Загадка по кругу расставлены 50 чисел
Обновлено: 23.12.2024
Имеется набор натуральных чисел, причём сумма любых семи из них меньше 15, а сумма всех чисел из набора равна 100.
Какое наименьшее количество чисел может быть в наборе?
Решение
Следующая загадка
1)Вася на следующий день после своего дня рождения сказал: «Жаль, что мой день рождения в этом году не в субботу, ведь в этом случае ко мне бы пришло больше гостей! Но суббота будет послезавтра…» В какой день недели у Васи был день рождения?
2)Кубик повернули вокруг указанной оси так, что отмеченная грань повернулась указанным образом. А в вершину с каким номером перешла точка A?
3)Несколько букв А и несколько букв Б сидели на трубе. После того, как несколько А упало и несколько Б пропало, на трубе остались всего три буквы и между ними произошёл следующий диалог: Первая буква: «Буква Б среди нас одна.» Вторая буква: «Я здесь одна такая буква.» Третья буква: «Букв А тут точно меньше двух.» Оказалось, что каждая буква сказала правду, если она А, и соврала, если она Б. Определите, где какая буква.
4)Замените картинки на цифры так, чтобы суммы по столбцам и по строкам были равны указанным. Одинаковые картинки соответствуют одинаковым цифрам, а разные — разным. Какое число после замены картинок на цифры получится под таблицей?
6)Петя умеет рисовать всего 4 вещи: солнце, мячик, помидор и банан. Зато крайне правдоподобно! Сегодня он нарисовал несколько вещей, среди которых ровно 19 жёлтых, 22 круглых и 17 съедобных. Какое наибольшее количество мячиков он мог нарисовать? Петя считает, что все помидоры круглые и красные, все мячики круглые и могут быть любого цвета, а все бананы жёлтые и не круглые.
7)Катя коротает время, пока родители работают. На листке бумаги она задумчиво в два ряда нарисовала Чебурашек (в каждом ряду оказался нарисован хотя бы один Чебурашка). Потом, подумав, между каждыми двумя соседними Чебурашками в ряду она нарисовала по крокодилу Гене. А затем слева от каждого Чебурашки — по старухе Шапокляк. И напоследок между каждыми двумя персонажами в ряду она нарисовала по Кракозябре. Внимательно посмотрев на рисунок, она поняла, что красиво получились у неё только Кракозябры, и яростно стёрла всех остальных. В итоге родители увидели два ряда Кракозябр: всего 29 штук. Сколько Чебурашек было стёрто?
Видеоразбор заданий олимпиады для 3 класса:
Пригласительный этап ВОШ 2021 по математике 4 класс задания:
1)Поставьте в соответствие каждой букве цифру 1,2,3,4,5 так, чтобы выполнялись все неравенства. К < Н < И < Ж > К > А Разным буквам должны соответствовать разные цифры. В качестве ответа запишите число КНИЖКА.
2)Вторник будет через пять дней после позавчера. А какой день недели будет завтра?
3)Сколько на данной картинке существует прямоугольников со сторонами, идущими по линиям сетки? (Квадрат также является прямоугольником.)
4)Четыре девочки: Катя, Оля, Лиза и Рита — встали в круг в некотором порядке. На них были платья разных цветов: розовое, зелёное, жёлтое и голубое. Известно, что: на Оле было не розовое и не голубое платье; девочка в зелёном платье стоит между Ритой и девочкой в жёлтом; Катя не в зелёном и не в голубом платье; Лиза стоит между Катей и девочкой в розовом платье. Кто во что одет?
5)Напишите наибольшее девятизначное число, в котором встречаются все чётные цифры. (Чётные цифры: 0,2,4,6,8.)
6)Часть цифр в прямоугольнике уже расставлена. Расставьте на оставшихся местах цифры так, чтобы: сумма цифр в каждом столбце была одинаковой; сумма цифр в каждой строчке была одинаковой; сумма цифр в красных клетках была равна сумме цифр в любой строчке. В качестве ответа введите трёхзначное число ABC (т. е. составленное из цифр, оказавшихся на местах букв A, B, C).
7)У берега реки стоит Белоснежка, а рядом с ней 7 гномов в следующем порядке слева направо: Весельчак, Соня, Умник, Чихун, Ворчун, Скромник и Простачок. У берега качается лодка, вмещающая только 3 гномов и Белоснежку. Белоснежка единственная умеет грести. Любые два гнома, стоящие рядом в изначальном ряду, поссорятся без присмотра Белоснежки. Белоснежка должна перевезти всех гномов на другой берег и никого не поссорить. Отметьте всех, кого Белоснежка возьмёт с собой в последнюю поездку.
8)Если в числе 79777 зачеркнуть цифру 9, получится число 7777. Сколько существует различных пятизначных чисел, из которых можно получить 7777, зачеркнув одну цифру?
Видеоразбор заданий олимпиады для 4 класса:
Пригласительный этап ВОШ 2021 по математике 5 класс задания:
1)Саша выписал на доску все двузначные числа, делящиеся на 6, а затем стёр те из них, которые оканчиваются не на 4. Какое наибольшее число в итоге оказалось написано на доске?
2)На столе лежат апельсин, банан, мандарин, персик и яблоко. Их веса равны 100 г, 150 г, 170 г, 200 г, 280 г, но неизвестно, какой фрукт сколько весит. Известно, что: персик легче апельсина; мандарин тяжелее банана, но легче персика; яблоко легче мандарина; банан и мандарин вместе тяжелее апельсина. Какой фрукт сколько весит?
3)На стене висят часы с кукушкой. Когда начинается новый час, кукушка говорит «ку-ку» количество раз, равное числу, на которое показывает часовая стрелка (например, в 19:00 «ку-ку» звучит 7 раз). Как-то утром Максим подошёл к часам, когда на них было 9:05. Он стал крутить пальцем минутную стрелку, пока не перевёл часы на 7 часов вперёд. Сколько раз за это время прозвучало «ку-ку»?
4)На дискотеку по случаю окончания учебного года пришло в два раза больше мальчиков, чем девочек. Маша посчитала, что девочек, кроме неё самой, на дискотеке на 9 меньше, чем мальчиков. Сколько мальчиков пришло на дискотеку?
5)Из клетчатого квадрата 7×7 вырезали голубые треугольники. Чему равна площадь оставшейся фигуры? Длина стороны каждой клетки равна 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
6)На доске написано одно трёхзначное число и два двузначных. Сумма чисел, в записи которых есть семёрка, равна 214. А сумма чисел, в записи которых есть тройка, равна 75. Найдите сумму всех трёх чисел.
7)Вася хочет расставить в квадратики числа от 1 до 6 (каждое — по одному разу) так, чтобы выполнялось следующее условие: если два квадратика соединены, то в том, который выше, число больше. Сколько существует способов это сделать?
Видеоразбор заданий олимпиады для 5 класса:
Пригласительный этап ВОШ 2021 по математике 6 класс задания:
1)Маша расставила числа от 1 до 16 в клетки таблицы 4×4 так, чтобы любые два числа, отличающиеся на единицу, стояли в соседних по стороне клетках. А Саша стёр все числа, кроме 1 , 4, 9 и 16. Какое число стояло в клетке с вопросом?
2)Для приготовления одной порции салата требуются 2 огурца, 2 помидора, 75 грамм брынзы и 1 перец. На складе ресторана есть 92 перца, 6,6 кг брынзы, 180 помидоров и 181 огурец. Сколько порций получится?
3)Витя и его мама одновременно вышли из дома и пошли в противоположные стороны с одинаковой скоростью: Витя — в школу, а мама — на работу. Через 16 минут Витя понял, что у него нет ключей от дома, а вернётся из школы он раньше мамы, поэтому он стал догонять её, увеличив скорость в пять раз. Через сколько минут с того момента, как он понял, что надо забрать ключи, Витя догонит маму?
4)Алексей, Борис, Вениамин и Григорий подозреваются в ограблении банка. Полиции удалось выяснить следующее: если Алексей невиновен, то Вениамин виновен, а Борис невиновен; если Григорий виновен, то Борис и Вениамин невиновны; если Алексей виновен, то Вениамин тоже виновен; если Вениамин виновен, то кто-то из двух — Борис и Григорий — точно виновен. Отметьте тех, кто участвовал в ограблении.
5)В парке проложены дорожки, как показано на рисунке. Двое рабочих начали их асфальтировать, одновременно стартовав из точки A. Они укладывают асфальт с постоянными скоростями: первый — на участке A−B−C, второй — на участке A−D−E−F−C. В итоге они закончили работу одновременно, потратив на неё 15 часов. Известно, что второй работает в 1,2 раза быстрее первого. Сколько минут второй укладывал асфальт на участке DE ?
6)С дерева сорвали несколько апельсинов (не обязательно равной массы). Когда их взвесили, то оказалось, что масса любых трёх апельсинов, взятых вместе, составляет меньше 4% от суммарной массы остальных апельсинов. Какое наименьшее количество апельсинов могло быть сорвано?
7)Петя загадывает четырёхзначное число вида 19∗∗ . Вася последовательно проверяет, делится ли загаданное Петей число на 1,3,5,7,9,11 , и если делится, то Вася платит Пете 1,3,5,7,9 или 11 рублей соответственно. Например, за число 1900 Вася заплатил бы Пете 1+5=6 рублей. Какое наибольшее количество рублей может получить Петя?
8)Существует ровно 120 способов закрасить пять клеток в таблице 5×5 так, чтобы в каждом столбце и в каждой строке была закрашена ровно одна клетка. Существует ровно 96 способов закрасить пять клеток в таблице 5×5 без угловой клетки так, чтобы в каждом столбце и в каждой строке была закрашена ровно одна клетка. Сколько существует способов закрасить пять клеток в таблице 5×5 без двух угловых клеток так, чтобы в каждом столбце и в каждой строке была закрашена ровно одна клетка?
2 ответа
Пусть по кругу расставлены $%0$% и $%1$% , всего $%4m $% штук. Будем складывать каждые $%2m$% идущих подряд чисел по модулю $%2$%.
Если первоначальная расстановка: $% (a_, . a_)$% , то $% (a_, . a_)=(0,0. 0) $% mod $%2$%.
$$a_=m \mod \ 2\ , \ a_=2m^2 \ \mod 2$$
отвечен 6 Янв '19 19:27
@Sergic Primazon, не понимаю, как получить, что за 4 шага все станет нулями.
(7 Янв '19 14:42) make78 (7 Янв '19 20:03) make78Здесь есть прямой способ решения: ввести переменные a(i), равны 1 или -1, и проследить по шагам, что происходит с числами. Но проще применить такой вариант этого же способа: вместо произведений чисел рассматривать суммы показателей -- чётных или нечётных. Показатели даны по модулю 2. Изначально есть числа b(1), . , b(100), равны 0 или 1. За один шаг вектор из них преобразуется в (b(1)+. +b(50);b(2)+. +b(51);. ). Это линейный оператор в 100-мерном векторном пространстве над полем из двух элементов. Проверим, что его 4-я степень -- нулевая. Это будет значить, что после 4 шагов все показатели обнулятся, то есть все начальные числа станут равны 1.
Стандартное соображение показывает, что для линейного оператора достаточно проследить "судьбу" базисных векторов, то есть когда имеется одна единица и остальные нули. После одного шага появится 50 единиц подряд и остальные 50 нулей. После второго -- 1 и 0 будут чередоваться. После третьего -- все числа будут равны 1, так как складывается 25 пар вида 0+1. После четвёртого -- будут все нули, так как по модулю 2 складывается 50 единиц.
отвечен 6 Янв '19 20:07
@falcao, какое именно стандартное соображение?
(7 Янв '19 14:40) make78@make78: если линейный оператор нулевой на базисных векторах, то он нулевой на всех векторах.
(7 Янв '19 19:36) falcaoЗдравствуйте
Следующая загадка
50 чисел стоят по кругу.
У 40 из них сосед справа делится на 2, у 41 сосед слева делится на 3.
Какое наименьшее количество чисел в круге делятся на 6?
да такое условие задачи, не больше, не меньше, ответы и обоснованием, поехали?
1 - 16.10.20 - 15:39
(0) числа любые ?
2 - 16.10.20 - 15:40
делятся без остатка ?
3 - 16.10.20 - 15:43
Баян. 31
4 - 16.10.20 - 15:43
33 вроде?
5 - 16.10.20 - 15:45
(1) (2) да любые, делятся без остатка, 4 класс же
6 - 16.10.20 - 15:45
Другими словами,40 делятся на 2 и 41 на 3
Соответственно 20 не делятся на 2,и они все будут делится на 3,так как троек больше.
В итоге,остаётся 21.
7 - 16.10.20 - 15:45
а не, краевые забыл, походу 31 действительно
8 - 16.10.20 - 15:46
А блин их 50 а не 60
Тогда да 31
9 - 16.10.20 - 15:50
(8) почему 31 , если 21 в результате рассуждений
10 - 16.10.20 - 16:13
(9) Даешь голосовалку :)
PS А люди, однако, с высшим образованием (я не в счет) :))))))))))))))))))))
11 - 16.10.20 - 16:28
(0) У меня одного логика осталась?
Условие У 40 из них сосед справа делится на 2, НЕ означает что остальные не делятся на 2!
12 - 16.10.20 - 16:37
(11) Почему ?
13 - 16.10.20 - 16:38
не остальные, а остальные соседи. но шаг верный, продолжай.
14 - 16.10.20 - 16:39
(11) даже с таким подходом вопрос в задаче про НАИМЕНЬШЕЕ.
При таких условиях ответ: наименьшее не меньше 31.
15 - 16.10.20 - 16:41
(11) Ну и обычно когда говорят, что M из N обладают каким-то свойством, подразумевают, что остальные (N-M) таким свойством не обладают.
16 - 16.10.20 - 16:42
(14) почему не меньше 31 ?
17 - 16.10.20 - 16:43
(16) ну дай раскладку с примером когда чисел будет меньше и условия солюдены.
Следующая загадка
По кругу расставлены в произвольном порядке 100 чисел: 1 и -1. За одну операцию каждое число заменяют на произведение 50 чисел, идущих за данным по часовой стрелке. Докажите, что однажды все числа станут положительными.
задан 6 Янв '19 14:46
Читайте также: