Загадка фибоначчи про кроликов

Обновлено: 24.12.2024

Любопытный турист обнаружил тайник Леонардо да Винчи. Пробраться в него непросто: путь преграждает огромная дверь. Попасть внутрь сможет только тот, кто знает нужную комбинацию цифр от кодового замка. У туриста есть свиток с подсказками, из которого он узнал две первые комбинации: 1210 и 3211000. А вот третью никак не разобрать. Придётся расшифровать её самостоятельно!

Общим для первой и второй комбинации является то, что оба этих числа автобиографические. Это значит, что в них заложено описание собственной структуры. Каждая цифра автобиографического числа указывает на то, сколько раз в числе встречается цифра, соответствующая порядковому номеру самой цифры. Первая цифра определяет количество нулей, вторая — указывает на количество единиц, третья — двоек и так далее.

Изображение: Ольга Скворцова / Лайфхакер

Третья комбинация состоит из последовательности 10 цифр. Она представляет собой единственно возможное 10‑разрядное автобиографическое число. Что это за число? Помогите туристу определить!

Если наугад подбирать комбинации цифр, на разгадку уйдёт много времени. Лучше проанализировать имеющиеся у нас числа и выявить закономерность.

Суммируя цифры первого числа — 1210, получаем 4 (количество цифр в данной комбинации). Суммируя цифры второго числа — 3211000, получаем 7 (результат также равен количеству цифр в данной комбинации). Каждая цифра указывает на то, сколько раз она встречается в данном числе. Поэтому сумма цифр в 10‑разрядном автобиографическом числе должна быть равна 10.

Отсюда следует, что в третьей комбинации не может быть много больших цифр. Например, если бы там присутствовали 6 и 7, это означало бы, что какая‑то цифра должна повториться шесть раз, а какая‑то семь, в результате чего разрядов было бы больше 10.

Таким образом, во всей последовательности не может быть более одной цифры больше 5. То есть из четырёх цифр — 6, 7, 8 и 9 — только одна может войти в состав искомой комбинации. Или вовсе ни одной. А на месте незадействованных цифр будут стоять нули. Получается, что в искомом числе содержится минимум три нуля и что на первом месте стоит цифра, которая больше или равна 3.

Первая цифра в искомой последовательности определяет количество нулей, а каждая дальнейшая — количество ненулевых цифр. Если сложить все цифры, кроме первой, получится число, определяющее количество ненулевых цифр в искомой комбинации, с учётом самой первой цифры в последовательности.

Например, если мы сложим цифры в первой комбинации, то получим 2 + 1 = 3. Теперь отнимем 1 и получим число, определяющее количество ненулевых цифр, стоящих после первой, лидирующей цифры. В нашем случае это 2.

Эти вычисления дают важную информацию о том, что количество ненулевых цифр, стоящих после первой цифры, равно сумме этих цифр минус 1. Как вычислить значения цифр, сумма которых на 1 больше, чем количество суммируемых ненулевых положительных целых чисел?

Единственно возможный вариант — это когда одним из слагаемых является двойка, а другие — единицы. Сколько единиц? Оказывается, их может быть только две — в противном случае в последовательности присутствовали бы цифры 3 и 4.

Теперь мы знаем, что первой цифрой должна стоять цифра 3 или выше — она определяет количество нулей; далее цифра 2 для определения количества единиц и две 1, одна из которых указывает на количество двоек, другая — на первую цифру.

Теперь определим значение первой цифры в искомой последовательности. Поскольку мы знаем, что сумма 2 и двух 1 равна 4, вычтем это значение из 10 и получим 6. Теперь остаётся лишь расположить все цифры в правильной последовательности: шесть 0, две 1, одна 2, ноль 3, ноль 4, ноль 5, одна 6, ноль 7, ноль 8 и ноль 9. Искомое число — 6210001000.

Тайник открывается, и турист обнаруживает внутри давно утерянную автобиографию Леонардо да Винчи. Ура!

Загадка составлена на основе видео TED‑Ed.

Показать ответ Скрыть ответ

Как вам задачка? Слышали про автобиографические числа раньше? Рассказывайте в комментариях!

Следующая загадка

Леонардо Фибоначчи был выдающимся средневековым математиком. Считается, что именно он ввёл в обиход арабские цифры. В «Книге абака» — труде, излагающем и пропагандирующем десятичную арифметику, — Фибоначчи приводит свою знаменитую задачу о кроликах. Попробуйте её решить.

В начале января пару новорождённых кроликов (самца и самку) поместили в загончик, огороженный со всех сторон. Сколько пар кроликов они произведут к началу следующего года? Необходимо учесть такие условия:

Кролики достигают половой зрелости через два месяца после своего рождения, то есть к началу третьего месяца жизни.
В начале каждого месяца каждая половозрелая пара даёт жизнь только одной паре. всегда рождаются парами «одна самка + один самец».
Кролики бессмертны, их не могут съесть хищники.

Давайте посмотрим, как растёт количество кроликов в первые полгода:

Месяц 1. Одна пара молодых кроликов.

Месяц 2. По‑прежнему одна исходная пара. Кролики ещё не достигли детородного возраста.

Месяц 3. Две пары: исходная, достигшая детородного возраста + пара молодых кроликов, которых она породила.

Месяц 4. Три пары: одна исходная пара + одна пара кроликов, которую она породила в начале месяца + одна пара кроликов, которые появились на свет в третьем месяце, но ещё не достигли половой зрелости.

Месяц 5. Пять пар: одна исходная пара + одна пара, родившаяся в третьем месяце и достигшая детородного возраста + две новые пары, которым они дали жизнь + одна пара, которая появилась на свет в четвёртом месяце, но пока не достигла зрелости.

Месяц 6. Восемь пар: пять пар, живших в прошлом месяце + три новорождённые пары. И так далее.

Чтобы было понятнее, запишем полученные данные в таблицу:

Если внимательно рассмотреть таблицу, можно выявить следующую закономерность. Каждый раз количество кроликов, имеющихся в n‑м месяце, равно числу кроликов в (n − 1)-м, предыдущем месяце, суммированному с числом только что родившихся кроликов. Их количество, в свою очередь, равно общему числу животных по состоянию на (n − 2)-й месяц (который был два месяца назад). Отсюда можно вывести формулу:

где F_n — общее количество пар кроликов в n‑й месяц, F_n‑1 — общее количество пар кроликов в предыдущий месяц, а F_n‑2 — общее количество пар кроликов два месяца назад.

Подсчитаем по ней количество животных в последующие месяцы:

Месяц 7. 8 + 5 = 13.

Месяц 8. 13 + 8 = 21.

Месяц 9. 21 + 13 = 34.

Месяц 10. 34 +21 = 55.

Месяц 11. 55 + 34 = 89.

Месяц 12. 89 + 55 = 144.

Месяц 13 (начало следующего года). 144 + 89 = 233.

В начале 13‑го месяца, то есть в конце года, у нас будет 233 пары кроликов. Из них 144 пары будут взрослыми, а 89 — молодыми. Полученная последовательность 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 называется числами Фибоначчи. В ней каждое новое итоговое число равно сумме двух предыдущих.

Следующая загадка

Вам, конечно же, знакома идея о том, что математика является самой главной из всех наук. Но многие могут с этим не согласиться, т.к. порой кажется, что математика – это лишь задачи, примеры и тому подобная скукотища. Однако математика может запросто показать нам знакомые вещи с совершенно незнакомой стороны. Мало того – она даже может раскрыть тайны мироздания. Как? Давайте обратимся к числам Фибоначчи.

Задача Фибоначчи с кроликами

Для выполнения задачи автором были поставлены следующие условия: есть пара новорождённых крольчат (самка и самец), отличающихся интересной особенностью – со второго месяца жизни они производят новую пару кроликов – тоже самку и самца. Кролики находятся в замкнутом пространстве и постоянно размножаются. И ни один кролик не умирает.

Задача: определить количество кроликов через год.

Решение:

Одна пара кроликов в начале первого месяца, которая спаривается в конце месяца
Две пары кроликов во втором месяце (первая пара и потомство)
Три пары кроликов в третьем месяце (первая пара, потомство первой пары с прошлого месяца и новое потомство)
Пять пар кроликов в четвёртом месяце (первая пара, первое и второе потомство первой пары, третье потомство первой пары и первое потомство второй пары)

Количество кроликов в месяц «n» = количеству кроликов прошлого месяца + количество новых пар кроликов, другими словами, вышеназванная формула: F_n = F_n-1 + F_n-2. Отсюда получается рекуррентная числовая последовательность (о рекурсии мы скажем далее), где каждое новое число соответствует сумме двух предыдущих чисел:

1 месяц: 1 + 1 = 2

2 месяц: 2 + 1 = 3

3 месяц: 3 + 2 = 5

4 месяц: 5 + 3 = 8

5 месяц: 8 + 5 = 13

6 месяц: 13 + 8 = 21

7 месяц: 21 + 13 = 34

8 месяц: 34 + 21 = 55

9 месяц: 55 + 34 = 89

10 месяц: 89 + 55 = 144

11 месяц: 144 + 89 = 233

12 месяц: 233+ 144 = 377

И эта последовательность может продолжаться бесконечно долго, но учитывая, что задачей является узнать количество кроликов по истечении года, получается 377 пар.

Здесь важно также заметить, что одним из свойств чисел Фибоначчи является то, что если сопоставить две последовательные пары, а затем разделить большую на меньшую, то результат будет двигаться по направлению к золотому сечению, о котором мы также скажем ниже.

Пока же предлагаем вам ещё две задачи по числам Фибоначчи:

Определить квадратное число, о котором известно только, что если отнять от него 5 или прибавить к нему 5, то снова выйдет квадратное число.
Определить число, делящееся на 7, но при условии, что поделив его на 2, 3, 4, 5 или 6 в остатке будет 1.

Такие задачи не только станут отличным способом развития ума, но и занимательным времяпрепровождением. О том, как решаются эти задачи, вы также можете узнать, поискав информацию в Интернете. Мы же не будем заострять на них внимание, а продолжим наш рассказ.

Что же такое рекурсия и золотое сечение?

Золотой прямоугольник и спираль Фибоначчи

Вот пример: берём два числа из последовательности Фибоначчи, например 8 и 13, и чертим прямоугольник с шириной 8 см и длинной 13 см. Далее разбиваем основной прямоугольник на мелкие, но их длина и ширина должна соответствовать числам Фибоначчи – длина одной грани большого прямоугольника должна равняться двум длинам грани меньшего.

После этого соединяем плавной линией углы всех имеющихся у нас прямоугольников и получаем частный случай логарифмической спирали – спираль Фибоначчи. Её основными свойствами являются отсутствие границ и изменение форм. Такую спираль можно часто встретить в природе: самыми яркими примерами являются раковины моллюсков, циклоны на изображениях со спутника и даже ряд галактик. Но более интересно то, что этому же правилу подчиняется и ДНК живых организмов, ведь вы помните, что оно имеет спиралевидную форму?

Эти и многие другие «случайные» совпадения даже сегодня будоражат сознание учёных и наводят на мысль о том, что всё во Вселенной подчинено единому алгоритму, причём, именно математическому. И эта наука кроет в себе огромное количество совсем нескучных тайн и загадок.

Следующая загадка

Условия задачи: Человек приобрел пару взрослых кроликов (по отдельности) и поместил их в огороженный со всех сторон загон. Сколько пар кроликов будет через полгода, если считать, что каждый месяц пара дает в качестве приплода новую пару кроликов, которые со второго месяца жизни также начинают приносить приплод?

Если вам интересен ответ и правильное решение, то нажмите кнопку.

Ответ

Ответ:

В первый месяц кроликов окажется уже 2 пары: 1 первоначальная пара, давшая приплод, и 1 родившаяся пара.

Во второй месяц кроликов будет 3 пары: 1 первоначальная, снова давшая приплод, 1 растущая и 1 родившаяся.

Что такое числа Фибоначчи?

Числа Фибоначчи являются элементами числовой последовательности, где каждое последующее число образуется посредством суммирования двух предыдущих, например: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89… Как правило, записывается такая последовательность формулой: F₀ = 0, F₁ = 1, F_n = F_n-1 + F_n-2, n ≥ 2.

Создателем чисел Фибоначчи является один из первых математиков Европы средних веков по имени Леонардо Пизанский, которого, собственно и знают, как Фибоначчи – это прозвище он получил спустя много лет после своей смерти.

При жизни Леонардо Пизанский очень любил математические турниры, по причине чего в своих работах («Liber abaci» /«Книга абака», 1202; «Practica geometriae»/«Практика геометрии», 1220, «Flos»/«Цветок», 1225 год – исследование на тему кубических уравнений и «Liber quadratorum»/«Книга квадратов», 1225 – задачи о неопределенных квадратных уравнениях) очень часто разбирал всевозможные математические задачи.

О жизненном пути самого Фибоначчи известно крайне мало. Но достоверно известно то, что его задачи пользовались огромнейшей популярностью в математических кругах в последующие века. Одну из таких мы и рассмотрим далее.

Золотое сечение

Золотое сечение является делением целого на части, соотносящиеся по принципу: большее относится к меньшему аналогично тому, как общая величина относится к большей части.

Впервые о золотом сечении упоминает Евклид (трактат «Начала» прим. 300 лет до н.э.), говоря и построении правильного прямоугольника. Однако более привычное понятие было введено немецким математиком Мартином Омом.

Приблизительно золотое сечение можно представить в качестве пропорционального деления на две разные части, к примеру, на 38% и 68%. Численное же выражение золотого сечения равно примерно 1,6180339887.

На практике золотое сечение используется в архитектуре, изобразительном искусстве (посмотрите работы Леонардо да Винчи), кино и других направлениях. На протяжении долгого времени, впрочем, как и сейчас, золотое сечение считалось эстетической пропорцией, хотя большинством людей оно воспринимается непропорциональным – вытянутым.

Вы можете попробовать оценить золотое сечение сами, руководствуясь следующими пропорциями:

Длина отрезка a = 0,618
Длина отрезка b= 0,382
Длина отрезка c = 1
Соотношение c и a = 1,618
Соотношение c и b = 2,618

Теперь же применим золотое сечение к числам Фибоначчи: берём два соседних члена его последовательности и делим большее на меньшее. Получаем примерно 1,618. Если же возьмём то же самое большее число и поделим его на следующее большее за ним, то получим примерно 0,618. Попробуйте сами: «поиграйте» с числами 21 и 34 или какими-то другими. Если же провести этот опыт с первыми числами последовательности Фибоначчи, то такого результата уже не будет, т.к. золотое сечение «не работает» в начале последовательности. Кстати, чтобы определить все числа Фибоначчи, нужно знать всего лишь три первых последовательных числа.

И в заключение ещё немного пищи для ума.

Рекурсия

Рекурсия является описанием, определением или изображением какого-либо объекта или процесса, в котором есть сам данный объект или процесс. Иначе говоря, объект или процесс можно назвать частью самого себя.

Рекурсия широко используется не только в математической науке, но также и в информатике, массовой культуре и искусстве. Применимо к числам Фибоначчи, можно сказать, что если число равно «n>2», то «n» = (n-1)+(n-2).

Читайте также: