Загадка про ахиллеса и черепаху
Обновлено: 25.12.2024
Не будем тратить времени и тормозить Ахилла готового настичь коварную черепаху.
Дано: Скорость черепахи - Vч, скорость Ахилла - Vа, Расстояние между ними - L.
Найти: время сближения - T, при условии, что оно равно сумме времён прохождения половин остающегося между ними расстояния.
T = (1/2)*L/(Va-Vч) + (1/2)^2*L/(Va-Vч)+….+ (1/2)^n*L/(Va-Vч) при n стремящемся к бесконечности, где ^n означает возведение в степень n.
Упростим выражение
Т = (L/( Va-Vч))*(СУММА от 1 до бесконечности ряда (1/2)^n)
Здесь (см. рисунок) формулу ряда надо записать как (1/2)^n и установить начальное
значение n=1. Верхний предел суммы устанавливается равным этому пугающему значению «+ бесконечность». Как на рисунке.
Останется нажать на кнопочку (Решение или Enter), 2-3 секунды и ответ на древний как мир вопрос Зенона готов. Сумма этого ряда строго равна 1.
Тогда время сближения
Т = L/( Va-Vч).
Оно конечно и предсказуемо.С точки зрения математики парадокс заключался в том, что Зенон обычную единицу представил в неразрешимом для своего времени виде.
Конечно великий мудрец Зенон может сказать: Вы думали тысячу лет над одним вариантом задачи, а если бы Ахилл приближался каждый раз на 2/3 расстояния или любое другое число меньшее единицы?
Ответ на этот вопрос также уже готов, ведь математика не решает частные задачи, она всегда стремится найти общее решение для множества подобных задач. В данном случае мы имеем дело с бесконечно убывающими геометрическими прогрессиями для которых достаточно задать первый элемент и знаменатель геометрической прогрессии (меньший единицы по модулю).
Обозначим часть пути, которую каждый раз отмеряет от остатка Ахилл как k/m, где k и m любые положительные целые числа, и k < m. Общее решение будет иметь вид:
Т = (L/( Va-Vч))*(k/m)*(СУММА от 1 до бесконечности ряда ((m-k)/m)^(n-1) )
Собственно, сама бесконечно убывающая геометрическая прогрессия такова:
СУММА от 1 до бесконечности ряда ((m-k)/m)^(n-1)
Общее решение для нахождения суммы(S)бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
S = b1/(1-q)
где b1 - первый член прогрессии, а q – знаменатель прогрессии.
b1 находим при n=1.
b1 = ((m-k)/m)^0 = 1
q в нашем случае равно(m-k)/m
тогда:
S = 1/(1 – ((m-k)/m)) = m/k
Т = (L/( Va-Vч))*(k/m)*(m/k) = L/( Va-Vч)
В результате мы получили всё то же известное (неоднократно истоптанное) решение для равномерного прямолинейного движения. Результат определяется только скоростью сближения Ахилла и черепахи, и никак не зависит от хитроумных рассуждений наблюдающего за ними Зенона.
Парадокс Зенона решён. Ахилл неизбежно догоняет коварную черепаху. Собственно, и черепаха уже никакая не коварная. Это обычное, в чем-то даже симпатичное существо.
Но, повержен ли Зенон? Давайте вспомним, что собственно хотел доказать Зенон своим парадоксом:
То, что Ахилл никогда не догонит черепаху?
Или то, что отрезок не может состоять из бесконечно малых частей?
Зенон придумал свой парадокс пытался показать абсурдность деления отрезка на бесконечно малые части. Зенон пытался доказать от обратного, что любой отрезок состоит из конечного числа частей и что бесконечно малого не существует. Что делать, бесконечности никогда не нравились мудрецам.
Зенон не забыт, более того, он оказалась на передовой битвы научных теорий. С одной стороны квантовая физика, успешно применившая квантовую теорию поля к электромагнитным, сильным, и электрослабым взаимодействиям, нацелена на квантование гравитационного поля. С другой стороны гравитационное поле – это, хоть и искривлённое гравитацией, но непрерывное пространство общей теории относительности.
Линия фронта пролегает на предельно малых расстояниях порядка планковской длины (10 в минус 33 метра). Постоянная Планка — «достаточно безумное» порождение квантовой физики. В то же время линия фронта проходит в условиях запредельной степени сжатия чёрных дыр — этого мрачного пожирателя звёзд, предсказанного общей теорией относительности. И как бы ни мала была граница, Ахиллу придётся её пересечь.
В результате битвы научных теорий, преодолевшей столетний рубеж, появились теории квантовой гравитации, пытающиеся примерить физиков. В 2020 году вышел перевод книги «Нереальная реальность» написанной одним из основателей теории петлевой квантовой гравитации Карло Ровелли. Вот его заключение относительно судьбы незадачливого преследователя черепахи Зенона:
«Ахиллесу не нужно делать бесконечного числа шагов, чтобы догнать черепаху, поскольку в пространстве, которое состоит из зёрен конечного размера, бесконечно малых шагов не существует. Герой будет оказываться всё ближе и ближе к черепахе, пока, наконец не настигнет её одним квантовым скачком».
Следующая загадка
Апории Зенона это некоторые парадоксальные рассуждения на тему о движении и множестве, автором которых является древнегреческий философ Зенон Элейский. В этой статье разберем одну из самых знаменитых апорий(от др.-греч. ἀπορία – "трудность") про Ахилеса и черепаху. Вот её содержание:
Быстроногий Ахиллес никогда не догонит неторопливую черепаху, если в начале движения черепаха находится впереди Ахиллеса.
Пусть, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Каждый раз, когда Ахиллес будет пробегать n-шагов, за время t, черепаха будет проходить n/10 шагов, за тоже время . Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.Визуализация апории Зенона про Ахиллеса и черепаху Визуализация апории Зенона про Ахиллеса и черепаху
Как можно разрешить эту апорию? Одно из возможных объяснений парадокса: ложность представления о бесконечной делимости расстояния и времени. Ещё Д. Гильберт и П. Бернайс в монографии «Основания математики» (1934) замечают по поводу апории «Ахиллес и черепаха», следующее:
Обычно этот парадокс пытаются обойти рассуждением о том, что сумма бесконечного числа этих временных интервалов всё-таки сходится и, таким образом, даёт конечный промежуток времени. Однако это рассуждение абсолютно не затрагивает один существенно парадоксальный момент, а именно парадокс, заключающийся в том, что некая бесконечная последовательность следующих друг за другом событий, последовательность, завершаемость которой мы не можем себе даже представить (не только физически, но хотя бы в принципе), на самом деле всё-таки должна завершиться .
Серьёзные исследования апорий Зенона рассматривают физическую и математическую модели совместно. Р. Курант и Г. Роббинс полагают, что для разрешения парадоксов необходимо существенно углубить наше понимание физического движения. С течением времени движущееся тело последовательно проходит все точки своей траектории, однако если для любого ненулевого интервала пространства и времени нетрудно указать следующий за ним интервал, то для точки (или момента) невозможно указать следующую за ней точку, и это нарушает последовательность.
«Остаётся неизбежное расхождение между интуитивной идеей и точным математическим языком, предназначенным для того, чтобы описывать её основные линии в научных, логических терминах. Парадоксы Зенона ярко обнаруживают это несоответствие.»— Р. Курант.
Гильберт и Бернайс высказывают мнение, что суть парадоксов состоит в неадекватности непрерывной, бесконечно делимой математической модели, с одной стороны, и физически дискретной материи, с другой: «мы вовсе не обязательно должны верить в то, что математическое пространственно-временное представление движения имеет физическое значение для произвольно малых интервалов пространства и времени». Другими словами, парадоксы возникают из-за некорректного применения к реальности идеализированных понятий «точка пространства» и «момент времени», которые не имеют в реальности никаких аналогов, потому что любой физический объект имеет ненулевые размеры, ненулевую длительность и не может быть делим бесконечно.
Следующая загадка
Вряд ли древнегреческий философ Зенон Элейский, придумывая на досуге свои апории – парадоксальные рассуждения о движении и множестве – предполагал, что одна из них, про Ахиллеса и черепаху, переживет его и будет в течение 2,5 тысяч лет на устах всех людей. Между тем, эти апории во все последующие времена вызывали бурные дискуссии в научных кругах, благодаря чему фундаментальные понятия о движении и пространстве, их дискретности или непрерывности, были значительно продвинуты вперед.
Зенон Элейский Зенон ЭлейскийПарадокс Зенона
Апория об Ахиллесе и черепахе утверждает, что Ахиллес (быстроногий герой древнегреческого эпоса) никогда не сможет догнать медлительную черепаху. Объясняется этот парадокс следующим образом.
Пусть черепаха начинает гонку, находясь в 1000 шагах впереди Ахиллеса. Также предположим, что Ахиллес бежит в 10 раз быстрее черепахи. После старта за то время, которое Ахиллес пробежит эти 1000 шагов, черепаха успеет проползти 100 шагов. Когда Ахиллес пробежит эти 100 шагов, черепаха проползет еще 10 шагов. Ахиллес пробежит 10 шагов, а черепаха – еще 1 шаг. Этот процесс будет происходить до бесконечности, и черепаха всегда будет опережать Ахиллеса на 1/10 расстояния, которое успеет пробежать Ахиллес .
Если мы отвлечемся от Ахиллеса и черепахи, то парадокс гласит о том, что если некое тело движется прямолинейно и равномерно из точки А в точку Б, то это тело сначала должно пройти ½ расстояния, затем ¼, затем 1/8, 1/16 и так далее до бесконечности. То есть тело никогда не достигнет точки Б, так как всегда останется то расстояние, которое ему еще необходимо преодолеть.
Есть ли решение?
Любой здравомыслящий человек понимает, что свирепый Ахиллес не только быстро догонит несчастную черепаху, но сразу сделает из нее суп. Но хотите ли вы разрешить этот парадокс? У вас ничего не получится, потому что до сегодняшнего дня это сделать никто так и не смог.
Да, математически несложно доказать ошибочность парадокса, построив ряд из уменьшающихся интервалов и показав, что он в какой-то точке сходится. И математических решений с совершенно разным подходом довольно много. Ведь даже в школьных учебниках полно задач, где необходимо найти время, когда автомобиль нагонит велосипедиста, движущихся с разной скоростью в одном направлении.
Но эта задача отнюдь не математическая , а философская – ведь Зенон как раз и пытался показать ошибочность формального математического подхода к решению этой задачи и к реальному движению. Поэтому математическое разрешение этого парадокса в данном случае неприменимо.
Парадокс Зенона, по сути, сводится к вопросу о сумме бесконечного числа бесконечно малых слагаемых. Этот парадокс заставляет вникнуть в природу окружающего нас движения и в противоречия конечного и бесконечного, дискретного и непрерывного. В более глобальном смысле Зенон пытался показать проблемы, решение которых помогло бы в развитии строгой логики. И ему это удалось.
Следующая загадка
Я думаю практически все знают, как звучит этот парадокс:
"Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху." Но, естественно, если человек обладает здравым смыслом, он понимает, что на практике эта дичь не работает, и если изначально первый объект движется быстрее второго, то он всегда его догонит и перегонит. Давайте по порядку разберемся в этом "парадоксе".
1) 1-е предложение: "Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов." Тут как-бы все ясно. Из этого предложения стало ясно, что скорость Ахиллеса в 10 раз больше скорости черепахи. Это означает, что за определенный промежуток времени, Ахиллес пробежит расстояние в 10 раз больше черепахи. Запомним это.
2) 2-е предложение: "За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние (1000 шагов), черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов." Ок, визуально представили себе эту картину.
3) 3-е предложение: Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. И вот тут начинается незаметное запудривание.
Разберем по-подробнее 2-е предложение: "За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние (1000 шагов), черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов." Давайте условно возьмем, сколько времени пройдет, когда Ахиллес преодолеет расстояние в 1000 шагов, а черепаха-100 шагов. Допустим, это 10 секунд. Далее, в 3-ем предложении говорится, что когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. В данном случае, поскольку преодоленное расстояние Ахиллесом и черепахой в 10 раз меньше ( 100 vs 10 шагов) относительно первого пройденного этапа, соответственно и время потраченное на это расстояние также в 10 раз меньше и равна 1 секунде ( надеюсь этот момент понятен).
Что в итоге получается. Почему создается впечатление, что Ахиллес никогда не догонит черепаху? Да потому что условие "парадокса" преподносится таким образом, что многим становится незаметно, что с каждым приближением Ахиллеса к черепахе, течение времени какого-то хрена в 10 раз замедляется. Можно время так замедлять до бесконечноти, понятное дело, что при таком раскладе Ахиллес никогда не догонит эту бедную черепаху. Но ведь время то у нас течет непрерывно (давайте пока Эйнштейна оставим в покое). Поэтому, вот что будет на самом деле. В течении 10 секунд, Ахиллес пробежит 1000 шагов, черепаха - 100. Разница между ними в 100 шагов (пока черепаха лидирует). Далее, по истечении еще 10 секунд, Ахиллес пробежит еще 1000 шагов, а черепаха опять 100, ведь их скорости перемещения постоянны исходя из условия! В итоге, по истечении 20 секунд, Ахиллес обгонит черепашку уже на 800 шагов. Так что логику никто не отменял. Отталкиваться нужно, исходя из пройденного абсолютного времени при перемещении двух объектов, а не относительно расстояния между ними. Надеюсь будет понятно, что я тут настрочил.
Читайте также: