, какова форма основы рисунка
Тайна гениального Художника Последняя работа, законченная Эшером: «Змеи» Над сектретом Эшера до сих пор ломают головы дизайнеры всего мира. Его работы- плоды мастерства и воображения укрошают лишь стены музеев…
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал. Скрыть- подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
- по всем предметам 1-11 классов
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
от 1 650 ₽ от 410 ₽
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Учитель математики от 4 800 ₽ от 1 200 ₽
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
от 1 800 ₽ от 450 ₽ СкрытьОнлайн-конференция для учителей, репетиторов и родителей
Формирование математических способностей у детей с разными образовательными потребностями с помощью ментальной арифметики и других современных методик
СкрытьМеждународная дистанционная олимпиада Осень 2021
Найдите материал к любому уроку,указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему: также Вы можете выбрать тип материала: Краткое описание документа:
Создание иллюзий из трехмерного пространства на плоской поверхности всегда интересовало художников разных эпохах, именно этим искусством Морис Эшер овладел в совершенстве.
Архитектура это не только работа мастера, это искусство, вбирающее в себя окружение. Архитектор не может давать волю своей фантазии, в отличии от живописца. В его юности родители хотели, чтобы Морис стал архитектором, но из-за плохого здоровья закончить образование не удалось, и он стал художником.
Ма́уриц Корне́лис Э́шер 17 июня 1898 , Леуварден , Нидерланды — 27 марта 1972 , Хилверсюм , Нидерланды ) — нидерландский художник -график. Известен, прежде всего, своими концептуальными литографиями , гравюрами на дереве и металле, в которых он мастерски исследовал пластические аспекты понятий бесконечности и симметрии , а также особенности психологического восприятия сложных трёхмерных объектов, самый яркий представитель имп-арта .
Следующая загадка
Основные вехи жизни 1938 1939 1940 1946 Отход от прямого реалистического иллюстрирования среды Смерть отца Смерть матери, на похороны которой он не мог попасть из-за вторжения нацистов в Бельгию Участие в показе работ художников, которые отказались сотрудничать с нацистами, где он представил свои гравюры на дереве
1949 1950 1955 1958 1960 Рост известности, гравюры по дереву, разработка гобеленов, оформление потолка фабрики Популярность Эшера как лектора, выпуск печатных работ Создание многих известных гравюр Неудачный период жизни, отъезд сына в Канаду; творческий кризис Издание книги гравюр, где к 76 гравюрам он сделал описание; книга способствовала признанию Эшера среди математиков. В результате- лекции в Кембридже, Бостоне, Оттаве
1964 1970 1972, 27марта Поездка к сыну в Северную Америку, где Эшер серьезно заболел, перенес операцию и с женой вернулся в Голландию Вторичная операция Эшер умер
Змеи Сложное устройство мира, в котором расширение ведет за собой сжатие, а затем вновь расширение, где мудрые Змеи Познания стремятся проникнуть в вечно меняющиеся переплетенные Кольца Бытия
Рисующие руки Система не может понять свое собственное устройство, если только она не поднимется на более высокий уровень. Здесь не различаются уровни- «рисующая» и «рисуемая» рука. Существует более высокий уровень –сам автор, Эшер , рисующий обе руки
Балкон Можно предположить, что картину автор нарисовал на тонкой резиновой пленке, а затем подкрался сзади и стал раздувать ее, как мыльный пузырь
Рука с зеркальным шаром Рука автора непомерно большая из-за перспективы, а в зеркале шара отражается сам автор гравюры, а также стены, мебель и окна комнаты , где он находится
Да! Наш глаз видит то, во что мозг отказывается верить!
Бельведер Изящное архитектурное сооружение, но с секретом. Можно заметить, что колонны до половины своей длины расположены внутри сооружения, а другие их половины находятся вне бельведера. Лестница, по которой поднимается человек, находится и внутри и вне беседки. Даже самый искусный строитель не сможет построить бельведер в нашем трехмерном пространстве, но все же мы их видим
Поднимаясь и опускаясь Замок. Черепичная крыша. Башенка. Квадратный дворик. По окаймляющей дворик замкнутой лестнице нескончаемой вереницей идут люди. Это монахи. Одни идут все время вверх, а другие – все время вниз.
Водопад Нескончаемым потоком падает на колесо вода, которая тут же сама поднимается вверх, чтобы падая вниз вращать мельничные жернова. Неправдоподобная картина- вечный двигатель- химера изобретателей
Другой мир Фантазия помогает строить миры, в которые не вступала нога человека, миры, которых нет в действительности. Именно такой мир и возник в воображении художника
Таинственное белое пятно
Проект профессора Ленстры начался два с половиной года назад во время перелета самолетом Continental Airlines из Нью-Джерси в Амстредам. Листая журнал авиакомпании, Ленстра наткнулся на репродукцию картины Эшера "Картинная Галерея" и был удивлен, обнаружив в ней изъян.
На литографии изображен вид сквозь арочную оконную раму на юношу, смотрящего на картину, висящую на стене в галерее. На этой картине нарисованы здания в средиземноморском стиле вдоль линии причала, которые становятся все больше и больше, расширяясь вправо, изгибась так, что захватывают галерею и юношу в ней. Картина последовательно увеличивается в масштабе, если рассматривать ее по часовой стрелке вокруг центра. В то же время линии картины изгибаются так, будто они разворачиваются из центра картины подобно манжете рукава.
Но это еще не все, обратите внимание на большое белое пятно в центре, которое Эшер оставил незаполненным. Ленстра был огорчен наличием этого недостатка в картине, которая в остальном была вполне последовательна. За многие часы проведенные в полете он сформулировал два точных математических вопроса.
"Первое," - говорит профессор, - "я удивился, что когда пытаешься мысленно продлить дуги и линии, возникает неразрешимая математическая проблема." Второй вопрос: "Какова же общая математическая структура этой картины?"
Читатель может быть удивлен тем, что Ленстра должен был ожидать от литографии Эшера обязательного наличия простой и непротиворечивой математической структуры. Хотя Эшер был очарован визуальными математическими концепциями, он имел математическое образование на уровне средней школы и слабо интересовался формальной стороной математики. Но для Ленстры с самого первого момента было ясно, что математика присутствует в этой картине. "Когда вы смотрите на "Картинную галерею", совершенно ясно, что использована какая-то трансформация." - говорит он - "а трансформации - это раздел математики, и было очень интересно ответить на вопрос, каким образом я, как математик, могут сконструировать эту картиную."
Через несколько дней после возвращения в Голландию Ленстра предпринял первый шаг к решению поставленных вопросов. Он обратился к своему экземпляру книги "Магическое зеркало М.К. Эщера" (Magic Mirror of M.C. Escher), написанной Хансом де Рийком (Hans de Rijk) по псевдонимом Бруно Эрнст (Bruno Ernst). Де Рийк был другом Эшера и посещал его несколько раз в период создания "Картинной галереи". В книге, частично написанной и откорректированной Эшером, де Рийк детально описал метод, которым Эшер создавал картину.
Как Эшеру это удалось?
 |
| Искаженная сетка Эшера. Художник наложил неискаженную сетку на исходную сцену, а затем перенес изображение элемент за элементом на искаженную сетку. |
Эффект, который Эшер пытался достигнуть в этой картине, де Рийк объяснил как последовательное круговое распространение, "объекты в замкнутом круговом образовании не имеют ни начала ни конца." Для создания точного каркаса картины Эшер сначала изобразил круговое распространение в виде сетки, делая размеры квадратов увеличивающимися в 256 раз по мере движения вокруг центра картины. Далее, начав с изображения обычной картины с домами на причале, помещенной в галерею, он наложил прямоугольную сетку на изображение и переносил картину с неискаженной сетки на искаженную квадрат за квадратом.
Видя искаженную сетку, изображенную в книге де Рийка, Ленстра смог представить как должна была выглядеть неискаженная сетка. Он заметил, что движение по часовой стрелке по искаженной сетке вокруг центра не неискаженной сетке соответствует движению вдоль спирали, напоминающей квадрат с постоянно уменьшающимися сторонами, к точке в которой все на картине будет уменьшено в 256 раз. Так Ленстра сделал вывод, что исходная картина Эшера должна обладать свойством сжатия самой себя, повторяя собственное изображение уменьшенным в 256 раз. Говоря математическим языком, неискаженная картина является периодической с мультипликативным периодом 256.
Ленстра назвал неискаженное изображение "Droste picture" по названию голландского бренда какао Droste, на коробке которого изображена женщина держащая на подносе чайшку и коробку с какао, но которых нарисована такая же женщина с чайшкой и коробкой и т.д. Неискаженное изображение Эшера должно обладать таким же свойством.
Продолжая рассматривать искаженную сетку, Ленстра заметил, что движение против часовой стрелки по квадратному пути вокруг центра неискаженной сетки должно стать сжимающейся спиралью на картине Эшера, заканчивающейся по углом немного меньшим чем 180° относительно точки старта. Это движение соответствует движению на постоянное количество квадратов по искаженной сетке (вверх, потом влево, потом вниз, потом направо), обращаясь вокруг центра.
Это движение создает спираль, конечные точки которой на неискаженной картине одинаковы и они могут быть идентифицированы на картине Эшера. Таким образом картина Эшера обладает свойством поворота и масштабирования, давая при этом ту же самую картину. Математическим языком, картина Эшера также является периодической, но с периодом выражаемым комплексным числом g , а не действительным, как в случае с неискаженной картиной.
С другой стороны неискаженная картина может рассматриваться как функция f от ненулевого комплексного аргумента, выражающей черные и белые цвета со свойством f(256z) = f(z), а картина Эшера может рассматриваться как функция g от ненулевого комплексного аргумента со свойством g( g z) = g(z).
Проблема реализации функции может быть решена при ответе на вопрос, что же находится в центре картины: уменьшенная версия той же самой сцены перевернутая вверх ногами и содержащая в себе ту же самую сцена и т.д., исчезая в начале координат, находящемся в центре рисунка. Но Ленстра хотел найти точное значение величины g , комплексного периода картины Эшера. Для этого мы должны найти математическую формулу для создания такой картины.
Де Рийк объясняет, что первой попыткой Эшера было использование прямых линий расходившихся из центра. Он не был удовлетворен такой моделью, потому что дома и окна и картине получались чрезмерно изогнутыми. Тогда Эшер искривил линии сетки так, чтобы "исходные маленькие квадраты могли сохранить вид квадратов".
После прочтения этого предложения Ленстру постигло озарение. "Теперь я знал, что происходит на самом деле," - говорит он. - "Я знал, что картина Эшера должна быть конформной." Тем читателям, которые вспоминали о конфиормности в далеком прошлом (или для тех кто пропустил обзор Филипа Девиса Indra's Pearls в сентябрьском выпуске SIAM News) напомним, что конформной картой, называется такая карта, которая сохраняет углы в локальных узлах. Любая аналитическая функция на комплексной плоскости является конформной в каждой точке, где ее производная отлична от нуля.
Зная, что карта является конфиормной, Ленстра теперь мог применить теорию эллиптических кривых для нахождения точного значения величины g . Вот как он это сделал:
Ключевая фраза де Рийка предполагает, что эти две эллиптические кривые конформно изоморфны, а это означает, что накладывающиеся друг на друга ячейки должны иметь одинаковый по модулю угол поворота и масштаб.
Это предположение вместе с грубыми измерениями Ленстры позволили Ленстре точно вычислить значение g просто рисуя сетки и анализируя разные варианты.
"Я нахожу это удивительным, что оказалось только одно решение" - говорит Барт де Смит (Bart de Smit) коллега Ленстры по университете, руководивший проектом Эшера.
Получив значение g и, таким образом, зная закон трансформации неискаженного изображения в картину Эшера, Ленстра хотел увидеть визальный результат своих достижений. Надесь, что его формула может быть использована для написания компьютерной программы, которая могла бы создать его собственную версию картины Эшера, Ленстра рассказал о своих выкладках студентам и коллегам по университету Лейдена. Де Смит, бывший студент Ленстры, принял участие в этом процессе.
 |  | |
 |  | |
| Трансформация исходной сетки в искаженную сетку, пободную сетке Эшера. Две верхние сетки обладают необходимым типом симметрии, допускающим вертикальное смещение и совмещение двух одинаковых сеток. Различие между ними - поворот на 41° и масштабирование на 75%. Вертикальные транфиормации - экпоненциальное преобразование сетки на плоскость комплексных чисел. | ||
Перед тем, как применить формулу Ленстры, исследователям необходимо было получить исходное неискаженное изображение. Оригинальные наброски "Картинной галереи" Эшера находятся в частной коллекции в Коннектикуте и были недоступны группе исследователей. Йост Батенбург (Joost Batenburg), студент Лейдена, используя самостоятельно написанную компьютерную программу и сетку Эшера, восстановил неискаженное изображение квадрат за квадратом.
Это была наиболее длительная и трудоемкая задача проекта, но результатом оказалась действительно выровненное изображение. Фактически он сделал серию из четырех изображений, причем каждое следующее изображение было увеличено в 4 раза относительно центра предыдущего.
Однако, полученное изображение невозможно было использовать в качестве исходного неискаженного изображения. Одна из проблем, белое пятное в центре картины, которое по размерам несколько больше уменьшенной копии самой картины, преобразовалось в белое облако, загоряживающее часть сцены. Кроме этого, из-за того, что сетка Эшера не была конформна в полной мере, полученная картинка имела ряд художественных проблем: например, была нарушена перспектива. Решением де Смита стало привлечь художника Ханса Рихтера (Hans Richter), который полностью перерисовал четыре изображения, используя выходные изображения Батенбурга в качестве образца.
Преимуществом в работе с объединенным изображением является облегчение работы с полутонами серого. В идеале конечное изображение после искажения должно иметь то же самое разрешение, а это означает, что ближе к центру картины плотносить линий должна увеличиваться. Не существует прямолинейного способа выполнить такую трансформацию при помощи компьютера, поэтому для создания необходимого эффекта на конечной картине, группа исследователей попросила другого художника Жаклин Хофстра (Jacqueline Hofstra) разукрасить оттенками серого объединенное изображение.
Полученная версия картины поразительно похожа на оригинал. На первый взгляд единственным отличием кажется только наличие центральной части картины, которая теперь на загорожено белым пятном. Однако, более внимательное сравнение двух картин открывает другие различия, в частности, по краям картины некоторые линии изгибаются в противоположную сторону. Более того, некоторые параллельные линии на картине Эшера в новой версии непараллельны. Ленстра объясняет эти различия тем, что картина Эшера не является в полной мере конформной.
 |  |
 | |
| Этапы проекта проекта Эшера в Университете Лейдена: Слева вверху - при помощи компьютера и искаженной сетки Эшера Йост Батенбург убрал искажение и частичное ввостановил изображение, с которого Эшер начинал работу над картиной. Сверху справа - ученые получили перерисованное художником исходное изображение, в котором была исправлена перспектива заполнено белое пятно. Используя логарифмическую функцию для преобразования мультипликативно периодичной картины Эшера в симметричную картину, обладающую свойством совмещения сама с собой по вертикали, исследователи совместили четыре изображения в одно. | |
Единственная оставшаяся загадка - это сам Эшер. Понимал ли он, что он рисует? Оставил ли он в центре пятно из-за того, что не хотел бесконечно повторять рисунок или был неуверен, что будет внутри этого пятна. Так как художник умер в 1972 году эта загадка так и останется неразгаданной и будет всегда предметов домыслов.
Хансу де Рийку кажется с определенностью, что Эшер не знал, что картина периодическая, но но у него было ощущение, что ближе к центру все объекты уменьшаются до определенного предела.
В своей книге де Рийк приводит цитату из письма Эшера, в которой он демонстрирует свое безразличие к математике.
"Двое ученых профессор ван Данциг (van Dantzig) и профессор ван Вингарден (van Wijngaarden) однажды напрасно пытались меня убедить, что я изобразил поферхность Римана. Я сомневаюсь, что они правы, несмотря на тот факт, что одной из характеристик поверхности этого типа является пустота в центре. В любом случае поверхность Римана лежит далеко за границами моих теоретических знаний по математике, и я уже не говорю о неевклидовой геометрии. Я рассматриваю эту картину только с точки зрения циклического распространения без начала и конца."
Ленстра считает, что достаточно сложно рассуждать на тему хода мысли Эшера: "Я считаю более целесообразно идентифицировать Эшера с природой, а меня с физиком, который пытается создать модель природы."
После того, как о проекте была напечатана статья в New Yourk Times, один из читателей прислал свою версию завершения картины Эшера, в котором спирали зданий заканчивались точно в центре. Должно быть Эшер нашел это "отвратительным" - говорит Ленстра. - так как не был знаком с глобальной идеей.
Хотя Эшер не обладал глубоким пониманием математики, кажется, что его художественное видение сочетает в себе удивительную математическую логичность. Барт де Смит соглашается: "Мы сделали нашу версию сетки Эшера по формуле. Был лишь единственный способ сделать ее, и Эшер смоделировал ее наилучшим образом. На была не совсем верной, но почти верной, и поэтому я испытываю глубокое уважение к нему."
"И я тоже," - соглашается Ленстра.
 |
| Версия "Картинной галереи" Эшера, полученная в Университете Лейдена. Наиболее значительное различие - заполненный участок картины, в том месте, где в оригинале находится белое пятное. |
Sara Robinson,
внештатный корреспондент SIAM News, Беркли, Калифорния, 2002
Перевод Влад Алексеев
2005
Вы можете также прочитать о продолжении данного проекта в Стенфордском Университете по по созданию подобной картины при помощи фотографирования в статье "'Картинная Галерея' Эшера в Стенфорде".
Читайте также: