Загадка дважды два равно четыре
Обновлено: 24.12.2024
Наверное, каждый из хабровчан хотя бы раз в жизни слышал это выражение. Действительно, что может быть проще? Однако я знавал преподавателя математического анализа, который, услыхав подобное, ехидно улыбался в усы и предлагал доказать этот факт. После этого у говорившего обычно случался когнитивный диссонанс.
И действительно, как же доказать, что 2 × 2 = 4? Ответ под хабракатом.
Дисклеймер
Данная статья не содержит ничего нового для читателей с серьёзным математическим образованием. Также, вполне вероятно, она будет неинтересна людям с чисто инженерным складом ума. Этот текст писался в расчёте на тех, кому интересны основания математики, но кто до сих пор не нашёл времени и сил в них разобраться.
Начнём с начала
Что такое натуральные числа? Четверо из пяти людей, встреченных на улице, ответят:«Это один, два, три и так далее». Более строгая формулировка этого ответа, которую я встретил в школьном учебнике, гласит: натуральные числа — это члены арифметической прогрессии, начинающейся с 1 и имеющей разность 1. Другое определение из учебника: это числа, которые используются для обозначения количества объектов.
До конца XIX века натуральные числа определялись примерно так, либо не определялись вообще, полагаясь чем-то самим собой разумеющимся. А потом началась перестройка: здание математики стали переносить на фундамент теории множеств, и вещи, которые ранее казались элементарными, внезапно потребовали строгого обоснования.
Аксиоматика Пеано
Товарищ Джузеппе Пеано, большой озорник и затейник (чего стоит хотя бы латино-сине-флексионе), создал очень простую и компактную аксиоматику натуральных чисел, используемую и поныне. Натуральные числа в его интерпретации похожи на структуру данных "односвязный список" — правда, бесконечный.
Итак, натуральные числа — это множество ℕ с заданной на нём функцией следования a → a', которые удовлетворяют следующим трём аксиомам:
1. Для каждого натурального числа a существует единственное следующее за ним число a'.
Эта аксиома означает, что наш односвязный список бесконечен. Нет такого элемента, у которого в поле «next» записан null. Также это именно список, а не какое-нибудь бинарное дерево: у каждого элемента только один следующий.
2. Существует одно и только одно число, не следующее ни за каким другим. Это число называется единицей. Каждое из оставшихся чисел следует ровно за одним числом (спасибо Kozy, в первоначальной редакции я пропустил эту фразу).
У списка должна быть голова, причём только одна. Список не должен зацикливаться (за третьим элементом не может следовать второй).
3. У множества натуральных чисел нет собственного подмножества, удовлетворяющего аксиомам 1-2.
Без этой аксиомы можно было бы, допустим, добавить к множеству натуральных чисел ещё одно число-уроборос, следующее за самим собой. Или ещё два числа, которые следуют друг за другом. Иначе говоря, аксиома 3 не допускает утечек памяти, которые могли бы возникнуть из-за изолированных кусков списка, до которых нельзя добраться по ссылкам, если идти от головы. Если из натуральных чисел можно что-то выкинуть — это не натуральные числа.
Сложение и умножение
Арифметические операции в аксиоматике Пеано определяются не менее интересно. Сложение описывается следующими двумя свойствами:
1. (a + b)' = a + b'
2. a' = a + 1
— а умножение — вот этими двумя:
1. a×b' = a×b + a
2. a×1 = a
Удивительно, но здесь нет ни слова о коммутативности, ассоциативности, дистрибутивности и прочих свойствах сложения и умножения, о которых рассказывают в школе. Все они выводятся из этих четырёх базовых.
2 × 2 = 4
Вооружившись знаниями, мы можем теперь перейти к доказательству. Однако сначала нужно понять две вещи: что такое 2 и что такое 4. Двойка следует за единицей, поэтому 2 = 1'. Четвёрка следует за тройкой, которая, в свою очередь, следует за двойкой, которая, как я уже говорил, следует за единицей — поэтому 4 = 1'''.
Итак, нам нужно доказать следующее: 1' × 1' = 1'''.
Сначала докажем, что дважды два — это два плюс два. Действительно,
1' × 1' = (1' × 1) + 1' (первое свойство умножения)
1' × 1 = 1' (второе свойство умножения)
Следовательно, 1' × 1' = 1' + 1' .
Теперь докажем, что 2 + 2 = 4.
1' + 1' = (1' + 1)' (первое свойство сложения)
1' + 1 = (1')' = 1'' (второе свойство сложения)
Следовательно, 1' + 1' = (1'')' = 1'''
Заключение
Всякая простая вещь, если вглядываться в неё пристально, через какое-то время перестаёт казаться простой. Натуральные числа и операции над ними — не исключение, а скорее яркий пример. Ещё более сложным и интересным образом в современной математике строятся множества целых, рациональных и действительных чисел. Но это тема совсем другого разговора.
Пост скриптум
Почему всё, написанное выше - чушь и демагогияКак известно, одна и та же теория может опираться на совершенно разные системы аксиом. У той же аксиоматики Пеано существует куча вариантов, отличающихся по формулировке, но принципиально схожих. Так как же вводится аксиоматика натуральных чисел в школе?
Это не произносится вслух (да школьники к тому моменту и не знают ещё страшных слов типа «множество» и «функция»), но по сути множество натуральных чисел в школе определяется как множество строк специальных символов, называемых цифрами. Строки должны быть конечными, непустыми и не должны начинаться с символа, называемого нулём.
Отношения равенства и неравенства, сложение, вычитание, умножение и деление — всё это определяется через операции над строками символов. Для строк из одного символа (т.е. для отдельных цифр) существуют специальные таблицы — таблицы сложения и умножения. Для более длинных строк специальные правила позволяют свести действия над ними к действиям над отдельными цифрами. Эти правила и таблицы и являются школьной аксиоматикой натуральных чисел.
В таком понимании натуральных чисел «2 × 2 = 4» — часть аксиоматики, поскольку это тождество содержится в таблице умножения. Тогда, действительно, ничего проще быть не может. Но аксиоматику Пеано всё равно знать не вредно.
Следующая загадка
В своё время Пифагор выдвинул тезис « Числа правят миром ». Позднее Галилей сформулировал эту же мысль по-другому: « Книга природы написана на языке математики » . Многие современные ученые понимают это утверждение таким образом, что законы математики лежат в основе всего миропорядка. Эта точка зрения основана на уверенности, что язык математики универсален и един для всего мира.
Часто приходится встречать аргумент, что 2х2 равно четырём и в Африке, и на Луне, и в любом уголке Вселенной. Это заставило меня задуматься, а почему 2х2=4? Действительно ли это равенство настолько очевидно и выполняется при любых условиях?
Я полагаю, что математика, а точнее арифметика, возникла как средство выполнения расчетов в товарных отношениях между людьми. Она требуется в случаях, когда необходимо подсчитать урожай, определить его на хранение, выделить часть на посев в следующем году, определить величину собственного потребления и обмена излишков. Правила арифметики, которые при этом используются, просты и понятны. 1+1=2. Если к одному литру воды добавить ещё один литр, то получится два литра воды. Казалось бы, какие могут быть вопросы? Эти правила не вызывают вопросов применительно к зерну, маслу, воде и т.д.
Но давайте попробуем представить, что где-то существуют другие законы природы или вещества с иными свойствами. Например, на какой-то планете есть жидкость, которая уменьшает свой объем на 25% при смешивании с другой частью такой же жидкости.
Некоторым аналогом такой жидкости может служить ядерное вещество. Масса ядра меньше, чем сумма масс содержащихся в ядре нуклонов. Это явление называется – дефект массы и обусловлено наличием энергии связи между нуклонами.
То есть, если взять один литр такой жидкости и добавить к нему ещё один литр такой же жидкости, то в итоге смесь займет полтора литра. Если добавить ещё один литр, то получится 2,25 литра. Если добавить четвертый литр, то получится в итоге 3 литра. То есть изначально у нас было 4 ёмкости по одному литру. Мы их перелили в одну ёмкость и получили 3 литра. Как должны считать люди? 1+1+1+1=3 .
Рассмотрим условие задачи: имеется 4 ёмкости по одному литру. Какую ёмкость следует взять для хранения этой жидкости? Ответ: нужна ёмкость на 3 литра. Решение: 1+1+1+1=3.
Можно рассмотреть обратную задачу. Имеется сосуд объемом 3 литра, в котором находится жидкость. Сколько необходимо сосудов ёмкостью по одному литру, чтобы перелить в них всю жидкость? Конечно, необходимо 4 сосуда.
А это, согласитесь, уже совсем другая математика. То есть, на планете с другими физическими законами будет другая математика. Таким образом, можно предположить, что не математика управляет законами природы, а действующие законы природы определяют правила математики .
Мне могут возразить, что я описал гипотетическую ситуацию, которой не может быть в природе. Можно предположить, что на Земле всё гораздо проще и понятнее. Но так ли это?
До тех пор, пока в вычислениях используются натуральные числа, всё вроде понятно. У человека было 3 мешка с зерном. У него забрали (отняли) два мешка. У человека остался один мешок. Это понятно. 3-2=1. Можно ли у человека забрать четыре мешка? Сколько у него останется после этого? Вполне логично, что у человека не останется ничего, то есть ноль мешков. Поэтому 3-4=0. Странно ли это? Странно, если это будет иначе. Если базироваться на таком правиле, то математика может выглядеть несколько по-другому.
В математике длительное время не было понятия отрицательного числа. Существовало аналогичное понятие, которое трактовалось как долг. И это было чисто экономическое понятие. Запишем долг в виде (-х). В этом случае легко понять, что выражение 1-1 означает совсем не то же самое, что 1 + (-1) . В первом случае у человека был мешок с зерном, который у него отняли, в итоге у него ничего не осталось. Во втором случае у человека есть мешок с зерном и долг в виде одного мешка. Но это две абсолютно разные ситуации. Человек, у которого ничего нет, лишен каких-либо возможностей. Человек, у которого есть мешок зерна и долг, имеет несколько вариантов. Он может не отдавать сейчас долг, посеять зерно, собрать урожай, рассчитаться с долгом и оставить остаток зерна себе. И это совсем другая ситуация.
В математике решили приравнять эти ситуации. То есть постановили, что
Но это абсолютно разные операции и разные понятия. Это было сделано только для удобства выполнения вычислений с отрицательными числами. Такой подход полностью противоречит не только экономическому пониманию действия, но и физическому представлению о природе. Левая часть выражения показывает, что если в пространстве находилась частица, и её убрали, то останется пустое пространство. Правая часть говорит, что если в пространстве находится частица и её античастица, то это равносильно тому, что пространство пустое. А это в корне неверно.
Кроме того, в законах математики полностью отсутствует понятие времени. Законы математики абсолютны, статичны, они вне времени. В природе же всё находится в динамике, в движении, в развитии. В природе нет покоя. Поэтому весьма странно встречать высказывания, в которых автор одновременно утверждает, что всё в природе находится в непрерывном движении, и при этом убеждён, что всё в природе подчиняется законам математики.
Подводя итог данных рассуждений, можно заключить следующее:
1. Не математика управляет законами природы, а действующие законы природы определяют правила математики.
2. Математика в современном виде опирается на устаревшее и упрощенное понимание природы, поэтому математическое описание физических явлений не позволяет установить смысл этих явлений.
3. Математика не может претендовать на право определять законы природы.
Следующая загадка
Как говорят о натуральных числах в школе? Их определяют либо словесно "Один, два, три, четыре", либо с помощью арифметической прогрессии, которая начинается с 1 и имеет разность 1, либо как множество строк цифр, которые не начинаются с нуля и т.д.
Примерно так и размышляли математики (на самом деле особо не заморачивались) до выхода на сцену Джузеппе Пеано. Он первым ввёл простую аксиоматику, позволившую формализовать арифметику:
1 .Существует 1 (единица) - единственное натуральное число, которое не следует ни за каким другим.
3. Аксиома индукции: если какое-либо предположение доказано для 1, и если из допущения, что оно верно для n следует, что оно верно для n+1, то предположение верно для всех натуральных чисел.
В аксиоматике Пеано определены свойства сложения и умножения :
Вооружившись знаниями аксиом и правил умножения/сложения можно перейти к доказательству. Прежде всего надо понять, что такое 2 и что такое 4. Вспоминаем про функцию следования. Очевидно, что:
S(1) = 2, тогда S(2) = 3, S(3) = 4 или
Осталось теперь доказать, что 2 + 2 равняется четырем:
Вот, собственно, и всё доказательство. Можете быть уверены, что, во всяком случае, на множестве натуральных чисел дважды два равно четырем. Спасибо за внимание!
Следующая загадка
Изредка я сталкиваюсь с мнением, что без использования математических формул некорректно обсуждать физическую проблематику. В наиболее показательных случаях исследователь убежден, что числа являются универсальной отмычкой к тайнам Вселенной.
Такие люди зачастую агрессивны. Адепты числового мира, они полагают всех представителей нематематических, особенно гуманитарных профессий бесполезными болтунами, о чем прямо заявляют.
Не уверен, что это истинно.
Математический язык – научный метод познания окружающего мира, а естественные языки – способ коммуникации на бытовом уровне. В самом деле? Извините, но мне естественные языки представляются более древним и гибким средством познания, нежели математические формулы.
Вот два претендующих на осмысленность сложных – для меня попросту заумных – высказывания, принадлежащих разным авторам (пример условный):
1.
2.
«Но наличное бытие, в котором содержатся как ничто, так и бытие, само является масштабом для односторонности качества как лишь непосредственной или сущей определенности. Качество должно быть положено также и в определении ничто, благодаря чему непосредственная или сущая определенность полагается как некая различенная, рефлектированная определенность, и таким образом, ничто как определенность некоторой определенности есть также некое рефлектированное, некое отрицание. Качество, взятое с той стороны, что оно, будучи различенным, признается сущим, есть реальность; оно же, обремененное некоторым отрицанием, есть отрицание вообще; это — также некоторое качество, но такое, которое признается недостатком и определится в дальнейшем как граница, предел».
Можно ли вне привязки к контексту утверждать, что первое высказывание имеет физический смысл, а второе не имеет (либо: может иметь – не может иметь), только на том основании, что второе высказывание сформулировано на «некорректном» естественном языке?!
С моей точки зрения, обе записи – наборы символов, которые могут выражать что-либо истинное, а могут не выражать. Сам по себе использованный автором способ выражения – вербальный ли, формульный ли – не служит критерием глубины или истинности мысли.
Более того, на естественных языках можно выразить что угодно, тогда как на языке формул – довольно ограниченный круг весьма специфических понятий весьма специфическим образом.
Возьмем математическое равенство: 2 * 2 = 4. Не составляет труда изложить его на естественном языке: «дважды два равняется четыре». Теперь попробуйте выразить математической формулой вербальную конструкцию: «Мама мыла раму».
Если вы полагаете, что «мама мыла раму» не имеет отношения к физике, так ведь речь не о том, имеет отношение или нет, а о том, можно или нельзя выразить. Но и отношение к физике – вопрос спорный. Мне кажется, что «мама мыла раму» описывает физическую реальность не хуже «2 * 2 = 4». В этом смысле оба выражения – точнее, оба способа выражения, благо речь идет о способах, – в равной степени пригодны для обозначения, следовательно исследования окружающего мира. Ведь окружающий мир един, не правда ли?
Да, в некоторых ситуациях, в частности при оперировании числами, удобней использовать формулы. Проще написать «2 * 2 = 4» вместо «дважды два равняется четыре». Ну и что? А в иных ситуациях – куда более распространенных, между прочим, – сподручней использовать естественный язык.
Научные труды по физике и математике не обходятся без естественных языков совсем, разбавляя их формулами в той или иной пропорции. Ошибка в значащей вербальной конструкции обращает вязь математических формул в труху. «Пускай n – то-то и то-то». Если названное «то-то и то-то» – сформулированное на естественном языке, как сказано, – некорректно в отношении физической реальности, дальнейшие ухищрения теряют смысл.
Что касается строгости доказательств, якобы присущих математическому аппарату, то существуют силлогизмы – имеющиеся у естественных языков тонкие орудия логического познания.
Нет спору, для естественных языков характерны бездоказательные утверждения и ошибочные выводы, силлогизмы тому не помеха. Так это в силу природной гибкости естественных языков, а не их ущербности! Как я попытался показать двумя абзацами выше, математические формулы не менее уязвимы для ошибок и передергиваний: нет причин принимать их за единственный научный метод исследования реальности. Незачем сводить великолепие физического мира исключительно к числовым отношениям.
Если я вас не убедил, не настаиваю. Как вам угодно. Пускай (дважды два четыре) != (2 * 2 = 4).
Читайте также: