Все загадки и применение бутылки клейна

Обновлено: 25.12.2024

В прошлом году на научно-практической конференции я выступала с исследовательской работой на тему: «Этот удивительный лист Мёбиуса». Я узнала, что лист Мёбиуса поверхность односторонняя, поэтому должен обладать определёнными свойствами, которые я впоследствии выявила и доказала. Изучая все аспекты данной темы, я узнала, что существует множество односторонних поверхностей, исследовать которые тоже можно. Из всего перечня поверхностей я выбрала так называемую бутылку Клейна, так как она напрямую связана с листом Мёбиуса и, действительно, является загадочной. Я докажу это и познакомлю вас с удивительным чудом современной науки.

Актуализация

Я считаю, что моя работа актуальна, так как в науке математике есть столько неразгаданных тайн и секретов, которые не включены в программу школьного образования. Но на основе этих секретов создано много полезных вещей и изобретений, поэтому изучение этих секретов просто необходимо.

У многих учащихся сейчас недостаточно развито пространственное воображение. Сегодня в математическую жизнь вошла компьютерная геометрия, позволяющая представить сложные математические модели. Бумажное моделирование развивает умственные способности и пространственное воображение, т.к. на пальцах рук находится много нервных окончаний, влияющих на мозговую деятельность.

Я выбрала тему бутылка Клейна, потому что считаю, что она имеет наиболее важное научное и практическое значение.

Гипотеза

Я сочла важным показать, что данная поверхность полна неожиданностей. Я предполагаю, что бутылка Клейна, как топологическая фигура, обладает сходными с листом Мёбиуса свойствами и может быть сконструирована разными способами.

Объект исследования

Бутылка Клейна как модель односторонней поверхности.

Предмет исследования

Свойства односторонней поверхности на примере бутылки Клейна.

Цели и задачи

Цель работы: сконструировать модель бутылки Клейна, определить и проверить удивительные свойства бутылки Клейна.

В соответствии с поставленной целью и выдвинутой гипотезой определились следующие задачи:

1. изучение литературы;

2. изучение истории изобретения бутылки Клейна;

3. описание бутылки Клейна и процессов её изготовления;

4. показ использования бутылки Клейна на практике;

5. сравнение бутылку Клейна с листом Мёбиуса;

Методы исследования

1. Библиографический метод исследования

2. Практический эксперимент.

Теоретическая значимость моей работы в том, что в последнее столетие большое влияние на ряд различных областей знаний приобрела новая ветвь геометрии - топология. В наше время эта наука бурно развивается и находит применение в различных областях. Однако ей не уделяется должного внимания в курсе геометрии.

Глава 1. Ф. Х. Клейн и его открытие

1.1. Что такое бутылка Клейна

Бутылка Клейна — определенная неориентируемая поверхность первого рода, т.е. поверхность, у которой нет различия между внутренней и внешней сторонами, и которая, таким образом, в пространстве ограничивает собой нулевой объем. Название, по-видимому, происходит от неправильного перевода немецкого слова Fläche (поверхность), которое в немецком языке близко по написанию к слову Flasche (бутылка). (См. Приложение 1 - «Бутылка Клейна»).

1.2. История изобретения бутылки Клейна

Феликс Христиан Клейн (1849—1925) — немецкий математик. Всю свою жизнь Клейн старался раскрыть внутренние связи между отдельными ветвями математики, а также между математикой, с одной стороны, и физикой и техникой – с другой. Его работы удивительно многообразны. Это и разрешение уравнений 5-й, 6-й и 7-й степени, и интегрирование дифференциальных уравнений, и исследования абелевых функций, и неевклидова геометрия. Пытаясь доказать непротиворечивость геометрии Лобачевского, изобрёл открытие поразительной красоты - свою бутылку в 1882 г. Это блестящий и очень наглядный пример односторонней поверхности. В ней со всей полнотой проявился и талант математика, и дар выдающегося преподавателя. (См. Приложение 2 – Ф. Х. Клейн).

1.3. Сравнительная характеристика бутылки Клейна и листа Мёбиуса

С целью подтверждения гипотезы я решила сравнить бутылку Клейна с объектом исследования моей прошлогодней работы – с листом Мёбиуса. И результат был удивителен – все свойства двух фигур абсолютно идентичны. (См. Приложение 3 – Сравнительная характеристика). Следовательно, бутылка Клейна, подобно листу Мёбиуса является топологическим объектом. Значит, бутылка Клейна обладает топологическими свойствами.

1.4. Топологические свойства бутылки Клейна

Топологическим свойством (или топологическим инвариантом) геометрических фигур называется свойство, которым вместе с данной фигурой обладает также любая фигура, в которую она переходит при топологическом преобразовании.

К топологическим свойствам бутылки Клейна относятся:

1. хроматический номер. Он равен максимальному числу областей, которые можно нарисовать на поверхности так, чтобы каждая из них имела общую границу со всеми другими. Если каждую такую область выкрасить по-разному, то любой цвет должен соседствовать с любым другим. Хроматический номер бутылки Клейна – 6. Конечно же, такое не укладывается в голове. Есть древняя неразрешимая задача. Надо соединить три дома с тремя колодцами, но так, чтобы жители каждого из домов могли ходить по во¬ду в любой колодец и при этом пути их нигде не пересе¬кались. Сделать это не умудрился никто, но лишь срав¬нительно недавно математики строго доказали, что зада¬ча неразрешима. Если склеить эту полоску бумаги так, чтобы совпа¬ли одинаковые буквы на ее кра¬ях, то проблема водоснабжения решается. А теперь раскрасьте карту путей водовозов — и вот вам шесть цветов, живущих в друж¬ном соседстве. Но, конечно, как и раньше, надо предполагать, что все события происходят не на бутылке, а внутри неё. Иными сло¬вами, краски должны проникать сквозь бумагу, как чернила сквозь промокашку. (См. Приложение 4 – Свойства бутылки Клейна).

2. непрерывность. Если вы сравните схему самолётных маршрутов и географическую карту, то убедитесь, что масштаб Аэрофлотом далеко не выдержан – скажем, Свердловск может оказаться на полпути от Москвы до Владивостока. И всё-таки что-то общее между географической картой есть. Москва действительно связана со Свердловском, а Свердловск – с Владивостоком. И поэтому тополог может как угодно деформировать карту, лишь бы точки, ранее бывшие соседями, оставались одна подле другой и дальше. А, значит, с топологической точки зрения круг неотличим от квадрата или треугольника, потому что их легко преобразовать один в другой, не нарушая непрерывности.

3. ориентированность. Конечно, можно было подробно рассказать, что это такое. Но лучше дать определение «от противного»: это то, чего нет у бутылки Клейна! Вообразите, что в ней заключён целый плоский мир, где есть только два измерения, а его обитатели – не симметричные рожицы, не имеющие, как и сама бутылка никакой толщины. Если эти несчастные создания пропутешествуют по всем изгибам бутылки и вернутся в родные пенаты, то в изумлении обнаружат, что превратились в своё собственное зеркальное отображение. Конечно, всё что случится только, если они живут в бутылке, а не на ней.

Выводы:

Изучив литературу, рассмотрев историю изобретения бутылки Клейна и, проведя сравнительную характеристику, выяснила, что бутылка Клейна является односторонней поверхностью, топологическим объектом и обладает топологическими свойствами.

Подписи к слайдам:

Выполнил: Филатова Екатерина, студентка 23 группы. Специальность: 44.02.01. Дошкольное образование Руководитель: Никитюк. И.А., преподаватель Государственное казенное профессиональное образовательное учреждение «Прохладненский многопрофильный колледж» Министерства образования, науки и по делам молодежи КБР Творческая работа Эта загадочная бутылка Клейна 2016г.

Что такое бутылка Клейна? Бутылка Клейна — определенная неориентируемая поверхность первого рода, т.е. поверхность, у которой нет различия между внутренней и внешней сторонами, и которая, таким образом, в пространстве ограничивает собой нулевой объем.

История изобретения бутылки Клейна В 1882 г Феликс Христиан Клейн – немецкий математик, пытаясь доказать непротиворечивость геометрии Лобачевского, изобрёл открытие поразительной красоты - свою бутылку . Это блестящий и очень наглядный пример односторонней поверхности . В ней со всей полнотой проявился и талант математика, и дар выдающегося преподавателя.

Свойства бутылки Клейна: Подобно ленте Мёбиуса, бутылка Клейна является двумерным дифференцируе-мым неориентируемым мно-гообразием . В отличие от ленты Мёбиуса, бутылка Клейна является замкнутым многообразием, то есть компактным многообразием без края.

Бутылка Клейна не может быть вложена (только погружена) в трёхмерное евклидово пространство . Однако в обычном трехмерном евклидовом пространстве сделать это, не создав самопересечения, невозможно. Бутылка Клейна может быть получена склеиванием двух лент Мёбиуса по краю.

Сравнительная характеристика бутылки Клейна и листа Мебиуса. Бутылка Клейна, подобно листу Мёбиуса является топологическим объектом. Значит, бутылка Клейна обладает топологическими свойствами. Бутылка Клейна и Лист Мёбиуса сравнение: 1. Хроматический номер 2. Непрерывность 3. Ориентированность 4. Односторонность

Применение бутылки Клейна Бутылка Клейна вдохновила поэтов на создание литературных шедевров Великий Феликс, славный Клейн, Мудрец из Геттингема , считал, что Мебиуса лист – дар свыше несравненный. Гуляя как-то раз в саду, Воскликнул Клейн наш пылко: «Задача проста – возьмём два листа И склеим из них бутылку».

Применение бутылки Клейна Бутылку Клейна могут изготовить только высококвалифицированные стеклодувы. Но и они не смогут её изготовить в подлинном виде, так как место самопересечения будет запаяно. Но, не смотря на это, они отливают бутылки в качестве сувениров и даже соревнуются, у кого лучше и больше получилась бутылка.

Бутылка Клейна. Любуйтесь… Где - начало, где – конец у этой замечательной бутылки?

Дачный домик в Австралии построен из металла, стекла и цемента в виде бутылки Клейна. Дом полностью группируется вокруг внутреннего дворика, все его уровни соединяются одной лестницей, а сам он то ли устремлен в небо, то ли прижимается к земле одной гранью, сохраняя устойчивое странное равновесие изломанных линий.

Заключение . Как представить себе, на что похожа поразительная "бутылка" в реальности? Оказывается, невозможно построить абсолютно правильную модель этого объекта в нашем трехмерном мире: здесь будет наблюдаться пересечение поверхности, что напрочь отсутствует в четырехмерном измерении. Вывод: истинная "бутылка Клейна" может существовать только в четырехмерном измерении! Где - начало, где - конец? - сказать невозможно . У такой бутылки нет края, и ее поверхности нельзя разделить на внешнюю (наружную) и внутреннюю! Все вышесказанное подводит нас к мысли, что математика таит в себе много нового, неизведанного и интересного.

Конструирование бутылки Клейна Способ № 1. Получение бутылки Клейна из бумаги. Прежде всего, нужно взять бумажный квадрат, перегнуть его пополам и соединить клейкой лентой его стороны. На обращенной к вам половине квадрата сделайте прорезь, перпендикулярную склеенным сторонам. Расстояние между прорезью и верхним краем трубки должно быть равно примерно четверти стороны квадрата. Согнув модель пополам вдоль пунктирной прямой, протащите нижний край трубки сквозь прорезь и склейте друг с другом верхнее и нижнее основания трубки. Правда, там, где поверхность самопересекается, в нашей модели прорезь, но легко представить себе, что края этой прорези соединены так, чтобы поверхность во всех своих точках была непрерывна и не имела края.

Конструирование бутылки Клейна Способ № 2. Получение бутылки Клейна из стандартной пластмассовой бутылки. Необходимо взять бутылку с отверстием в донышке, вытянуть горлышко, изогнуть его вниз, и продев его через отверстие в стенке бутылки (для настоящей бутылки Клейна в четырёхмерном пространстве это отверстие не нужно, но без него нельзя обойтись в трёхмерном евклидовом пространстве), присоединить к отверстию на дне бутылки.

Конструирование бутылки Клейна Способ № 3. Получение бутылки Клейна из одного цилиндра. Один из краёв цилиндра изгибается в обратную сторону, проходит сквозь цилиндр и склеивается с другим краем. Чтобы совершить это склеивание, необходимо исказить ширину цилиндра. Способ № 4. Получение бутылки Клейна из ткани. Целесообразно взять кусок носка или колготок и проделать с ними то же, что и с цилиндром.

Конструирование бутылки Клейна Способ № 5. Получение бутылки Клейна склеиванием двух листов Мёбиуса. Бутылка Клейна может быть получена склеиванием двух лент Мёбиуса по краю. Однако в обычном трехмерном евклидовом пространстве сделать это, не создав самопересечения, невозможно.

Подписи к слайдам:

Следующая загадка

В науке математике есть столько неразгаданных тайн и секретов, которые не включены в программу школьного образования. Но на основе этих секретов создано много полезных вещей и изобретений, поэтому изучение этих секретов просто необходимо.

Дима выбрал тему бутылка Клейна, потому что считает, что она имеет наиболее важное научное и практическое значение.

Вложение	Размер
Butylka_Kleyna.Okunev_D.ppt	1.42 МБ
Municipalnoe_obrazovatelnoe_uchrezhdenie.doc	80 КБ

Предварительный просмотр:

Следующая загадка

В 1882 г. Феликс Христиан Клейн – немецкий математик, пытаясь доказать непротиворечивость геометрии Лобачевского, изобрёл открытие поразительной красоты - свою бутылку. Это блестящий и очень наглядный пример односторонней поверхности. В ней со всей полнотой проявился талант математика.

Вложение	Размер
Презентация "Эта замечательная бутылка Клейна"	770.25 КБ

Предварительный просмотр:

Муниципальное образовательное учреждение

« Гимназия имени А . М . Горького »

Москаленского муниципального района

(научно-исследовательская работа по математике)

Окунев Дмитрий Олегович,

ученик 9 «Б» класса гимназии

имени Горького А.М.

гимназии имени Горького А.М.

В прошлом году на научно-практической конференции я выступал с исследовательской работой на тему: «Этот удивительный лист Мёбиуса». Я узнал, что лист Мёбиуса поверхность односторонняя, поэтому должен обладать определёнными свойствами, которые я впоследствии выявил и доказал. Изучая все аспекты данной темы, я узнал, что существует множество односторонних поверхностей, исследовать которые тоже можно. Из всего перечня поверхностей я выбрал так называемую бутылку Клейна, так как она напрямую связана с листом Мёбиуса и, действительно, является загадочной. Я докажу это и познакомлю вас с удивительным чудом современной науки.

Я выбрал тему бутылка Клейна, потому что считаю, что она имеет наиболее важное научное и практическое значение.

Я счёл важным показать, что данная поверхность полна неожиданностей. Я предполагаю, что бутылка Клейна, как топологическая фигура, обладает сходными с листом Мёбиуса свойствами и может быть сконструирована разными способами.

Бутылка Клейна как модель односторонней поверхности.

Свойства односторонней поверхности на примере бутылки Клейна.

Цель работы : сконструировать модель бутылки Клейна, определить и проверить удивительные свойства бутылки Клейна.

В соответствии с поставленной целью и выдвинутой гипотезой определились следующие задачи:

1. изучение литературы;

2. изучение истории изобретения бутылки Клейна;

3. описание бутылки Клейна и процессов её изготовления;

4. показ использования бутылки Клейна на практике;

5. сравнение бутылку Клейна с листом Мёбиуса;

6. разработка и проведение практического занятия для учащихся;

7. разработка рекомендаций для учащихся, учителей.

1. Библиографический метод исследования

2. Практический эксперимент.

Глава 1. Ф. Х. Клейн и его открытие.

Что такое бутылка Клейна

История изобретения бутылки Клейна

Феликс Христиан Клейн ( 1849 — 1925 ) — немецкий математик . Всю свою жизнь Клейн старался раскрыть внутренние связи между отдельными ветвями математики, а также между математикой, с одной стороны, и физикой и техникой – с другой. Его работы удивительно многообразны. Это и разрешение уравнений 5-й, 6-й и 7-й степени, и интегрирование дифференциальных уравнений, и исследования абелевых функций, и неевклидова геометрия. Пытаясь доказать непротиворечивость геометрии Лобачевского , изобрёл открытие поразительной красоты - свою бутылку в 1882 г. Это блестящий и очень наглядный пример односторонней поверхности. В ней со всей полнотой проявился и талант математика, и дар выдающегося преподавателя. (См. Приложение 2 – Ф. Х. Клейн).

1.3. Сравнительная характеристика бутылки Клейна и листа Мёбиуса

С целью подтверждения гипотезы я решил сравнить бутылку Клейна с объектом исследования моей прошлогодней работы – с листом Мёбиуса. И результат был удивителен – все свойства двух фигур абсолютно идентичны. (См. Приложение 3 – Сравнительная характеристика). Следовательно, бутылка Клейна, подобно листу Мёбиуса является топологическим объектом. Значит, бутылка Клейна обладает топологическими свойствами.

1.4. Топологические свойства бутылки Клейна

К топологическим свойствам бутылки Клейна относятся:

1.хроматический номер. Он равен максимальному числу областей, которые можно нарисовать на поверхности так, чтобы каждая из них имела общую границу со всеми другими. Если каждую такую область выкрасить по-разному, то любой цвет должен соседствовать с любым другим. Хроматический номер бутылки Клейна – 6. Конечно же, такое не укладывается в голове. Есть древняя неразрешимая задача. Надо соединить три дома с тремя колодцами, но так, чтобы жители каждого из домов могли ходить по воду в любой колодец и при этом пути их нигде не пересекались. Сделать это не умудрился никто, но лишь сравнительно недавно математики строго доказали, что задача неразрешима. Если склеить эту полоску бумаги так, чтобы совпали одинаковые буквы на ее краях, то проблема водоснабжения решается. А теперь раскрасьте карту путей водовозов — и вот вам шесть цветов, живущих в дружном соседстве. Но, конечно, как и раньше, надо предполагать, что все события происходят не на бутылке, а внутри неё. Иными словами, краски должны проникать сквозь бумагу, как чернила сквозь промокашку. (См. Приложение 4 – Свойства бутылки Клейна).

2.непрерывность. Если вы сравните схему самолётных маршрутов и географическую карту, то убедитесь, что масштаб Аэрофлотом далеко не выдержан – скажем, Свердловск может оказаться на полпути от Москвы до Владивостока. И всё-таки что-то общее между географической картой есть. Москва действительно связана со Свердловском, а Свердловск – с Владивостоком. И поэтому тополог может как угодно деформировать карту, лишь бы точки, ранее бывшие соседями, оставались одна подле другой и дальше. А, значит, с топологической точки зрения круг неотличим от квадрата или треугольника, потому что их легко преобразовать один в другой, не нарушая непрерывности.

3.ориентированность. Конечно, можно было подробно рассказать, что это такое. Но лучше дать определение «от противного»: это то, чего нет у бутылки Клейна! Вообразите, что в ней заключён целый плоский мир, где есть только два измерения, а его обитатели – не симметричные рожицы, не имеющие, как и сама бутылка никакой толщины. Если эти несчастные создания пропутешествуют по всем изгибам бутылки и вернутся в родные пенаты, то в изумлении обнаружат, что превратились в своё собственное зеркальное отображение. Конечно, всё что случится только, если они живут в бутылке, а не на ней.

Изучив литературу, рассмотрев историю изобретения бутылки Клейна и, проведя сравнительную характеристику, выяснил, что бутылка Клейна является односторонней поверхностью, топологическим объектом и обладает топологическими свойствами.

Глава 2. Эта загадочная бутылка Клейна

2.1. Конструирование бутылки Клейна

Я выяснил, что бутылка Клейна – это одностороння неориентируемая поверхность. Она не может быть вложена в R 3 , а значит, в идеальном виде не может быть получена. Поэтому, я предположил, что в R 3 можно сконструировать только модель бутылки Клейна, да ещё и из разных материалов и разным способом.

Способ № 1. Получение бутылки Клейна из бумаги. Прежде всего, нужно взять бумажный квадрат, перегнуть его пополам и соединить клейкой лентой его стороны. На обращенной к вам половине квадрата сделайте прорезь, перпендикулярную склеенным сторонам. Расстояние между прорезью и верхним краем трубки должно быть равно примерно четверти стороны квадрата. Согнув модель пополам вдоль пунктирной прямой, протащите нижний край трубки сквозь прорезь и склейте друг с другом верхнее и нижнее основания трубки. Правда, там, где поверхность самопересекается, в нашей модели прорезь, но легко представить себе, что края этой прорези соединены так, чтобы поверхность во всех своих точках была непрерывна и не имела края. (См. Приложение 5а – Конструирование бутылки Клейна).

Способ № 2. Получение бутылки Клейна из стандартной пластмассовой бутылки. Необходимо взять бутылку с отверстием в донышке, вытянуть горлышко, изогнуть его вниз, и продев его через отверстие в стенке бутылки (для настоящей бутылки Клейна в четырёхмерном пространстве это отверстие не нужно, но без него нельзя обойтись в трёхмерном евклидовом пространстве ), присоединить к отверстию на дне бутылки. (См. Приложение 5б – Конструирование бутылки Клейна).

Способ № 3. Получение бутылки Клейна из одного цилиндра. Один из краёв цилиндра изгибается в обратную сторону, проходит сквозь цилиндр и склеивается с другим краем. Чтобы совершить это склеивание, необходимо исказить ширину цилиндра. (См. Приложение 5в – Конструирование бутылки Клейна).

Способ № 4. Получение бутылки Клейна из ткани. Целесообразно взять кусок носка или колготок и проделать с ними то же, что и с цилиндром. (См. Приложение 5г – Конструирование бутылки Клейна).

Способ № 5. Получение бутылки Клейна склеиванием двух листов Мёбиуса. Бутылка Клейна может быть получена склеиванием двух лент Мёбиуса по краю. Однако в обычном трехмерном евклидовом пространстве R 3 сделать это, не создав самопересечения, невозможно. Поэтому Бутылка Клейна не может быть вложена (только погружена ) в трёхмерное евклидово пространство R 3 , но вкладывается в R 4 . (См. Приложение 5д – Свойства бутылки Клейна).

Способ № 6. Получение бутылки Клейна из пластилина. Относясь к своей работе с творчеством, я придумал способ, принцип которого не наблюдается у вышеперечисленных. Чтобы получить бутылку Клейна из пластилина, нужно взять пластилин и «строить» бутылку, начиная снизу. (См. Приложение 5е – Конструирование бутылки Клейна).

2.2. Применение бутылки Клейна

Бутылка Клейна в литературе

Бутылка Клейна вдохновила многих поэтов и писателей на создание литературных шедевров на основе её свойств. Поскольку бутылку Клейна можно разрезать так, чтобы получились два листа Мебиуса, должна существовать и обратная операция, о которой говорится в следующем шуточном стихотворении неизвестного автора:

Великий Феликс,
Славный Клейн,
Мудрец из Геттингена,
Считал, что Мебиуса лист—
Дар свыше несравненный.
Гуляя как-то раз в саду.
Воскликнул Клейн наш пылко:
"Задача проста —
Возьмем два листа
И склеим из них бутылку."

Но не один неизвестный автор знаком со свойствами бутылки Клейна. Так в рассказе математика и писателя Мартина Гарднера «Остров пяти красок» в бутылке Клейна исчезает один из героев произведения. А. Дейч написал юмореску «Бутылка Клейна». Ее идея в двух словах: в некоем городе метрополитен развился до такой степени, что топологическая сложность всех ее пересекающихся линий перешла некую допустимую границу — и в результате один за другим целые поезда вдруг исчезали из трехмерного пространства, возвращаясь назад лишь через месяц-другой.

Бутылка Клейна в искусстве

Изредка встречается сувенир в виде стеклянной бутылки Клейна. Для изготовления такой бутылки нужен стеклодув высокой квалификации.

В сериале Футурама в серии « The Route of All Evil » на полке показано пиво Klein’s, которое разлито в бутылки Клейна.

Бутылка Клейна как начало для новой профессии

Если мы пустим муравья ползать по бутылке Клейна и увидим, что, не переползая ни разу через край, путешественник побывает и вовне и внутри своего топологического муравейника. Американские небоскребы породили новую профессию — высотные мойщики стекол. Эти бесстрашные люди очищают грязь только с одной стороны — снаружи, а их менее квалифицированные собратья по цеху — только внутри. Представьте себе ужас «комнатного» мойщика, если, двигаясь вдоль стекла, он вдруг окажется над Нью-Йорком на высоте тридцатого этажа! Хорошо, что человеческие муравейники пока еще не используют фантазию топологов.

Бутылка Клейна и изготовление стёкол

Как уже было сказано, бутылку Клейна могут изготовить только высококвалифицированные стеклодувы. Но и они не смогут её изготовить в подлинном виде, так как место самопересечения будет запаяно. Но, не смотря на это, они отливают бутылки в качестве сувениров и даже соревнуются, у кого лучше и больше получилась бутылка. (См. Приложение 6 – Бутылка Клейна и изготовление стёкол).

2.3. Практическое занятие для учащихся

Мною была проведена практическая работа по ознакомлению учащихся с загадочной бутылкой Клейна. Мы вместе с учащимися решили, что тема «Бутылка Клейна» должна быть включена в программу по математике в качестве дополнительного материала (См. Приложение 7 - Практическое занятие, тема: «Бутылка Клейна»). В конце моей практической работы каждый ученик получил буклет с информацией о бутылке Клейна (См. Приложение 8 - Буклет).

Вывод: проведя ряд опытов по получению бутылки Клейна, я сформулировал несколько способов получения моделей бутылки, которые с удовольствием представлю публике. Я показал практическое применение бутылки Клейна и понял, что без неё в некоторых профессиях, в частности, в искусстве было бы трудно. Самые элементарные сувенир в виде бутылки Клейна удивительны, а в соответствии с менталитетом людей, все бы их покупали. Таким образом, бутылка Клейна приобрела бы популярность, и появилось бы много энтузиастов, желающих разгадать её секрет! Продолжая своё исследование, я разработал практическое занятие для учащихся и провёл его. Я считаю, что такие занятия необходимы, т.к. они расширяют кругозор знаний и помогают научиться чему-то новому, что возможно пригодится в будущем.

Следующая загадка

Бутылка Клейна была открыта в 1882 году Феликсом Клейном и с тех пор входит в галерею любопытных математических форм. Бутылка является односторонней поверхностью - как так называемая лента Мебиуса - но еще и более увлекательная, так как она закрыта и не имеет границ, и у неё нет ни внутренней, ни наружной поверхности. Следуя Клейну мы используем визуальные модели, чтобы изучить эту поверхность.

Просмотр содержимого документа
«Проект "Все загадки и применение бутылки Клейна"»

Все загадки и применение бутылки Клейна

От ленты Мёбиуса к проективной плоскости

Лента Мёбиуса является простейшей односторонней поверхностью, и легко делается из полосы бумаги. Отметьте две стороны бумаги – например, поставьте красные точки на одной стороне и зелёные на другой. Теперь возьмите два конца полосы и соедините их вместе после того, как перекрутите полоску, так чтобы сторона с красными точками соединилась со стороной с зелёными. Это лента Мёбиуса, и перемещение вдоль поверхности приведет нас и к красным, и к зелёным точкам, не пересекая границу.

Эта лента была обнаружена в 1858 году немецким астрономом и математиком Мёбиусом. Она всё время является двусторонней поверхностью, даже если количество перекрутов более одного, но их количество нечётно.

Топология- это математическая дисциплина, которая исследует те свойства фигур, которые не изменяются при непрерывном изгибе и растяжении. Например, если лента Мебиуса выполнена из резинового листа, и мы растянем его немного, не нарушая соединения, она все равно будет односторонней поверхностью. В отличие от этого, если бы мы склеили бы два конца ленты без скручивания, в результате цилиндрическая лента была бы топологически отличным двусторонним цилиндром.

Несмотря на свою простоту лента Мёбиуса была подлинным математическим открытием. Рассуждая о ориентируемости поверхностей, она является одним из ключей к пониманию и классификации поверхностей и их многообразия в топологии.

Следующий задачей в топологии было избавление от оставшейся границы ленты Мёбиуса для получения замкнутой поверхности. Самым простым решением было бы использовать резиновую ленту Мебиуса и стянуть все граничные точки вместе, так же, как мы можем соединить точки окружности к конусу. Но если приклеить диск к ленте Мёбиуса, совмещая их границы, то результатом будет проективная плоскость. В то же время если проколоть отверстие в проективной плоскости, тогда то, что останется, будет листом Мёбиуса. Проективной плоскостью называется простейшая закрытая одностороння поверхность. К сожалению, геометрические реализации проективной плоскости являются весьма сложными. Так, например, их не было до 1903 года, когда Werner Boy, по предложению David Hilbert, нашел геометрическую реализацию проективной плоскости, которая не имеет острых углов или кромок.

Бутылка Клейна- не пончик

Конструкция тора – форма пончика - начинается с листа бумаги: скручиваем его в цилиндр, а затем сгибаем оба конца, чтобы закрыть фигуру. Внешняя и внутренняя часть цилиндра не соединены. Поэтому тор является двухсторонней поверхностью.

Мы могли бы также использовать цилиндр, чтобы сделать бутылку Клейна. Вместо того чтобы добавлять скручивание, как мы это делали при создании ленты Мёбиуса из полосы бумаги, мы просовываваем один конец цилиндра обратно через него и приклеиваем его к другому концу. Для достижения этой цели с приятной для восприятия формой мы регулируем толщину цилиндра. Это позволяет приклеить один край к другому, и получить одностороннюю поверхность. На картинке ниже я использовал белый и зеленый, чтобы различать две стороны первоначального цилиндра. Когда бутылка Клейна закончена, цвета по-прежнему показывают, где цилиндр склеен между собой.

В своей оригинальной работе, Клейн представил бутылку в качестве «некоторой неограниченной двойной поверхности», которая «может быть визуализирована переворачивая кусок резиновой трубки и позволяя ему пройти через себя, так, чтобы его внутренняя и внешняя часть встречались».

К сожалению, бутылка Клейна не ограничивает объем - другими словами, у неё нет нутра. Это означает, что вы могли бы поставить в два раза больше сахара на пончик в виде бутылки Клейна, нежели на пончик в виде торуса, но в нём не будет внутри теста!

Ориентируемость и односторонность

При изучении ленты Мёбиуса или бутылки Клейна, ориентируемость и односторонность имеют большое значение. Поверхность является односторонней, если вы можете ходить по поверхности и достичь обе стороны каждой точки поверхности. Большинство поверхностей в природе являются двусторонними. Например, круглая сфера является двусторонней, которая гарантирует, что мы всегда идём по внешней части Земли, и никогда не зайдём внутрь. Аналогичным образом, тор в форме колеса, крендель, и, вообще говоря, все поверхности, имеющие заполнение, являются двусторонними.

В природе мы обычно не видим односторонних поверхностей, и помните, что первая односторонняя поверхность, найденная Мёбиусом была абстрактной математической конструкцией. Строя перпендикулярные стрелки (нормальные векторы) вдоль ленты Мёбиуса на этой иллюстрации бутылки Клейна мы подчёркиваем ее односторонность: непрерывным движением мы можем двигать стрелки для обеих сторон поверхности от точки к точке, а это означает, что мы не можем различить её верх и низ. К сожалению, само понятие односторонности зависит от окружающего пространства - например, замкнутые кривые (петли) в 3-х мерном пространстве не имеют стороны, хотя в 2-х мерном они есть.

Поверхность называется ориентируемой, если рисунок на ней не может быть преобразован в его зеркальное отражение, просто перемещаясь вдоль поверхности. Рассмотрим рисунок на иллюстрации. Если переместить его вдоль ленты Мёбиуса, то он предстанет перед нами в его зеркальном отражении (как в горизонтали, так и вертикали). Это означает, что лента Мёбиуса неориентируемая. Понятие ориентируемости распространяется на многомерных пространствах, например, в неориентируемой 3-мерной вселенной было бы способ бросить правую перчатку так, чтобы она вернулась к вам левой!

В отличие от односторонности, ориентируемость является внутренним свойством и не требует, чтобы поверхность была встроена в окружающее пространство. Поскольку топологи разработали способы, чтобы представлять фигуры без окружающего пространства, понятие ориентируемости в целом гораздо более применимо, чем у односторонности. Тем не менее, для поверхностей в нашем 3-х мерном мире односторонность является очень естественным понятием.

Когда Клейн стал профессором в Лейпциге в 1880 году, он сразу же начал приобретать математические модели и пополнять их коллекцию. Клейн был геометр и использовал эти гипсовые модели в своих университетских лекциях. Коллекция моделей стала очень популярной во всем мире. Когда он затем переехал в Геттинген, Клейн, вместе со своим коллегой Hermann Amandus Schwarz, его коллекция была настолько большой, что сотни моделей были на постоянной экспозиции. При том, что модель может стоить около £ 150, это было достаточно большой инвестицией в образование.

После успеха математических моделей, в 1893 году прусское правительство решило принять участие в Всемирной Колумбовой Выставке в Чикаго с университетской выставкой. Клейн и его бывший студент Дейк организовали выставку математики, включая около сотни математических моделей и инструментов. Производство математических моделей издателем Martin Schilling, и другими остановилось в начале 20-го века, но многие из гипсовых форм все еще находятся в университетских математических факультетах. Фотографии многих гипсовых моделей также доступны в Интернете. В настоящее время, такие хранилища, как Electronic Geometry Models journal, размещённое в Берлине, предоставляют цифровые модели в качестве источника для математических экспериментов.

Читайте также:

Все загадки и применение бутылки клейна

Подписи к слайдам:

Подписи к слайдам:

Следующая загадка

Предварительный просмотр:

Следующая загадка

Предварительный просмотр:

Предварительный просмотр:

Следующая загадка

Просмотр содержимого документа «Проект "Все загадки и применение бутылки Клейна"»

Просмотр содержимого документа
«Проект "Все загадки и применение бутылки Клейна"»