Загадка падающей кошки и фундаментальная физика

Обновлено: 22.11.2024

ЖАНРЫ 360
АВТОРЫ 277 189
КНИГИ 653 756
СЕРИИ 25 020
ПОЛЬЗОВАТЕЛИ 611 255

Переводчик Наталья Лисова

Научный редактор Максим Малышев, канд. физ.−мат. наук

Редактор Антон Никольский

Издатель П. Подкосов

Руководитель проекта И. Серёгина

Корректоры М. Миловидова, С. Чупахина

Компьютерная верстка А. Фоминов

Дизайн обложки Ю. Буга

Фото на обложке Легион-медиа

Originally published by Yale University Press

Все права защищены. Данная электронная книга предназначена исключительно для частного использования в личных (некоммерческих) целях. Электронная книга, ее части, фрагменты и элементы, включая текст, изображения и иное, не подлежат копированию и любому другому использованию без разрешения правообладателя. В частности, запрещено такое использование, в результате которого электронная книга, ее часть, фрагмент или элемент станут доступными ограниченному или неопределенному кругу лиц, в том числе посредством сети интернет, независимо от того, будет предоставляться доступ за плату или безвозмездно.

Копирование, воспроизведение и иное использование электронной книги, ее частей, фрагментов и элементов, выходящее за пределы частного использования в личных (некоммерческих) целях, без согласия правообладателя является незаконным и влечет уголовную, административную и гражданскую ответственность.

Посвящается моему обширному кошачьему семейству: Саше, Зое, Софи, Куки, Раскалу, Мандарину, Долли, Митци, Дейзи, Хоббсу, а также покойным Саймону, Сабрине, Флафф, Голду и Мило

Издание подготовлено в партнерстве с Фондом некоммерческих инициатив «Траектория» (при финансовой поддержке Н.В. Каторжнова).

В рамках издательского проекта Фонд «Траектория» поддерживает издание лучших образцов российской и зарубежной научно-популярной литературы.

Предисловие: Кошки безумны

Можно с полным основанием утверждать, что кошки слегка безумны. В процессе эволюции они, как хищники-засадники, которые обычно охотятся в одиночку, выработали интеллект, позволяющий подкрадываться к добыче, выслеживать ее, даже если в этот момент она находится вне поля зрения, и заранее предугадывать ее действия. Такой интеллект вкупе с природной игривостью и любопытством регулярно доводят кошек до беды и создают им проблемы. Неудивительно, что фраза «Любопытство кошку сгубило» стала крылатой.

К счастью, в ходе бесчисленных лет эволюции кошки развили у себя, помимо всего прочего, несколько важных умений, которые позволяют им выходить из сложных ситуаций почти с такой же легкостью, как и попадать в них. Главное среди этих умений – способность, которую в разное время называли по-разному: кошачий переворот, умение всегда падать на лапы, рефлекс восстановления правильной ориентации, кошачий выверт. Все эти определения относятся к замечательной способности кошки при падении с высоты всегда приземляться на лапы, в каком бы положении она ни находилась в начале падения. Кошки способны перевернуться в нужное положение даже при падении с совсем небольшой высоты в полметра, метр, и такой переворот занимает у них долю секунды.

Это спасительный навык. У кошки, как часто говорят, девять жизней; если принять поговорку буквально, то я бы сказал, что по крайней мере четырьмя из этих девяти жизней кошка обязана рефлексу восстановления правильной ориентации. Мне приходилось работать с группами спасения кошек, так что я могу лично засвидетельствовать это кошачье умение. В одном случае, к примеру, я приехал, чтобы поучаствовать в спасении кошки, которая сбежала из недавно обретенного дома и забралась высоко на дерево. На место происшествия был вызван подъемник с люлькой, чтобы группа спасателей могла подобраться к испуганной кошке и попытаться выманить ее с ветки на высоте примерно 30 м, где она устроилась. Кошка, однако, предпочла прыгнуть и приземлилась на землю уже практически на бегу; когда ее показали ветеринару, оказалось, что единственным повреждением, полученным при падении, стала трещина в одной из костей, которая со временем зажила сама собой.

Кошки, кажется, и сами знают, что обладают необычными способностями, и любят при случае похвастать ими. К примеру, Софи – одна из членов моего обширного кошачьего семейства – имела привычку прогуливаться снаружи ограждения лестничной площадки третьего этажа и игнорировала все наши попытки ее от этого отучить. Однажды жена случайно увидела, как Софи поскользнулась – на самом краю мелькнула на мгновение пара кошачьих лап с вцепившимися в дерево когтями – и упала. Приземлилась она невредимой, но, к счастью, после этого случая отказалась от дальнейших экстремальных прогулок.

Похожих историй о невероятных падениях и приземлениях полно, а способность кошки исправлять положение тела в полете общеизвестна. Как правило, однако, мы не осознаем, что объяснить эту способность невозможно без привлечения значительного количества научных данных. Физика и физиология переворачивания кошки в воздухе не одно столетие привлекали ученых, завораживали и ставили в тупик. Хотя в настоящее время с этим вопросом в значительной степени разобрались, о конкретных деталях кошачьей способности исследователи продолжают спорить; кроме того, она продолжает служить источником вдохновения для создателей современных технологий.

Я впервые столкнулся с задачей о падающей кошке в 2013 г. при подготовке материалов для своего блога «Черепа среди звезд» (Sculls in the Stars), затрагивающего широкий спектр тем – от физики до истории науки и мистической литературы. Обычно я ищу интересный материал для своих статей в старых научных журналах, и однажды в одном из них мне попались канонические фотографии падающей кошки, которые сделал в 1894 г. французский физиолог Этьен-Жюль Марей. Заинтригованный, я написал для блога статью о Марее и других тогдашних исследователях падающей кошки под заголовком «Переворот кошки: повальное увлечение падением кошки среди ученых XIX в.!».

Однако я не был уверен в правильности своего первоначального объяснения этой кошачьей способности, поэтому продолжал поиск других опубликованных исследований на тему падения кошки. И находил все новые и новые публикации.

Падающие кошки завораживают ученых практически с тех самых пор, с каких существует сама наука, и этот интерес распространяется на множество дисциплин. Всякий раз, когда одна из научных дисциплин теряет интерес к кошачьей проблеме, на ее место тут же приходит другая – и открывает что-то новое.

Эта книга – рассказ о задаче про падающую кошку как с исторической, так и с научной точки зрения. Как мы увидим, падающие кошки играли долгую и замечательную, а иногда и нелепую роль в нескольких областях науки и техники. Чем пристальнее ученые вглядывались в эту задачу, тем больше скрытых сюрпризов обнаруживали они в поведении наших пушистых подруг. Эта задача непосредственно связана со многими важнейшими научными и техническими достижениями в современной истории – от фотографии до нейробиологии, от космических исследований до робототехники и других дисциплин; попутно физики пытались объяснить в точности, как кошки умудряются делать то, что они делают.

Следующая загадка

Врожденная способность падающих кошек приземляться на лапы занимает ученых уже очень долгое время. Первая исследовательская работа на эту тему была опубликована в 1700 году. В книге «Загадка падающей кошки и фундаментальная физика» (издательство «Альпина нон-фикшн»), переведенной на русский язык Натальей Лисовой, физик Грегори Гбур показывает, как попытки понять механику падения кошек помогли научным изысканиям в математике, физике, физиологии, неврологии, космической биологии и даже оказали влияние на робототехнику. N + 1 предлагает своим читателям ознакомиться с отрывком, в котором рассказывается, какую роль открытия Альберта Эйнштейна сыграли в поиске ответа на вопрос о падающих кошках.

Кошачий рефлекс переворачивания

Сделанные Мареем фотографии падающей кошки потрясли физиков и вынудили их заново осмыслить давние предубеждения о том, как объекты движутся и поворачиваются в пространстве. Но это было пустяком в сравнении с тем поистине сейсмическим шоком, который потряс все ученое сообщество в 1905 г. и навсегда изменил наши представления о физике. В этом году никому не известный служащий патентного ведомства по имени Альберт Эйнштейн опубликовал в немецком журнале «Анналы физики» (Annalen der Physik) три статьи, каждой из которых суждено было заложить фундамент для новой отрасли физики. Это трио статей сегодня часто называют статьями annus mirabilis (чудесного года).

Первая из этих статей — «Об одной эвристической точке зрения, касающейся возникновения и превращения света» — вышла 9 июня. В ней Эйнштейн попытался объяснить так называемый фотоэлектрический эффект: почему под действием света, падающего на металлическую пластинку, может возникать испускание этой пластинкой электронов. Эйнштейн утверждал, что данный эффект возможно объяснить только при условии, что свет будет рассматриваться как поток частиц, несмотря на то что к тому времени уже было продемонстрировано, что свет ведет себя как волна. Сегодня корпускулярно-волновой дуализм — один из фундаментальных аспектов квантовой физики. В 1921 г. за работу над этой проблемой Эйнштейну предстояло получить Нобелевскую премию по физике.

Вторая из статей 1905 г. — «О движении взвешенных в покоящейся жидкости частиц, требуемом молекулярнокинетической теорией теплоты» — появилась 18 июля и объяснила феномен броуновского движения — случайного, на первый взгляд, метания мелких частиц в горячей воде. Эйнштейн показал, что это забавное движение можно объяснить как результат столкновений между частицами и окружающими их неразличимыми глазом молекулами воды. Такое объяснение привело к окончательному подтверждению того факта, что вещество состоит из отдельных атомов и молекул; как ни удивительно, сомнения в этом были еще живы даже в начале XX в.

Третья из Эйнштейновых статей 1905 г. — «К электродинамике движущихся тел» — вышла 26 сентября. Это самая знаменитая из трех статей, поскольку именно она стала первым заявлением специальной теории относительности Эйнштейна, которой суждено было кардинально изменить наши представления о пространстве и времени. Чтобы получить представление о значимости этой работы, нам потребуется небольшое введение.

Одним из главных принципов физики, восходящим еще к Галилео Галилею, является принцип относительности, который можно сформулировать очень просто: «Законы физики одинаковы для любого наблюдателя, независимо от движения этого наблюдателя». В работе 1632 г. «Диалог о двух главнейших системах мира» Галилей объясняет его таким образом:

Уединитесь с кем-либо из друзей в просторное помещение под палубой какого-нибудь корабля и запаситесь мухами, бабочками и другими подобными мелкими летающими насекомыми; пусть будет у вас там также большой сосуд с водой и плавающими в нем маленькими рыбками; подвесьте, далее, наверху ведерко, из которого вода будет падать капля за каплей в другой сосуд с узким горлышком, подставленный внизу. Пока корабль стоит неподвижно, наблюдайте прилежно, как мелкие летающие животные с одной и той же скоростью движутся во все стороны помещения; рыбы, как вы увидите, будут плавать безразлично во всех направлениях; все падающие капли попадут в подставленный сосуд, и вам, бросая какойнибудь предмет, не придется бросать его с большей силой в одну сторону, чем в другую, если расстояния будут одни и те же; и если вы будете прыгать сразу двумя ногами, то сделаете прыжок на одинаковое расстояние в любом направлении. Прилежно наблюдайте все это, хотя у нас не возникает никакого сомнения в том, что, пока корабль стоит неподвижно, все должно происходить именно так. Заставьте теперь корабль двигаться с любой скоростью, и тогда (если только движение будет равномерным и без качки в ту и другую сторону) во всех названных явлениях вы не обнаружите ни малейшего изменения и ни по одному из них не сможете установить, движется ли корабль или стоит неподвижно. Прыгая, вы переместитесь по полу на то же расстояние, что и раньше, и не будете делать бóльших прыжков в сторону кормы, чем в сторону носа на том основании, что корабль быстро движется, хотя за то время, как вы будете в воздухе, пол под вами будет двигаться в сторону, противоположную вашему прыжку, и, бросая какую-нибудь вещь товарищу, вы не должны будете бросать ее с большей силой, когда он будет находиться на носу, а вы на корме, чем когда ваше взаимное положение будет обратным; капли, как и ранее, будут падать в нижний сосуд, и ни одна не упадет ближе к корме, хотя, пока капля находится в воздухе, корабль пройдет много пядей».

Галилей понимал, что, сидя в глубинах корабля, невозможно определить никаким экспериментом, находится ли корабль в покое или движется с постоянной скоростью; живые существа — ходящие, плавающие или летающие — будут не в состоянии почувствовать какое-либо движение. Рассмотрим, к примеру, игру в теннис внутри движущегося корабля. Можно было бы подумать, что при движении корабля вперед теннисный мячик должен стремиться лететь назад, в корму корабля, давая носовому игроку преимущество, но такое интуитивное представление неверно. Мячик будет вести себя во всех отношениях так, как если бы корабль неподвижно стоял в гавани. Если никакой физический эксперимент не может обнаружить движение корабля, то, значит, законы физики должны быть одинаковы для любого наблюдателя, движущегося с постоянной скоростью.

Вслед за Галилеем Исаак Ньютон успешно применил этот принцип к своим знаменитым законам движения и ввел относительность в систему движения любых материальных тел. К примеру, и наблюдатель, стоящий рядом с бильярдным столом, и наблюдатель, проходящий мимо него, смогут точно описать все, что происходит в игре, при помощи законов Ньютона, хотя и разойдутся во мнениях о том, с какой скоростью шары двигались по отношению к ним самим.

Игра в «Галилеев теннис». Даже если корабль движется вправо, ни один из игроков не получит преимущества вопреки распространенному и ошибочному интуитивному представлению о том, что мячик будет быстрее лететь к корме корабля.

Рисунок Сары Альберт

Однако, когда Джеймс Клерк Максвелл в 1860-е гг. объявил, что свет — это электромагнитная волна, быстро выяснилось, что Ньютонов тип относительности к волнам не применим. В частности, согласно Ньютоновым формулам, наблюдатели, движущиеся с разными скоростями, в общем случае намеряли бы разные значения для скорости света. Человек, движущийся параллельно с фотоном, к примеру, увидел бы его летящим медленнее, чем человек, движущийся с этим же фотоном встречным курсом. Поскольку скорость света встроена в уравнения Максвелла, то и уравнения для каждого из этих наблюдателей были бы чуть иными. Ученые решили, что физика световых волн, должно быть, по-разному работает для каждого наблюдателя. От Максвелла до Эйнштейна было предпринято множество попыток экспериментально измерить предполагаемые колебания скорости света, но все они оказались безуспешными. Самая известная из этих попыток — эксперимент 1887 г., проведенный Альбертом Майкельсоном и Эдвардом Морли, которые использовали для измерения разницы в скорости света интерференцию световых волн; они не смогли обнаружить никаких изменений, хотя движение Земли вокруг Солнца должно было по идее дать вполне измеримый эффект.

Альберт Эйнштейн подошел к этой проблеме с другого направления. Он задался вопросом: если законы электричества и магнетизма одинаковы для любого движущегося наблюдателя, то как должен тогда выглядеть принцип относительности? В своих расчетах он опирался на два предположения: (1) все законы физики одинаковы для всех наблюдателей, движущихся с постоянными скоростями, и (2) скорость света одинакова для всех наблюдателей. Из этих двух предположений следовал целый ряд ошеломляющих и даже пугающих следствий. Среди них:

ничто (известное нам) не может двигаться быстрее скорости света;
масса и энергия эквивалентны, и одно может превращаться в другое (вспомним знаменитое уравнение E = mc 2 );
время для движущегося объекта идет медленнее;
размер движущихся объектов вдоль направления движения сжимается;
время и пространство в каком-то смысле неразделимы и образуют четырехмерное единство, известное как пространство-время.

За столетие, прошедшее после Эйнштейновых публикаций, все странные предсказания специальной теории относительности были подтверждены в ходе множества самых разных экспериментов.

Теория относительности, возможно, кажется вам очень далекой от нашего разговора о падающей кошке. Но следующий проект Эйнштейна окажется прочно связанным с нашей задачей. Почти сразу же после успеха специальной теории относительности Эйнштейн начал размышлять над самым большим ее ограничением — условием, согласно которому законы физики должны быть одинаковыми только для наблюдателей, движущихся с постоянными скоростями. Формально движение с постоянной скоростью, то есть движение, соответствующее закону инерции Ньютона, называется инерциальным движением. У этого ограничения есть один удручающий фактор — почти невозможно найти в окружающей нас действительности образец по-настоящему инерциального движения. Все на Земле, к примеру, постоянно испытывает некоторое ускорение: Земля вращается вокруг своей оси, вовлекая в это вращение все, что находится на ее поверхности, а еще Земля движется по почти круговой орбите вокруг Солнца. Эйнштейну не нравилось, что принцип относительности строго выполняется только для объектов в состоянии равномерного движения, которого на самом деле в природе практически не существует.

В 1907 г. Эйнштейнвсе еще работал в патентном бюро; его слава пока не способствовала научной карьере. Однажды, когда он, по обыкновению, размышлял над проблемой неинерциального движения, ему в голову пришла, как он считал, «счастливейшая в жизни мысль».

Так же, как в случае, когда электрическое поле порождается электромагнитной индукцией, гравитационное поле сходным образом имеет лишь относительное существование. Так, для наблюдателя в свободном падении с крыши дома не существует, во время его падения, никакого гравитационного поля — по крайней мере в непосредственной близости от него. Если этот наблюдатель отпускает какие-то объекты, они остаются, относительно него, в состоянии покоя или в состоянии равномерного движения, независимо от их конкретной химической или физической природы. Наблюдатель, таким образом, может оправданно считать свое состояние состоянием «покоя».

Представляя себе объект, падающий под действием силы тяжести, мы, как правило, думаем о тяготении как о силе, которая тянет это тело. Эйнштейн, однако, понял, что такая картина неверна: человек или объект — или кошка — в свободном падении под действием силы тяжести невесом; он совершенно не ощущает на себе действие силы тяжести. Астронавты на орбите вокруг Земли невесомы, потому что непрерывно падают по направлению к Земле: просто получается так, что они при этом двигаются параллельно поверхности Земли, так что фактически находятся в состоянии непрерывного падения и при этом все время промахиваются мимо Земли.

Эйнштейн почти сразу же после того, как в его голову пришла счастливейшая в жизни мысль, заложил фундамент для новой релятивистской теории, которая включает в себя и гравитацию тоже: он ввел принцип эквивалентности. Для наших целей принцип эквивалентности можно сформулировать примерно так:

Ускоренное движение физически неотличимо от нахождения в равномерном гравитационном поле.

Чтобы понять стоящую за этим принципом идею, представим себе человека в замкнутом космическом корабле без иллюминаторов. Подобно людям в Галилеевом корабле, этот человек никак не может видеть движение. Если корабль стоит на поверхности земли, его пассажир будет ощущать, как его тянет вниз гравитационное поле. Если тот же корабль находится в пространстве, вдали от любых гравитационных тел, и ускоряется, этот человек также будет ощущать некую силу, которая тянет его вниз. Эта направленная вниз сила — инерциальное сопротивление тела ускорению. Эйнштейн утверждал, что не существует таких экспериментов, при помощи которых человек в корабле мог бы определить, в какой ситуации он находится, — они физически эквивалентны. Этот эффект испытывал на себе всякий, кому случалось ездить в лифте: когда лифт движется вверх с ускорением, человек в нем чувствует себя тяжелее. Когда же лифт замедляется вблизи верхней точки, этот же человек чувствует себя легче.

Принцип эквивалентности. Сила, которую ощутит некто в ракете, движущейся вверх с ускорением, физически неотличима от силы, которую ощутит этот же некто, если ракета неподвижно стоит в гравитационном поле, тянущем вниз.

Следующая загадка

В своей увлекательной и остроумной книге физик и заядлый кошатник Грегори Гбур показывает, как попытки понять механику падения кошек помогли разобраться в самых разных задачах в математике, физике, физиологии, неврологии и космической биологии, способствовали развитию фотографии и кинематографа и оказали влияние даже на робототехнику.

Предлагаем прочитать отрывок из книги.

Итак, Марей открыл, что кошки и — шире — любые нежесткие тела могут менять свою ориентацию в пространстве без необходимости в изменении момента импульса, и этому открытию суждено было повлиять на многие области науки. Но наукой, на которую фотографии Марея подействовали в первую очередь, стала геофизика, где они навели ученых на новые мысли о том, как вращается Земля. Они же, однако, стали причиной постыдного и долгого спора между двумя выдающимися математиками конца XIX в. — Джузеппе Пеано и Вито Вольтеррой, в котором скромной кошке садовника суждено было сыграть видную роль.

Начало этой весьма и весьма бурной публичной схватки восходит к статье Пеано, опубликованной в январском за 1895 г. выпуске итальянского журнала Rivista di Mathematica под заголовком «Принцип площадей и история кошки». (Под принципом площадей подразумевается теорема площадей.) Для начала Пеано кратко описывает хаотическое заседание в Парижской академии и перечисляет объяснения переворачивания падающей кошки, данные присутствовавшими там учеными. После этого он приводит собственное новое объяснение этого невероятного кошачьего умения:

Объяснение переворачивания кошки, данное Джузеппе Пеано. Рисунок Сары Эдди

Но объяснение движения кошки представляется мне очень простым. Это животное, оказавшись предоставленным самому себе, описывает хвостом круг в плоскости, перпендикулярной оси тела. В результате, по принципу площадей, остальное тело должно повернуться в направлении, противоположном движению хвоста. Провернувшись на желаемый угол, кошка останавливает хвост, а тем самым и собственное вращательное движение, спасая одновременно суть и принцип площадей.

Короче говоря, Пеано предполагает, что если кошка закрутит свой хвост, как пропеллер, в одном направлении, то ее тело должно будет начать вращение в обратном направлении.

Хвост кошки, однако, весит намного меньше, чем она сама, и это значит, что хвост должен будет сделать не один оборот, чтобы перевернуть тело целиком. Пеано, судя по всему, и сам это понял, поскольку в статье он замечает, что кошка, возможно, делает еще и взмах задними лапами по кругу, чтобы помочь движению.

Бесхвостая кошка переворачивается в воздухе, что продемонстрировал Дж. Э. Фредериксон . Из статьи Фредериксона «Бесхвостая кошка в свободном падении», Physics Teacher, 27:620–625, 1989. American Association of Physics Teachers

Это движение хвостом прекрасно видно невооруженным взглядом и столь же ясно просматривается на сделанных фотографиях. В них видно, что передние лапы, притянутые к оси вращения, на это движение не влияют. Задние лапы, вытянутые близ оси поворота, описывают, возможно, конус в том же направлении, что и хвост, и таким образом вносят свой вклад во вращение тела в противоположном направлении. Из этого следует, что бесхвостая кошка переворачивалась бы с гораздо большим трудом. Важное замечание: пробуйте эти вещи только с надежной кошкой!

Рассуждения Пеано очень похожи на объяснение сохранения момента импульса на примере офисного кресла; мало того, в конце своей статьи он почти точно описывает эту идею: а если вы махнете длинной палкой в горизонтальной плоскости, ваше тело повернется в противоположном направлении. Эта палка соответствует кошачьему хвосту.

Джузеппе Пеано, ок. 1910 г. Wikimedia Commons

Пеано дал простое и элегантное объяснение — даже слишком простое и элегантное: почти столетие спустя, в 1989 г., Дж. Э. Фредериксон экспериментально продемонстрировал, что бесхвостая кошка прекрасно умеет переворачиваться, хотя кошки, у которых хвосты имеются, действительно используют их, чтобы помочь процессу. Но объяснение с привлечением хвоста-пропеллера очень характерно для такого математика, как Пеано, для его стиля, эрудиции и интересов.

Джузеппе Пеано (1858–1932), видный математик-исследователь, опубликовал более 200 книг и статей. Он вырос на ферме в итальянской деревне Спинета и начальное образование получил в деревенской школе, где в холодные месяцы учащимся приходилось приносить из дома поленья, чтобы обогревать здание школы во время уроков. Учился Пеано отлично, и рано проявившиеся выдающиеся способности мальчика не остались незамеченными: около 1870 г. его дядя предложил ему пожить у него и поступить на учебу в Турине. Там Пеано посещал известную школу, а после ее окончания в 1876 г. поступил в Туринский университет, где ему суждено было провести всю свою трудовую жизнь. После окончания университета в 1880 г. он стал помощником Анджело Дженокки, заведующего кафедрой дифференциального и интегрального исчисления, и получил право как на преподавание, так и на собственные математические исследования.

Еще один пример включает в себя уже прямое столкновение между Дженокки и Пеано. Лекции Дженокки по дифференциальному и интегральному исчислению высоко ценились в университете, и в 1883 г. Пеано попытался уговорить старшего коллегу собрать их в книгу. Дженокки отказался, отговорившись плохим здоровьем, но Пеано сказал, что может сам написать книгу от имени Дженокки. Книга Анджело Дженокки под названием «Дифференциальное исчисление и начала интегрального исчисления» (Calcolo diff erenziale e principii di calcolo integrale) вышла в конце 1884 г. с примечанием: «С добавлениями д-ра Джузеппе Пеано».

Это издание породило, по крайней мере поначалу, небольшой скандал. Пеано не только собрал и скомпилировал лекции Дженокки, но и включил в книгу то, что сам он назвал «важными добавлениями». Эта формулировка производила впечатление одновременно эгоизма и неуважения к человеку, обозначенному в книге как автор. Как может молодой выскочка улучшить работу мастера? Сам Дженокки тоже сначала рассердился, хотя со временем он, кажется, в целом оценил книгу по достоинству. Задним числом можно сказать, что добавления были очень важными.

Несмотря на довольно нахальный подход Пеано к самопродвижению — или, скорее, отчасти благодаря ему — он стремительно двигался по карьерной лестнице и набрал влияние. В 1886 г. Пеано занял второй пост профессора в Королевской военной академии, а в 1890 г. получил пожизненный пост профессора в Турине. Именно в этот период он опубликовал свои самые интересные и важные работы. Одним из величайших его достижений было формулирование того, что мы сегодня называем аксиомами Пеано, — небольшого набора простых утверждений, описывающих все свойства натуральных чисел (0, 1, 2, 3, …). Он также был разработчиком и пропагандистом формального стандартизованного «языка», который можно использовать для формулирования математических утверждений. Этот язык позволяет резко сократить математические доказательства, которые зачастую бывают чрезмерно громоздкими. Нотация Пеано до сих пор используется в почти неизменном виде. В 1890 г. он стал одним из основателей журнала Rivista di Matematica, в котором опубликовал свою первую «кошачью» статью «Принцип площадей и история кошки», а в 1891 г. начал «Стандарты проектов» (Formulario Project), целью которой было создание стандартизованной энциклопедии математики с использованием разработанного им символьного языка.

Еще один образец работы Пеано стоит того, чтобы упомянуть его здесь: это концепция заполняющей пространство кривой. Идею такой кривой представим вопросом: можно ли нарисовать одну-единственную кривую, которая полностью заполняет квадрат? Если говорить о карандаше и бумаге, то мы всегда можем заполнить квадрат, поскольку кончик грифеля имеет конечную толщину. Однако в математике линия — это объект, имеющий длину, но не имеющий ширины, тогда как квадрат имеет и длину, и ширину. Интуитивно нам представляется, что в этом смысле квадрат «больше», чем линия. Мы часто характеризуем это, называя размерности объектов: линия — одномерный объект, а квадрат — двумерный.

К концу XIX в. развитие математики позволило продемонстрировать, что число идеальных точек в линии и квадрате совершенно одинаково. Это значит, в принципе, что квадрат можно заполнить одной непрерывной линией, и именно Пеано первым показал в явном виде, как это сделать. Конструкция, которую он использовал, показана на рисунке, где квадрат заполняется линией, описывающей всё более извилистую траекторию. На первом шаге траектория имеет попросту S-образную форму. В следующей итерации на отдельных участках траектории делаются свои S-образные ответвления, в следующей — ответвления на участках ответвлений и т. д. Пеано сумел строго доказать, что, произведя такую операцию бесконечное число раз, мы получим единую неразрывную линию, проходящую через каждую точку квадрата — мало того, проходящую через каждую точку не по одному разу.

Четыре итерации кривой Пеано. Рисунок автора

Много позже математики поймут, что Пеано открыл весьма любопытный образец интереснейшего математического объекта — фрактала. Обычные геометрические объекты имеют размерности, задаваемые не дробными числами, — квадрат двумерен, тогда как линия одномерна, — и у каждого объекта это число является, в определенном смысле, мерой того, сколько пространства занимает объект. Фракталы — объекты с дробной размерностью, и это указывает на то, что занимаемое фракталом количество пространства принципиально отличается от количества пространства, занимаемого простыми объектами. К примеру, фрактал с размерностью 1,5 занимает больше пространства, чем линия, но меньше, чем квадрат. Фракталы часто описывают как объекты, которые на любом уровне увеличения выглядят в основном одинаково — примерно как тонкий срез ветки дерева с виду похож на толстый срез ветки. Это самоподобие присутствует и в кривой Пеано. В общем, Пеано в своей необычной конструкции обнаружил необычный фрактал с фрактальной размерностью, равной 2, — не дробный фрактал.

Как мы уже видели, Пеано был амбициозным и изобретательным математиком, которого, как правило, интересовали крупные проекты. Однако он также всегда стремился показать, что серьезные математические инструменты, которыми он пользовался, применимы и к решению реальных практических задач. Обдумав на протяжении некоторого времени проблему падающей кошки, он увидел в ней объяснение одной из геофизических задач, вызывавших в то время большой интерес, — чандлеровского колебания полюсов.

Следующая загадка

Грегори Гбур - Загадка падающей кошки и фундаментальная физика краткое содержание

Как падающим кошкам всегда удается приземлиться на четыре лапы? Удивительно, сколько времени потребовалось ученым, чтобы ответить на этот вопрос! История изучения этой кошачьей способности почти ровесница самой физики — первая исследовательская работа на тему падающей кошки была опубликована в 1700 г. французом Антуаном Параном, но даже сегодня ученые продолжают находить в ней спорные моменты. В своей увлекательной и остроумной книге физик и заядлый кошатник Грегори Гбур показывает, как попытки понять механику падения кошек помогли разобраться в самых разных задачах в математике, физике, физиологии, неврологии и космической биологии, способствовали развитию фотографии и кинематографа и оказали влияние даже на робототехнику. Поиск ответа на загадку падающей кошки погружает читателей в увлекательный мир науки, из которого они узнают решение головоломки, но также обнаружат, что феномен кошачьего выверта по-прежнему вызывает горячие споры ученых. Автор убежден, что чем больше мы исследуем поведение этих животных, тем больше сюрпризов они нам преподносят.

Загадка падающей кошки и фундаментальная физика - читать онлайн бесплатно полную версию (весь текст целиком)

Загадка падающей кошки и фундаментальная физика - читать книгу онлайн бесплатно, автор Грегори Гбур Сделать

Загадка падающей кошки и фундаментальная физика

Переводчик Наталья Лисова

Научный редактор Максим Малышев, канд. физ.−мат. наук

Редактор Антон Никольский

Издатель П. Подкосов

Руководитель проекта И. Серёгина

Корректоры М. Миловидова, С. Чупахина

Компьютерная верстка А. Фоминов

Дизайн обложки Ю. Буга

Фото на обложке Легион-медиа

Originally published by Yale University Press

Предисловие: кошки безумны

К счастью, в ходе бесчисленных лет эволюции кошки развили у себя, помимо всего прочего, несколько важных умений, которые позволяют им выходить из сложных ситуаций почти с такой же легкостью, как и попадать в них. Главное среди этих умений — способность, которую в разное время называли по-разному: кошачий переворот, умение всегда падать на лапы, рефлекс восстановления правильной ориентации, кошачий выверт. Все эти определения относятся к замечательной способности кошки при падении с высоты всегда приземляться на лапы, в каком бы положении она ни находилась в начале падения. Кошки способны перевернуться в нужное положение даже при падении с совсем небольшой высоты в полметра, метр, и такой переворот занимает у них долю секунды.

Кошки, кажется, и сами знают, что обладают необычными способностями, и любят при случае похвастать ими. К примеру, Софи — одна из членов моего обширного кошачьего семейства — имела привычку прогуливаться снаружи ограждения лестничной площадки третьего этажа и игнорировала все наши попытки ее от этого отучить. Однажды жена случайно увидела, как Софи поскользнулась — на самом краю мелькнула на мгновение пара кошачьих лап с вцепившимися в дерево когтями — и упала. Приземлилась она невредимой, но, к счастью, после этого случая отказалась от дальнейших экстремальных прогулок.

Я впервые столкнулся с задачей о падающей кошке в 2013 г. при подготовке материалов для своего блога «Черепа среди звезд» (Sculls in the Stars), затрагивающего широкий спектр тем — от физики до истории науки и мистической литературы. Обычно я ищу интересный материал для своих статей в старых научных журналах, и однажды в одном из них мне попались канонические фотографии падающей кошки, которые сделал в 1894 г. французский физиолог Этьен-Жюль Марей. Заинтригованный, я написал для блога статью о Марее и других тогдашних исследователях падающей кошки под заголовком «Переворот кошки: повальное увлечение падением кошки среди ученых XIX в.!».

Читайте также: