Лента мебиуса загадка современности
Обновлено: 22.11.2024
Предполагаю, что многие перестанут читать, после этой фразы, но что поделать, нужно быть честной. Не думаю, что с помощью ленты Мёбиуса можно вернуться в прошлое и победить Таноса. Да, я понимаю, что Железному человеку удалось, но, скорее всего, это просто магия кино.
Чтобы вы не сильно расстраивались, вот вам шутка. Зачем курица пересекла ленту Мёбиуса? Чтобы оказаться на той же стороне! Не смешно? Сейчас объясню.
Эта шутка отлично иллюстрирует тот факт, что лента Мёбиуса - односторонняя поверхность. Иными словами, как бы сильно вы не старались, вы не сможете попасть на другую сторону ленты. Потому что никакой другой стороны нет. Эта удивительная особенность, ставит в тупик наш мозг привыкший, что всё на свете можно перевернуть. Поэтому предлагаю вам сделать ленту Мёбиуса и отследить это свойство. Для этого вам понадобиться длинная полоска из любого гнущегося материала. Возьмите её и сверните в кольцо, затем переверните один край и в таком положении склейте с другим.
Теперь, когда вы держите ее в руках, можете взять пишущий инструмент и провести им вдоль по поверхности ленты. В зависимости от длины изначальной полосы, через некоторое время вы окажетесь в той же точки из которой начинали и увидите, что ваша линия находится на всей поверхности ленты Мёбиуса. Если проделать это с обычным кольцом из бумаги, то линия будет лишь с одной стороны. Как только вы смиритесь с тем, что у ленты Мёбиуса лишь одна сторона, можете проделать следующий фокус: проведите пишущим инструментом по границе вашей подделки. Заметили? Не отрывая карандаша (условно) вы прошли всю границу и вернулись в ту же точку. Это значит, что у этой поверхности одна граница. Проделайте так несколько раз, пока не поверите. Если вы почувствуете нарастающую тревогу, не переживайте. Это ваш мозг сопротивляется новому.
Авторами этой чудесной поверхности считают двух математиков: Августа Фердинанда Мёбиуса и Иоганна Листинга. Оба учились у Карла Гаусса и занимались геометрией. Последнему принадлежит также авторство термина: "топология". Это, пожалуй, самый молодой раздел геометрии, в котором изучаются свойства объектов, неизменные при деформации. Тем не менее встречаются и более ранние изображения ленты Мёбиуса. Но не известно, знали ли люди, рисовавшие её, свойства этого объекта.
Римская мозаика III века нашей эры Римская мозаика III века нашей эрыНапример, можно обнаружить много любопытного, при попытке разрезать ленту. Эти опыты еще больше ставят в тупик наше сознание. Все привыкли, что если что-то разрезать пополам, то получится две части. Попробуйте разрезать вашу ленту Мёбиуса вдоль, посередине. Это поразительно, но при разрезании вы получаете не два объекта, а один, причем меняется основное свойство. Поверхность, которую вы держите в руках - двухсторонняя.
Следующая загадка
Волшебная, нереальная - это все эпитеты, которыми можно наградить ленту Мебиуса. Одну из самых больших загадок современности. Возможно, именно лента Мебиуса скрывает в себе загадки взаимодействия всего существующего в нашей Вселенной. У этой фигуры есть загадочные свойства и вполне реальные области применения.
Лента Мебиуса является одной из самых необыкновенных геометрических фигур. Несмотря на ее необычность, ее легко сделать в домашних условиях.
Лента Мебиуса – это трехмерная неориентируемая фигура с одной границей и стороной. Этим она уникальна и отлична от всех других предметов, которые могут встретиться в повседневной жизни. Ленту Мебиуса также называют листом Мебиуса и поверхностью Мебиуса. Она относится к топологическим объектам, то есть объектам непрерывным. Такие объекты изучает топология - наука, исследующая непрерывность среды и пространства.
Интерес вызывает уже само открытие ленты. Два математика, несвязанных между собой, открыли ее в одном и том же 1858 году. Этими открывателями были Август Фердинанд Мебиус и Иоганн Бенедикт Листинг.
Условно различают ленты по способу сворачивания: по часовой стрелке и против часовой стрелки. Их еще называют правая и левая. Но различить «на глаз» вид ленты невозможно.
Сделать такую фигуру чрезвычайно просто: нужно взять ленту ABCD. Свернуть ее так, чтобы соединить точки A и D, В и С, склеить соединенные концы.
Некоторые считают, что эта загадочная геометрическая фигура - прообраз перевернутой восьмерки-бесконечности, на самом деле это неверно. Этот символ был введен для использования намного раньше, чем была открыта лента Мебиуса. Но сходность смысла этих фигур определенно есть. Мистики называют ленту Мебиуса символом двойственного восприятия единого. Лента Мебиуса словно говорит о взаимопроникновении, взаимосвязанности и бесконечности всего в нашем мире. Недаром, ее часто используют в качестве эмблем и товарных знаков. Например, международный символ переработки выглядит как лента Мебиуса. Лента Мебиуса может быть также своеобразной иллюстрацией некоторых явлений в природе, например, круговорота воды.
Лента Мебиуса имеет характерные свойства, они не меняются, если ленту сжимать, комкать или резать вдоль.
К этим свойствам относятся:
- Односторонность. Если взять ленту Мебиуса и начать закрашивать в любом ее месте и направлении, то постепенно вся фигура будет закрашена целиком, при этом фигуру не нужно будет переворачивать.
- Непрерывность. Каждую точку этой фигуры можно соединить с другой ее точкой, при этом ни разу не выходя за края ленты.
- Двусвязность (или двумерность). Лента остается цельной, если резать ее вдоль. Из нее не получатся в этом случае две разные фигуры.
- Отсутствие ориентированности. Если представить, что человек мог бы идти по этой фигуре, то при возвращении в точку начала путешествия, он бы превращался в свое отражение. Путешествие по листу бесконечности могло бы продолжаться вечно.
Если взять ножницы и немножко поколдовать над этой загадочной поверхностью, то получится создать дополнительные необычные фигуры. Если резать ее вдоль, по линии, удаленной от краев на равное расстояние, то получится закрученная «Афганская лента». Если полученную ленту разделить вдоль, посередине, то образуются две ленты, взаимопроникающие друг в друга. Если положить друг на друга несколько полосок и соединить в ленту Мебиуса, то если такую фигуру развернуть, снова получится «Афганская лента».
Если разрезать ленту Мебиуса с тремя или большим количествам полуоборотов, то получатся кольца, называющиеся парадромными.
Если склеить вместе две ленты Мебиуса вдоль границ, то выйдет другая удивительная фигура – бутылка Кляйна, но ее нельзя сделать в обычном трехмерном пространстве.
Если сгладить некоторые грани листа Мебиуса, то выйдет невозможный треугольник Пенроуза. Это плоский треугольник-иллюзия, когда смотришь на него, он кажется объемным.
Лист Мебиуса – неиссякаемый источник для творчества писателей, художников и скульпторов. Его упоминание часто встречается в фантастической и мистической литературе. На его свойствах основывались художественные вымыслы о возникновении Вселенной, устроенности загробной жизни, передвижении во времени и пространстве. Лист Мебиуса упоминали в своих произведениях Артур Кларк, Владислав Крапивин, Хулио Кортасар, Харуки Мураками и многие другие.
Известным художником Эшером был создан ряд литографий с использованием ленты. На наиболее известной его работе муравьи ползут по листу Мебиуса.
Свойства ленты Мебиуса позволят показать интересные фокусы. Рассмотрим один из самых известных. Подвешиваются две ленты Мебиуса из калийной селитры, маг касается зажженной сигаретой до средней линии каждой из них. Разгоревшееся пламя удлинит первую ленту, а вторую превратит в две, связанные друг с другом. В форме ленты Мебиуса сделан популярный аттракцион «Американские горки». Часто используют эту геометрическую фигуру ювелиры при создании дизайна драгоценностей.
Ленту Мебиуса широко применяют в науке и промышленности. Она является источником для множества научных исследований и гипотез. Существует, например, теория, что ДНК – это часть листа Мебиуса. Исследователи в области генетики уже научились разрезать одноцепочную ДНК так, чтобы получить из нее ленту Мебиуса. Физики говорят о том, что оптические законы базируются на свойствах листа Мебиуса. Например, отражение в зеркале – это своего рода передвижение во времени по аналогичной траектории. Есть научная гипотеза о том, что Вселенная – это гигантская лента Мебиуса.
В начале 20 века Никола Тесла изобрел резистор Мебиуса, который противостоит потоку электроэнергии, не вызывая при этом электромагнитных помех. Он состоит из двух проводящих поверхностей, которые скручены на 180 ° и образуют ленту Мебиуса.
Полоса ленточного конвейера (транспортирующей машины непрерывного действия) сделана в форме ленты Мебиуса. Такая поверхность позволяет увеличить срок использования ленты, так как ее изнашивание будет происходить равномерно. Используют форму ленты Мебиуса и при записи на непрерывную пленку.
Лист Мебиуса применялся в матричных принтерах для продления срока годности красящей ленты.
На основе ленты Мебиуса создано абразивное кольцо в механизмах для заточки, работает автоматическая передача.
В настоящее время многие изобретатели пользуются свойствами данной ленты для проведения экспериментов и создания новых устройств.
Лента Мебиуса продолжает вызывать стойкий интерес, не только у математиков и изобретателей, но и у обычных людей. Она вдохновляет деятелей искусства на создание загадочных произведений и фантастических теорий. Эксперименты с этой интересной фигурой – увлекательное занятие, как для взрослого, так и для ребенка. Ее свойства нашли свое применение в науке, технике и в быту. Лента Мебиуса - это занимательная математическая загадка, скрывающая в себе смысл идеалистического понимания устройства Вселенной, ее воздействие на нашу жизнь можно изучать бесконечно.
Следующая загадка
Одним из самых простых и одновременно самых сложных и странных объектов является лента Мёбиуса. Несмотря на всю неординарность данной фигуры её с легкостью можно сделать самостоятельно и провести все эксперименты, которые описываются в этой статье.
Лента Мёбиуса – простейшая неориентируемая поверхность, которая является односторонней в трёхмерном пространстве. Её часто называют ещё поверхностью Мёбиуса и относят к непрерывным (топологическим) объектам.
Согласно легенде, немецкий астроном, математик и механик Август Фердинанд Мёбиус открыл этот объект после того, как служанка, работающая в его доме, сшила тканевую ленту в кольцо, перевернув по невнимательности один из ее концов. Увидев результат, вместо того, чтобы отругать незадачливую девушку Мёбиус произнес: «Ай да, Марта! Девочка не так уж глупа. Ведь это же односторонняя кольцевая поверхность. У ленточки нет изнанки!»
Изучив свойства ленты, Мёбиус написал о ней статью и отправил в Парижскую академию наук, но ее публикации так и не дождался. Его материалы были опубликованы уже после смерти математика, а необычная топологическая поверхность была названа в его честь.
Сделать ленту Мёбиуса очень просто: возьмите ленту ABCD, а после сверните таким образом, чтобы точки A и D соединились с B и C.
Изготовление Ленты Мёбиуса. Источник изображения: dollartree.info Изготовление Ленты Мёбиуса. Источник изображения: dollartree.infoПолучается обычная на первый взгляд фигура, которая имеет очень интересные свойства.
Необычные свойства ленты Мёбиуса
Односторонность
Все мы привыкли к тому, что у поверхностей всех объектов, с которыми мы сталкиваемся в реальном мире (например, листок бумаги) две стороны. Но поверхность ленты Мёбиуса односторонняя. Это легко можно проверить путем закрашивания ленты. Если взять карандаш и начать окрашивать ленту с любого места, не переворачивая, то в конечном итоге, лента окажется полностью закрашена.
«Если кто-то попробует раскрасить только одну сторону поверхности ленты Мёбиуса, то пусть лучше сразу погрузит ее в ведро с краской»,
Р. Курант и Г. Роббинс, «Что такое математика?»
Поверхность ленты Мёбиуса непрерывная
Непрерывность поверхности ленты Мёбиуса. Источник изображения: Непрерывность поверхности ленты Мёбиуса. Источник изображения:Это легко проверяется следующим образом: если в любом месте
на ленте поставить точку, то ее можно соединить с любой другой точкой на поверхности ленты, не пресекая края. Таким образом, получается, что поверхность этого объекта непрерывная.
У ленты Мёбиуса нет ориентированности
Если бы вы смогли пройти через всю ленту Мёбиуса, то в момент возвращения в начальную точку путешествия вы бы превратились в зеркальное отражение самого себя.
Если ленту разрезать вдоль посередине, то в таком случае получается всего одна лента, хотя логика говорит о том, что их должно быть две, а если разрезать, отступив от края на треть ширины ленты, то получится уже два кольца сцепленных вместе - маленькое и большое. Сделав затем продольный разрез малого кольца посередине, в итоге, получим два переплетенных кольца одинаковых в размере, но разных по ширине.
Практическое использование ленты Мёбиуса
Уже существует довольно много изобретений, основанных на свойствах этого необычного топологического объекта. Например, красящая лента в матричных принтерах, скрученная в ленту Мёбиуса, служит гораздо дольше, поскольку износ в этом случае происходит равномерно по всей ее поверхности. А скрученные в форме этого геометрического объекта лопасти кухонного миксера или бетоносмесителя снижают энергозатраты на 20%, и при этом качество полученной смеси улучшается.
Существует гипотеза, что полимер ДНК, представляющий собой двойную спираль, является фрагментом ленты Мёбиуса и по этой причине код ДНК так труден для расшифровки и понимания.
Некоторые физики, говорят о том, что оптические эффекты основаны на тех же свойствах, которыми обладает этот парадоксальный объект, так наше отражение в зеркале - это частный случай, одного из свойств ленты Мёбиуса.
Еще одна гипотеза, связанная этим математическим объектом - это то, что сама наша Вселенная, возможно, замкнута в такую ленту и у нее есть своя зеркальная копия. Поскольку, если все время двигаться в одном направлении по ленте Мёбиуса, то, в конце концов, окажемся в начальной точке нашего путешествия, но уже в своем зеркальном отображении.
Загадочная бутылка Клейна
На основе ленты Мёбиуса существует ещё одна удивительная фигура – бутылка Клейна. Она представляет с собой бутылку, у которой на дне есть отверстие. Горлышко бутылки удлинено и загнуто, проходя в одну из стенок самой бутылке.
Такую фигуру невозможно воспроизвести в обычном трехмерном пространстве, ведь горлышко не должно касаться стенки бутылки и соединено с отверстием в ее дне. Таким образом, получается поверхность, которая имеет всего одну сторону. Бутылка Клейна и лента Мёбиуса до сих пор привлекает внимание учёных, а также писателей.
А. Дейч в одном из своих рассказов писал о том, как однажды в Нью-Йоркском метро пути пересеклись и весь метрополитен стал напоминать ленту Мёбиуса, а электрички, идущие по путям, стали пропадать, вновь появляясь, только спустя несколько месяцев.
В книге Александра Митча «Игра в поддавки» герои попадают в пространство, которое напоминает бутылку Клейна.
Мир до сих пор остаётся для нас огромной загадкой, и кто знает, какие ещё причуды пространства откроют учёные в ближайшем будущем.
Известны ли вам какие-то другие объекты с необычными свойствами? Напишите об этом в комментариях.
Следующая загадка
1 слайд Описание слайда:
Лента Мёбиуса – загадка современности Муниципальное бюджетное образовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №28 города Пензы имени Василия Осиповича Ключевского Выполнил: Гафаров Батыр обучающийся 7А класса МБОУ СОШ №28 г.Пензы имени Василия Осиповича Ключевского Научный руководитель: Чепыжова Лариса Константиновна, учитель математики
2 слайд Описание слайда:
Топология Топология – это раздел математики, изучающий фигуры, которые сохраняют свои свойства при непрерывных деформациях, таких, например, как растяжение, сжатие или изгибание. Лист Мёбиуса является топологическим, то есть непрерывным объектом с простейшей односторонней поверхностью с границей в обычном Евклидовом пространстве (3-мерном), где возможно из одной точки такой поверхности, не пересекая края, попасть в любую другую. Математика – наук царица
3 слайд Описание слайда:
Август Фердинанд Мёбиус 1790-1868 Иоганн Бенедикт Листинг 1808 – 1882 автор термина «топология» и первых работ в этой области Математика – наук царица
4 слайд Описание слайда:
1 2 3 4 4 5 5 6 8 5 7 Математика – наук царица
5 слайд Описание слайда:
Мауриц Эшер Математика – наук царица
6 слайд Описание слайда:
Цель исследования: исследование поверхности ленты Мебиуса. Для достижения обозначенной цели были поставлены следующие задачи: познакомиться с историей появления ленты Мебиуса; выявить и исследовать свойства ленты Мебиуса; установить области применения ленты Мебиуса. В соответствии с обозначенными целями и задачами была сформулирована следующая гипотеза: если мы исследуем поверхность ленты Мебиуса, то сможем определить её свойства и практическое применение.
7 слайд Описание слайда:
Объект исследования: лента Мёбиуса. Предмет исследования: свойства ленты Мёбиуса. Методы исследования: анализ литературы по данной теме; сравнение (свойств обычного кольца и ленты Мёбиуса); обобщение; моделирование.
8 слайд Описание слайда:
Практическая значимость исследования определяется тем, что исследованные и описанные материалы могут быть использованы на факультативных и кружковых занятиях по математике. Материал работы будет полезен любителям математики для расширения математического кругозора. Научная новизна исследования заключается в изучении и подробном описании свойств ленты Мёбиуса. Метапредметный характер исследовательской работы обусловлен повышенным вниманием к изучению листа Мёбиуса в математике, физике, астрономии, архитектуре, литературе и т.д. Математика – наук царица
9 слайд Описание слайда:
10 слайд Описание слайда:
Свойства листа Мёбиуса Односторонность
11 слайд Описание слайда:
Непрерывность На листе Мёбиуса любая точка может быть соединена с любой другой точкой и при этом ни разу не придётся переходить через край “ленты”. Разрывов нет – непрерывность полная.
12 слайд Описание слайда:
Связность Лист Мёбиуса двусвязен, т.к. если разрезать его вдоль, он превратится не в два отдельных кольца, а в одну целую ленту. А что случится, если разрезать посередине лист Мёбиуса по всей длине на два кольца половинной ширины? Получили кольцо, перекрученное два раза
13 слайд Описание слайда:
№ опыта Описание опыта Результат 1 Простое кольцо разрезала по середине вдоль. Получиладвапростых кольца, такой же длины, шириной в два раза уже, с двумя границами. 2 Лента Мёбиуса разрезала по середине вдоль. Получила1 кольцо, длина которого в два раза больше, ширина в два раза уже, перекручено на 1 полный оборот, с одной границей. 3 Лента Мёбиуса шириной 5см разрезала вдоль на расстоянии 1см от края. Получила два сцепленных друг с другом кольца: 1) лента Мёбиуса - длина = длине исходного, ширина 4см ; 2) ширина 1см, длина в два раза больше исходного перекручена на два полных оборота, с двумя границами. 4 Лента Мёбиуса шириной 5см разрезала вдоль на расстоянии 2см от края. Получила два сцепленных друг с другом кольца: 1) кольцо – лента Мёбиуса шириной 3см, длина = длине исходного; 2) кольцо - ширина 2см, в два раза длиннее исходного перекрученного на два полных оборота, с двумя границами. 5 Лента Мёбиуса шириной 5см, разрезала вдоль на расстоянии 3см, от края. Получила два сцепленных друг с другом кольца:1) кольцо – лента Мёбиуса шириной 2см такой же длины; 2) кольцо – шириной 3см длина его в два раза больше исходного перекручена на два полных оборота. 6 Лента Мёбиуса шириной 5см. разрезала вдоль на расстоянии 4см, от края. Получила два сцепленных друг с другом кольца: 1) кольцо - лента Мёбиуса 1см длина = длине исходного; 2) кольцо шириной 4 см, длина в два раза больше исходного, перекручена на два полных оборота, с двумя границами. 7 На обеих сторонах бумажной ленты провела две пунктирные линии, на равном расстоянии друг от друга, склеили лента Мёбиуса, разрезала вдоль пунктирных линий. Получила два сцепленных друг с другом кольца: 1) кольцо - в два раза длиннее исходного, ширина в три раза меньше; исходного, два раза перекрученное; 2) кольцо - лента Мёбиуса длина = длине исходного, ширина в три раза меньше исходного, с двумя границами.
14 слайд
Читайте также: