Вероятность что случайная величина примет значение
Обновлено: 21.12.2024
Случайная величина(дискретная) - это функция из множества элементарных исходов в множество вещественных не отрицательных чисел. Множество элементарных исходов должно быть конечным или счётным множеством чисел.
Случайной величиной является число очков, выпавших при бросании игральной кости(она принимает значения из дискретного числового множества M=
Если [math]y[/math] — случайная величина, то функция [math]F(x) = Fy (x) = P(y = x)[/math] называется функцией распределения случайной величины [math]y[/math] . Здесь [math]P(y = x)[/math] — вероятность того, что случайная величина [math]y[/math] принимает значение [math]x[/math] .
Если [math]y[/math] — дискретная случайная величина, принимающая значения [math]x_1 \lt x_2 \lt \dots \lt x_i \lt \dots[/math] с вероятностями [math]p_1 \lt p_2 \lt \dots \lt p_i \lt \dots[/math] , то таблица вида
Математи́ческое ожида́ние — мера среднего значения случайной величины в теории вероятностей. Если [math]X[/math] — Дискретное распределение, имеющая Распределение вероятности О непрерывной случайной величине (НСВ) я неоднократно упоминал в предыдущих статьях, и поэтому, если вы зашли с поисковика и/или не совсем в теме, то начните с первого урока о случайных величинах. После чего продолжаем и сразу вспоминаем разницу: – В отличие от дискретной случайной величины, НСВ может принять любое действительное значение из некоторого промежутка ненулевой длины, что делает невозможным её представление в виде таблицы (т.к. действительных чисел несчётно много). В этой связи непрерывную случайную величину задают функциями двух типов, названия которых вы видите в заголовке. Функция распределения непрерывной случайной величины определяется точно так же, как и функция распределения ДСВ: – вероятность того, что случайная величина примет значение, МЕНЬШЕЕ, чем переменная , которая «пробегает» все значения от «минус» до «плюс» бесконечности. Таким образом, учитываются все значения, которые В ПРИНЦИПЕ может принять произвольная случайная величина. С увеличением функция распределения «накапливает» (суммирует) вероятности, а значит, является неубывающей и изменяется в пределах . По этой причине её иногда называют интегральной функцией распределения. Важной особенностью является тот факт, что функция распределения ЛЮБОЙ непрерывной случайной величины всегда и всюду непрерывна! Часто её можно встретить в кусочном виде, например: однако в точках «стыка» всё хорошо: и если там разрыв, то вы имеете дело с опечаткой или откровенной ошибкой! ! Но сама по себе непрерывность и ноль слева, единица справа – ещё не означают, что перед нами функция распределения.
При ручном построении чертежа целесообразно найти опорные точки; в нашем примере удобно взять: и плавно-плавно провести карандашом кусочек параболы : Что касаемо масштаба, то смотрим по ситуации, чаще всего оптимальный масштаб составляет 1 ед. = 1 см (две клетки), но поскольку я строю графики не от руки, то особо не слежу за пропорциями – в данном случае по оси ординат вышло примерно в 2 раза больше, чем по оси абсцисс. Теперь вернёмся к смыслу функции распределения и рассмотрим пару конкретных «икс»: – вероятность того, что случайная величина примет значение, МЕНЬШЕЕ, чем –1; – вероятность того, что случайная величина примет значение, МЕНЬШЕЕ, чем 4. Ну, и очевидно, что рассматриваемая случайная величина принимает случайные, наперёд неизвестные значения из отрезка . Если вкладывать в задачу содержательный смысл, то это может быть случайная продолжительность некоего процесса (в секундах, например), или масса либо размер случайно выбранного объекта (например, крупинки песка). И тому подобное – примеров масса. Конкретные задачи непременно будут, но прежде остановимся на технической стороне вопроса. Вероятность того, что случайная величина примет значение из некоторого промежутка рассчитывается ещё проще, чем для дискретной случайной величины. Здесь нет никакой Санта-Барбары: отрезок ли нам дан, полуинтервал или интервал , соответствующую вероятность можно вычислить по единой формуле: Примечание: в следующем параграфе мы обоснуем это утверждение Например: – вероятность того, что случайная величина примет значение из отрезка ; – вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала ; Наверное, вы подметили, что на участках одинаковой длины результаты получились разными: . И возникает вопрос: как оценить эту «концентрацию» вероятностей на различных промежутках? – ведь функция распределения характеризует накопление вероятностей по мере увеличения , и много раз вычислять что-то неохота. Эффективный ответ на поставленный вопрос даёт функция ПЛОТНОСТИ распределения вероятностейили дифференциальная функция распределения. Она представляет собой производную функции распределения: . Примечание: для дискретной случайной величины такой функции не существует В нашем примере: То есть, всё очень просто – берём производную от каждого куска, и порядок. Но настоящий порядок состоит в том, что несобственный интеграл от с пределами интегрирования от «минус» до «плюс» бесконечности: Проверим «подлинность» наших функций. Если случайная величина принимает значения из конечного промежутка, то всё дело сводится к вычислению определённого интеграла. В силу свойства аддитивности:
Совершенно понятно, что левый и правый интегралы равны нулю и нам осталось вычислить: Теперь разберём весьма любопытный факт: поскольку действительных чисел несчётно много, то вероятность того, что случайная величина примет какое-то конкретное значение стремится к нулю. И поэтому вероятности рассчитывают не для отдельно взятых точек, а для целых промежутков (пусть даже очень малых). Как вы правильно догадались: (красная площадь) – вероятность того, что случайная величина примет значение из отрезка . По той причине, что отдельно взятые значения можно не принимать во внимание, с помощью этих же интегралов рассчитываются и вероятности по интервалам / полуинтервалам, в частности: Этим же объяснятся аналогичная «вольность» с функцией . Возможно, кто-то спросит: а зачем считать интегралы, если есть функция ? А дело в том, что во многих задачах непрерывная случайная величина ИЗНАЧАЛЬНО задана функцией плотности распределения, которая ТОЖЕ однозначно определяет случайную величину. Но, как вариант, можно сначала найти функцию (с помощью тех же интегралов), после чего использовать «лёгкий способ» Непрерывная случайная величина задана своей функцией распределения: Найти значения и функцию . Проверить, что действительно является функцией плотности распределения. Вычислить вероятности . Построить графики . Тренируемся самостоятельно! Если возникнут затруднения, то внимательно перечитайте вышеизложенный материал. Краткое решение и ответ в конце урока. Вообще, типовые задачи на непрерывную случайную величину можно разделить на 2 большие группы: 1) когда дана функция , 2) когда дана функция . В первом случае не составляет никаких трудностей отыскать функцию плотности распределения – почти всегда производные не то что простЫ, а примитивны (в чём мы недавно убедились). Но вот когда НСВ задана функцией , то нахождение функции распределения – есть более кропотливый процесс: Непрерывная случайная величина задана функцией плотности распределения: Найти значение и составить функцию распределения вероятностей. Вычислить . Построить графики . Решение: найдём константу . Это классика. В подавляющем большинстве задач вам не предложат готовую функцию плотности. Используем свойство . В данном случае: На практике нулевые интегралы можно опускать, а константу сразу выносить за знак интеграла: Пользуясь чётностью подынтегральной функции, вычислим: Таким образом, функция плотности распределения: Выполним проверку, а именно, вычислим тот же самый интеграл, но уже с известной константой. Для разнообразия я не буду пользоваться чётностью: Обратите внимание, что только при – и только при этом значении, предложенная в условии функция является функцией плотности распределения. Ну и тут не лишним будет проконтролировать, что на интервале , т.е. условие неотрицательности выполнено. Доверяй условию, да проверяй ;) Не раз и не два мне встречались функции, которые в принципе не могли быть плотностью, что говорило об опечатках или о невнимательности авторов задач. Теперь начинается самое интересное. Функция распределения вероятностей – есть интеграл: Так как наша состоит из трёх кусков, то решение разобьётся на 3 шага: 1) На промежутке , поэтому: 2) На интервале , и мы прицепляем следующий вагончик: При подстановке верхнего предела интегрирования можно считать, что вместо «икс» мы подставляем «икс». Если же возник вопрос с пределом нижним, то вспоминаем график синусоиды или нечётность синуса с тригонометрической таблицей. 3) И, наконец, на , и детский паровозик отправляется в путь: ! А вот в этом задании нулевые интегралы пропускать НЕ НАДО. Чтобы показать своё понимание функции распределения ;) К тому же, они могут оказаться вовсе не нулевыми, и тогда придётся иметь дело с интегралами несобственными. Соответствующие примеры я обязательно разберу ниже. Записываем наши достижения под единую скобку: С высокой вероятностью всё правильно, но, тем не менее, устно возьмём производную , а также «прозвоним» точки «стыка»: Правильность решения можно проконтролировать и в ходе построения графика, но, во-первых, он не всегда требуется, а во-вторых, до сего момента можно успеть «наломать дров». Ибо вероятности попадания в интервал чаще находят с помощью функции распределения: – вероятность того, что случайная величина примет значение из промежутка Но ценители интегрального исчисления, конечно же, не откажут себе в удовольствии:
Выполним чертежи. График представляет собой Значение численно равно заштрихованной площади – это я специально сделал, чтобы напомнить вероятностный смысл функции плотности. И вся площадь под «дугой» равна единице, то есть, достоверным является тот факт, что случайная величина примет значение из интервала . Заметьте, что значения , согласно условию, невозможны.
Осталось изобразить функцию распределения. График представляет собой сжатую в 2 раза вдоль оси ординат синусоиду, сдвинутую на вверх: Чертежи желательно расположить так, чтобы оси ординат лежали ровненько одна под другой. Это будет хорошим тоном. И я так чувствую, вам уже не терпится проверить свои силы. Как водится, пример попроще: Задана плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины : Требуется: и задачка поинтереснее: Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения вероятностей: Найти значение и построить график плотности распределения. Найти функцию распределения вероятностей и построить её график. Вычислить вероятность . Дерзайте! Свериться с решением можно внизу страницы. И в заключение 1-й части урока обещанные случаи с несобственными интегралами: Непрерывная случайная величина задана своей плотностью распределения: Найти коэффициент и функцию распределения . Построить графики. Решение: по свойству функции плотности распределения: В данной задаче состоит из 2 частей, поэтому: Правый интеграл равен нулю, а вот левый – есть «живой» несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом: Таким образом, наше уравнение превратилось в готовый результат: Функция , как нетрудно понять, отыскивается в 2 шага: 1) На промежутке , следовательно: 2) На интервале и:
Для построения графиков найдём пару опорных точек: и аккуратно прочертим кусочки экспонент с причитающимися дополнениями: Ещё более интересное задание для самостоятельного изучения: Проверить, что является функцией плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины. Найти и выполнить чертежи. Здесь случайная величина теоретически принимает вообще ВСЕ действительные значения, т.к. определена при любом «икс». В ходе проверки на плотность удобно использовать чётность подынтегральной функции в несобственном интеграле, а для нахождения самого интеграла нужно представить и избавиться от трёхэтажности дроби. Самостоятельно выясните, как будут выглядеть графики – статья об асимптотах в помощь. Жду вас во 2-й части урока, посвящённой числовым характеристикам НСВ. Постарайтесь освоить её как можно скорее – по «горячим» знаниям и навыкам! Решения и ответы: Пример 1. Решение: в силу непрерывности функции распределения: Найдём функцию плотности распределения: Покажем, что действительно является функцией плотности: Требуемые вероятности выгоднее вычислить с помощью функции распределения:
Построим графики : Пример 3. Решение: 2) Функцию распределения найдём с помощью формулы :
3) Выполним чертежи: Пример 4. Решение: функция плотности распределения вероятности обладает свойством . В данном случае: Пример 6. Решение: проверим, что функция является функцией плотности: Найдём функцию распределения:
Выполним чертёжи: Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
«Всё сдал!» — онлайн-сервис помощи студентам 1. Формирование представление о случайной величине, дискретных и непрерывных случайных величинах. 2. Знакомство с законом распределения дискретной случайной величины, функцией распределения и плотностью распределения непрерывной случайной величины, числовых характеристиках случайных величин. 1. Виды случайных величин. 2. Закон распределения дискретной случайной величины. 3. Функция распределения вероятностей случайной величины. 4. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины. 5. Математическое ожидание. 6. Дисперсия и среднеквадратическое отклонение. 1. Виды случайных величин. Случайной величиной называется такая величина, которая случайно принимает какое-то значение из множества возможных значений. Случайные величины обозначаются: X , Y , Z . Значения, которые они принимают: x , y , z . По множеству возможных значений различают дискретные и непрерывные случайные величины. Дискретными называются случайные величины, значениями которых являются только отдельные точки числовой оси. (Число их может быть как конечно, так и бесконечно). Пример: Число родившихся девочек среди ста новорожденных за последний месяц- это дискретная случайная величина, которая может принимать значения 1,2,3,… Непрерывными называются случайные величины, которые могут принимать все значения из некоторого числового промежутка. Пример: Расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле- это непрерывная случайная величина, значения которой принадлежат некоторому промежутку [а; в]. 2. Закон распределения дискретной случайной величины. Дискретную случайную величину Х можно характеризовать законом распределения . Закон распределения дискретной случайной величины- это соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями. Закон распределения можно задать таблично, аналитически, графически. При задании закона распределения таблично, в первую строку таблицы вносятся возможные значения случайно величины, а во вторую- их вероятности. Пример: Монету подбросили 3 раза. Запишите закон распределения числа выпадения «герба». Возможные значения данной случайной величины: 0, 1, 2, 3. Найдем вероятность того, что «герб» не появится (0 раз). Найдем вероятность того, что «герб» появится 1 раз. Найдем вероятность того, что «герб» появится 2 раза. Найдем вероятность того, что «герб» появится 3 раза. Тогда закон распределения данной дискретной случайной величины можно представить таблицей: Для наглядности закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки с координатами (xi ; pi), а затем соединяют их отрезками прямых. Полученная фигура называется многоугольником распределения. Однако, такой способ задания (перечисление всех возможных значений случайной величины и их вероятностей) не подходит для непрерывных случайных величин. Составить перечень их возможных значений невозможно. 3. Функция распределения вероятностей случайной величины. Дадим новый способ задания любых типов случайных величин. С этой целью введем функцию распределения вероятностей случайной величины. Функцией распределения случайной величины называют функцию F ( x ), определяющую вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение меньшее х, т.е. F ( x )< P ( X < x ). Геометрически это равенство можно истолковать так: F ( x ) –есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х. Иногда вместо термина «функция распределения» используется термин «интегральная функция». Свойства функции распределения: Свойство 1: Значения функции распределения принадлежат интервалу [0; 1]: . Свойство 2: F ( x )- неубывающая функция, т.е. при . Следствие 1: Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (а; b ), равна приращению функции распределения на этом интервале: Пример: Случайная величина Х задана функцией распределения: Найдите вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащее интервалу (0; 2). Следствие 2: Свойство 3: Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу ( a ; b ), то F ( x )=0 при (т.к. ; F ( x )=1 при (т.к. - достоверное событие. Следствие: Если возможные значения непрерывной случайной величины распределены на всей числовой оси, то справедливы следующие предельные соотношения: Рассмотренные выше свойства позволяют представить, как выглядит график функции распределения непрерывной случайной величины. График расположен в полосе, ограниченной прямыми у=0, у=1 (1 свойство). 4. При возрастании значения х в интервале ( a ; b ), в котором заключены все возможные значения случайной величины, график растет вверх (2 свойство). 5. При ординаты графика равны 0, при ординаты графика равны 1 (3 свойство). Замечание: График функции распределения дискретной случайной величины имеет ступенчатый вид. Пример: Дискретная случайная величина Х задана таблицей распределения: Найдите функцию распределения и постройте ее график. Итак, функция распределения имеет следующий вид: 4. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины. Непрерывную случайную величину можно также задать, используя другую функцию, которую называют плотностью распределения или плотностью вероятности (дифференциальной функцией). Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют функцию f ( x )- первую производную от функции распределения F ( x ). Теорема: Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу ( a ; b ), равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от а до b . Пример: Задана плотность вероятностей случайной величины Х. Найдите вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащее интервалу (0,5; 1). Свойства плотности распределения вероятностей: Свойство 1: Плотность распределения- неотрицательная функция: f ( x ) > 0. Свойство 2: Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от равен 1: . Геометрический смысл этого свойства заключается в следующем: площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью ОХ и кривой распределения, равна 1. В частности, если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу ( a ; b ), то . Часто, для того чтобы характеризовать случайную величину используют числа, которые описывают случайную величину суммарно. Такие числа называются числовыми характеристиками случайной величины. К числу важнейших числовых характеристик относятся математическое ожидание и дисперсия. 5. Математическое ожидание. Математическое ожидание приближенно равно среднему значению случайной величины. Например, если известно, что математическое ожидание числа выбиваемых очков у первого стрелка больше, чем у второго, то первый стрелок в среднем выбивает больше очков, чем второй, и следовательно стреляет лучше. Математическое ожидание дискретной случайной величины Х- это величина , где xi- значения случайной величины, pi- их вероятности, n - число возможных значений случайной величины. Пример: Найдите математическое ожидание, зная закон распределения дискретной случайной величины.
Тема непростая, но если вы собираетесь поступать на факультет, где нужны базовые знания высшей математики, освоить материал — must have. Тем более, все формулы по теории вероятности пригодятся не только в универе, но и при решении 4 задания на ЕГЭ. Начнем! Основные понятияФранцузские математики Блез Паскаль и Пьер Ферма анализировали азартные игры и исследовали прогнозы выигрыша. Тогда они заметили первые закономерности случайных событий на примере бросания костей и сформулировали теорию вероятностей. Когда мы кидаем монетку, то не можем точно сказать, что выпадет: орел или решка. Но если подкидывать монету много раз — окажется, что каждая сторона выпадает примерно равное количество раз. Из чего можно сформулировать вероятность: 50% на 50%, что выпадет «орел» или «решка». Теория вероятностей — это раздел математики, который изучает закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними. Вероятность — это степень возможности, что какое-то событие произойдет. Если у нас больше оснований полагать, что что-то скорее произойдет, чем нет — такое событие называют вероятным. Ну, скажем, смотрим на тучи и понимаем, что дождь — вполне себе вероятное событие. А если светит яркое солнце, то дождь — маловероятное или невероятное событие. Случайная величина — это величина, которая в результате испытания может принять то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно. Случайные величины можно разделить на две категории:
Вероятностное пространство — это математическая модель случайного эксперимента (опыта). Вероятностное пространство содержит в себе всю информацию о свойствах случайного эксперимента, которая нужна, чтобы проанализировать его через теорию вероятностей. Вероятностное пространство — это тройка (Ω, Σ, Ρ) иногда обрамленная угловыми скобками: ⟨ , ⟩ , где
Формулы по теории вероятностиТеория вероятности изучает события и их вероятности. Если событие сложное, то его можно разбить на простые составные части — так легче и быстрее найти их вероятности. Рассмотрим основные формулы теории вероятности. Случайные события. Основные формулы комбинаторики
Классическое определение вероятностиВероятностью события A в некотором испытании называют отношение: P (A) = m/n, где n — общее число всех равновозможных, элементарных исходов этого испытания, а m — количество элементарных исходов, благоприятствующих событию A
Таким образом, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству: Пример 1. В пакете 15 конфет: 5 с молочным шоколадом и 10 — с горьким. Какова вероятность вынуть из пакета конфету с белым шоколадом? Так как в пакете нет конфет с белым шоколадом, то m = 0, n = 15. Следовательно, искомая вероятность равна нулю: Неприятная новость для любителей белого шоколада: в этом примере событие «вынуть конфету с белым шоколадом» — невозможное. Пример 2. Из колоды в 36 карт вынули одну карту. Какова вероятность появления карты червовой масти? Количество элементарных исходов, то есть количество карт равно 36 (n). Число случаев, благоприятствующих появлению карты червовой масти (А) равно 9 (m). Геометрическое определение вероятностиГеометрическая вероятность события А определяется отношением: P(A)= m(A)/m(G), где m(G) и m(A) — геометрические меры (длины, площади или объемы) всего пространства элементарных исходов G и события А соответственно Чаще всего, в одномерном случае речь идет о длинах отрезков, в двумерном — о площадях фигур, а в трехмерном — об объемах тел. Пример. Какова вероятность встречи с другом, если вы договорились встретиться в парке в промежутке с 12.00 до 13.00 и ждете друг друга 5 минут?
У нас есть отличное онлайн обучение по математике для учеников с 1 по 11 классы, записывайся на пробное занятие! Сложение и умножение вероятностей
Теорема о сложении вероятностей звучит так: вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: P(A + B) = P(A) + P(B) Эта теорема справедлива для любого числа несовместных событий: Если случайные события A1, A2. An образуют полную группу несовместных событий, то справедливо равенство:
Произведением событий А и В называется событие АВ, которое наступает тогда, когда наступают оба события: А и В одновременно. Случайные события А и B называются совместными, если при данном испытании могут произойти оба эти события. Вторая теорема о сложении вероятностей: вероятность суммы совместных событий вычисляется по формуле: P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB) События событий А и В называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет. Теорема об умножении вероятностей: вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле: P(AB) = P(A) * P(B) Пример. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятности того, что формула содержится в первом, втором и третьем справочниках равны 0,6; 0,7 и 0,8. Найдем вероятности того, что формула содержится:
А — формула содержится в первом справочнике; В — формула содержится во втором справочнике; С — формула содержится в третьем справочнике. Воспользуемся теоремами сложения и умножения вероятностей. Ответ: 1 — 0,188; 2 — 0,452; 3 — 0,336. Формула полной вероятности и формула БайесаЕсли событие А может произойти только при выполнении одного из событий B1, B2, . Bn, которые образуют полную группу несовместных событий — вероятность события А вычисляется по формуле полной вероятности: Вновь рассмотрим полную группу несовместных событий B1, B2, . Bn, вероятности появления которых P(B1), P(B2), . P(Bn). Событие А может произойти только вместе с каким-либо из событий B1, B2, . Bn, которые называются гипотезами. Тогда по формуле полной вероятности: если событие А произошло — это может изменить вероятности гипотез P(B1), P(B2), . P(Bn). По теореме умножения вероятностей: Аналогично, для остальных гипотез: Эта формула называется формулой Байеса. Вероятности гипотез называются апостериорными вероятностями, тогда как — априорными вероятностями. Пример. Одного из трех стрелков вызывают на линию огня, он производит два выстрела. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,3, для второго — 0,5; для третьего — 0,8. Мишень не поражена. Найти вероятность того, что выстрелы произведены первым стрелком.
Формула БернуллиПри решении вероятностных задач часто бывает, что одно и тоже испытание повторяется многократно, и исход каждого испытания независит от исходов других. Такой эксперимент называют схемой повторных независимых испытаний или схемой Бернулли. Примеры повторных испытаний:
Итак, пусть в результате испытания возможны два исхода: либо появится событие А, либо противоположное ему событие. Проведем n испытаний Бернулли. Это означает, что все n испытаний независимы. А вероятность появления события А в каждом случае постоянна и не изменяется от испытания к испытанию.
p = P(A), а вероятность противоположного события (событие А не наступило) - буквой q Биномиальное распределение — распределение числа успехов (появлений события). Пример. Среди видео, которые снимает блогер, бывает в среднем 4% некачественных: то свет плохой, то звук пропал, то ракурс не самый удачный. Найдем вероятность того, что среди 30 видео два будут нестандартными. Опыт заключается в проверке каждого из 30 видео на качество. Событие А — это какая-то неудача (свет, ракурс, звук), его вероятность p = 0,04, тогда q = 0,96. Отсюда по формуле Бернулли можно найти ответ: Ответ: вероятность плохого видео приблизительно 0,202. Блогер молодец🙂 Наивероятнейшее число успеховБиномиальное распределение ( по схеме Бернулли) помогает узнать, какое число появлений события А наиболее вероятно. Формула для наиболее вероятного числа успехов k (появлений события) выглядит так: np - q ≤ k ≤ np + p, где q=1−p Так как np−q = np + p−1, то эти границы отличаются на 1. Поэтому k, являющееся целым числом, может принимать либо одно значение, когда np целое число (k = np), то есть когда np + p (а отсюда и np - q) нецелое число, либо два значения, когда np - q целое число. Пример. В очень большом секретном чатике сидит 730 человек. Вероятность того, что день рождения наугад взятого участника чата приходится на определенный день года — равна 1/365 для каждого из 365 дней. Найдем наиболее вероятное число счастливчиков, которые родились 1 января.
Формула ПуассонаПри большом числе испытаний n и малой вероятности р формулой Бернулли пользоваться неудобно. Например, 0.97 999 вычислить весьма затруднительно. В этом случае для вычисления вероятности того, что в n испытаниях событие произойдет k раз, используют формулу Пуассона:
|