Загадка про султана и мудрецов

Обновлено: 25.12.2024

У некоторого султана было два мудреца: Али-ибн-Вали и Вали-ибн-Али. Желая убедиться в их мудрости, султан призвал мудрецов к себе и сказал: "Я задумал два числа. Оба они целые, каждое больше единицы, но меньше ста. Я перемножил эти числа и результат сообщу Али и при этом Вали я скажу сумму этих чисел. Если вы и вправду так мудры, как о вас говорят, то сможете узнать исходные числа".

Мудрецы задумались. Первым нарушил молчание Али.
- Я не знаю этих чисел, - сказал он, опуская голову.
- Я это знал, - подал голос Вали.
- Тогда я знаю эти числа, - обрадовался Али.
- Тогда и я знаю! - воскликнул Вали.
И мудрецы сообщили пораженному царю задуманные им числа.

Назовите эти числа.

Ответ показать

1. Начинать следует с первой же фразы. Мудрец Али говорит - "Я не знаю, что это за числа". Он знает произведение чисел. Это говорит нам о том, что хотя бы одно из чисел не простое. Иначе бы он единственным образом разложил произведение на множители и знал бы оба числа.

2. Смотрим на фразу второго мудреца - "Я заранее знал, что ты не знаешь, что это за числа". Этот мудрец знает сумму чисел. О чём это нам говорит? Это значит, что при всех возможных разложениях суммы на слагаемые нет случая, когда оба числа простые. Иначе бы он не мог утверждать, что мудрец Али чисел не знает.

Что за числа не раскладываются на сумму двух простых чисел? После недолгих размышлений можно заметить, что если взять число равное (2 + (нечётное не простое)), то его разложения не будут давать двух простых чисел, например:
11 = 2 + 9 (9 - не простое)
11 = 3 + 8 (8 - чётное)
11 = 4 + 7 (4 - чётное)
11 = 5 + 6 (6 - чётное)
.

При переборе видно, что чётные числа будут получаться то в одном слагаемом, то в другом и на самых крайних величинах (2+А), не простым будет как раз число А (мы ведь его и выбирали нечётным и не простым).

Кандидаты в суммы: (2+9)=11, (2+15)=17, (2+21)=23, (2+25)=27, (2+33)=35, (2+35)=37, (2+39)=41, (2+45)=47 .

3. Смотри на третью фразу. Мудрец Али говорит - "Теперь я знаю, что это за числа". Ему становится известно, что сумма чисел обладает именно такими свойствами, как мы выяснили в предыдущем пункте.

Проверим вариант (2+9)=11.
числа 2 и 9 - (произв = 18), варианты: [2*9], (3*6).
числа 3 и 8 - (произв = 24), варианты: (2*12), [3*8], (4*6).
числа 4 и 7 - (произв = 28), варианты: (2*14), [4*7].
числа 5 и 6 - (произв = 30), варианты: [2*15], (3*10), [5*6].

Это могут быть те пары, которые в сумме равны (2+А), где А - число нечётное и не простое. Сумма д.б. равна 11 или 17 или 23 или 27 или 35 или 37 или 41 или 47 или . Подходят комбинации отмеченные квадратными скобками.

Проверим вариант (2+15)=17.
числа 2 и 15 - (произв = 30), варианты: [2*15], (3*10), [5*6]
числа 3 и 14 - (произв = 42), варианты: [2*21], [3*14], (6*7)
числа 4 и 13 - (произв = 52), варианты: (2*26), [4*13]
числа 5 и 12 - (произв = 60), варианты: (2*30), [3*20], (4*15), [5,12], (6*10)
числа 6 и 11 - (произв = 66), варианты: [2*33], (3*22), [6*11]
числа 7 и 10 - (произв = 70), варианты: [2*35], (5*14), [7*10]
числа 8 и 09 - (произв = 72), варианты: (2*36), [3*24], (4*18), (6*12), [8*9]

4. Нам подходят те строки, где только по одной квадратной скобке:
числа 2 и 9 - (произв = 18), варианты: [2*9], (3*6).
числа 3 и 8 - (произв = 24), варианты: (2*12), [3*8], (4*6).
числа 4 и 7 - (произв = 28), варианты: (2*14), [4*7].
числа 4 и 13 - (произв = 52), варианты: (2*26), [4*13]
.

Это как раз те варианты которые подтверждаются мудрецу Али после высказывания мудреца Вали. И так как вариант у него один (одна квадратная скобка), то он знает ответ.

5. Теперь осталось отобрать тот вариант, который "раскрыли глаза" мудрецу Вали, после того как он узнал, что мудрец Али определился.

числа 2 и 09 = 11
числа 3 и 08 = 11
числа 4 и 07 = 11
числа 4 и 13 = 17
.

Чтобы мудрец Вали понял что - это за числа, они должны давать уникальную сумму - это числа 4 и 13.

Следующая загадка

У некоторого султана было два мудреца: Али-ибн-Вали и Вали-ибн-Али. Желая убедиться в их мудрости, султан призвал мудрецов к себе и сказал: «Я задумал два числа. Оба они целые, каждое больше единицы, но меньше ста. Я перемножил эти числа и результат сообщу Али и при этом Вали я скажу сумму этих чисел. Если вы и вправду так мудры, как о вас говорят, то сможете узнать исходные числа».

Мудрецы задумались. Первым нарушил молчание Али.
— Я не знаю этих чисел, — сказал он, опуская голову.
— Я это знал, — подал голос Вали.
— Тогда я знаю эти числа, — обрадовался Али.
— Тогда и я знаю! — воскликнул Вали.
И мудрецы сообщили пораженному царю задуманные им числа.

Итак, 2 и 9. У Али произведение — 18. У Вали сумма — 11.

Вали знал, что Али не сможет отгадать числа. Значит, перемножив попарно все возможные слагаемые своей суммы, он не получил ни одного произведения, позволившего бы отгадать эти числа.

Основная теорема арифметики утверждает, что разложение числа на простые сомножители единственно, так что произведение двух простых чисел всегда позволяет отгадать эти числа. Следовательно, сумма Вали не должна получаться путем сложения двух простых чисел.

Тогда, Али отбрасывает те множители, сумму которых можно получить этим способом. Сумма множителей числа 18 — 3 и 6 — равна 9. Так же 9 можно получить сложением 2 и 7 — простых чисел. Отбрасываем эти множители. Остается одна пара множителей — 2 и 9. Их сумму — 11 — нельзя представить в виде суммы двух простых чисел. Следовательно, исходные числа — 2 и 9.

UPD: Прошу извинить, по всей видимости не добрался в своих рассуждениях до логического конца. Спасибо Shultc.

Вот, что я упустил: после того, как Али отгадывает числа, отгадать их должен и Вали. Как он это делает? Вали перемножает попарно все возможные слагаемые своей суммы, а затем перебирает их. Искомое произведение то, которое имеет одну единственно возможную сумму своих множителей, не являющуюся суммой двух простых чисел. Множители, с помощью которых Вали получил это произведение, и являются исходными числами.

Таким образом, я опроверг свой собственный ответ. 3 и 8, 4 и 7, 5 и 6 — все их попарные произведения подходят под рассуждение, поэтому выбрать нужное из них Вали не мог.

Подобрать ответ, как я понял, можно только перебором. Теперь решение должно быть верно.

Следующая загадка

Давеча была опубликована логическая задача про Шерил, а в комментариях к ней хаброюзер сообщил о более интересной задаче про двух мудрецов.

У некоторого султана было два мудреца: Али-ибн-Вали и Вали-ибн-Али. Желая убедиться в их мудрости, султан призвал мудрецов к себе и сказал: «Я задумал два числа. Оба они целые, каждое больше единицы, но меньше ста. Я перемножил эти числа и результат сообщу Али и при этом Вали я скажу сумму этих чисел. Если вы и вправду так мудры, как о вас говорят, то сможете узнать исходные числа».

Решение под катом.

Задачу я решил методом логики и подбора, видимо, иначе она не решается, во всяком случае я такого решения не встречал. Подбором просто найти первое решение, но остаётся загадкой единственно оно на заданном промежутке или нет. Мне пришла мысль написать решение с использованием ленивых коллекций и практики ради была выбрана scala. Итак начнём.

Всё просто — следующее число будет простым только если оно не делится без остатка ни на одно из всех уже известных простых чисел. Дальше можно создать список всевозможных чисел для Али убрав оттуда произведения простых чисел(6, 15. ), но мы пока этого делать не будем.

Генерируем поток чисел, которые не имеют ни одного разложения на сумму двух простых.

Раскладываем число на список из двух множителей и проверяем, что сумма только одной пары входит в список чисел Вали. Так мы получаем все числа, которые шейх мог шепнуть Али.

Оказывается, в диапазоне от 1 до 100 существует всего четыре пары чисел, которые бы мог загадать шейх. Иными словами, мудрецам неслабо фартануло :)

Следующая загадка

Пришли как-то к Великому Султану три мудреца. И попросили рассудить, кто из них самый мудрый.

Султан устроил им состязание. Он показал им 2 белых колпака и 3 черных. Потом посадил их в кружок и надел каждому один из этих пяти колпаков. Каждый видит других двоих, но своего колпака увидеть не может. Сидят молча, думают. Кто первый поймет, какой у него колпак — тот, значит, и самый мудрый.

Если султан всем троим надел по черному колпаку, как один из мудрецов через некоторое время смог об этом догадаться?

Попробуйте решить сами, а потом прочитайте правильный ответ:

[ ВОТ ТУТ ПРАВИЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ ] Из соображения, что белых всего 2 черных - 3, значит, что тот кто может увидеть 2 белых колпака, сразу ответит, что у него черный, но т.к. этого не происходит, значит 2 белых колпаков никто не видит.

Если кто-то увидит 1 белый колпак, будет также размышлять, что один колпак белый есть, второй может быть на мне, но если сосед молчит, значит на мне не белый, и он может сразу сказать, что на нем черный колпак,

и ситуация третья - 3 черных, ни один не может в точности сказать, какой на нем колпак, т.к. каждый видит два черных, и вероятность что на нем белый или черный одинакова. Но исходя из того, что ситуация 2 должна была бы разрешиться (1 белый, 2 черных) и кто-то должен был ответить правильно, она не происходит. получается, что каждый мучается сомнением, что на нем может быть любой колпак.

Но один вдруг понимает, что ни первая ни вторая ситуация не разрешаются, он понимает, что все видят одно и то же - 2 черных колпака.

Читайте также: