Найти вероятность того что случайная величина х примет значение из интервала

Обновлено: 14.11.2024

Найдём – вероятность того, что случайная величина примет какое-нибудь значение из интервала .

И здесь я сформулирую практическое правило: если оба конца и промежутка не «попадают» в точки разрыва функции , то следующие вероятности: , можно найти по единой формуле:

В данном случае концы интервала (–1 и 5) находятся в области непрерывности функции распределения поэтому: .
И действительно, на данном интервале находятся значения , вероятности появления которых: .
Вычислим вероятность . Оба конца этого промежутка не «попадают» в точки разрыва, поэтому:
– вероятность того, что случайная величина примет значение из данного промежутка. И в самом деле – на нём находится единственное значение , которое может появиться с вероятностью .

Та же самая история с – единственное, тут левый конец промежутка равен «минус» бесконечности:
– самостоятельно проанализируйте, какие значения , и с какими вероятностями располагаются на промежутке

Теперь более занятная ситуация, где нужно особо включать голову: если хотя бы один из концов промежутка «попадает» в точку разрыва функции , то указанную выше формулу можно использовать лишь в одном случае из четырёх, а именно для неравенства:

Примечание: если , то левое неравенство становится строгим, но формула тоже применима.

Найдём . Как быть? – под правило не подходит! Вспоминаем теоремы тервера. По теореме сложения вероятностей несовместных событий:

– вероятность того, что случайная величина примет значение из отрезка .
И действительно, этот отрезок включает в себя два значения , которые появляются с вероятностями .

Тут же рассмотрим три других неравенства:
, т.к. на интервале нет значений случайной величины. Да-да, так и пишем.

– это «штатный» случай (см. правило).

– поскольку там нет значений случайной величины.

Кстати, случай с нестрогим неравенством – есть «штатный» случай:
, который можно оформить и так:
– ведь на функции распределения «свет клином не сошёлся».
И, наконец, типовая вероятность – того, что значение случайной величины отклонится от своего математического ожидания не более чем на одно среднее квадратическое отклонение. И, как вы догадываетесь, эти характеристики нужно вычислить. Но на самом деле не нужно, поскольку они уже рассчитаны в Задаче 87:

Раскрываем модуль:

подставляем конкретные значения и пользуемся тем фактом, что они не «попадают» в точки разрыва функции распределения:

Напоминаю, что в типичном случае на интервале или вблизи него «сконцентрированы» наиболее вероятные значения случайной величины. Так сказать, «центр событий».

Ответ:

Аналогичное задание для самоконтроля, весь трафарет приведён выше:

Задача 94
Составить функцию распределения случайной величины

Выполнить чертёж. Найти вероятности следующих событий:

Подумайте над рациональным масштабом графика. Если возникают сомнению с нахождением вероятностей, помните – их всегда можно пересчитать вручную, просто посмотрев на исходную табличку.

Решение и ответ там, где обычно.

И не успел я запостить этот материал на сайте (давно это было J), как от читателей стали поступать просьбы включить в статью контрольный пример. Я даже прослезился (прямо как тот профессор), и, конечно же, не смог вам отказать:

Полную и свежую версию этой книги в pdf-формате ,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

Задание 2. Найти дисперсию случайной величины X , заданной интегральной функцией.

Задание 3. Найти математическое ожидание случайной величины Х заданной функцией распределения.

Задача. Функция распределения некоторой непрерывной случайной величины задана следующим образом:

Найдем функцию плотности распределения, как производную от функции распределения.
F′=f(x)=a
Зная, что найдем параметр a :

или 3a=1, откуда a = 1/3
Параметр b найдем из следующих свойств:
F(4) = a*4 + b = 1
1/3*4 + b = 1 откуда b = -1/3
Следовательно, функция распределения имеет вид: F(x) = (x-1)/3

Математическое ожидание.

1 /₉•4 3 - ( 1 /₉•1 3 ) - ( 5 /₂) 2 = 3 /₄
Найдем вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале [2,3]
P(2 < x< 3) = F(3) – F(2) = (1/3*3 - 1/3) - (1/3*2 - 1/3) = 1/3

Определить коэффициент A .
найти функцию распределения F(x) .
схематично построить графики F(x) и f(x) .
найти математическое ожидание и дисперсию X .
найти вероятность того, что X примет значение из интервала (2;3).

Случайная величина Х задана плотностью распределения f(x):

Найдем параметр A из условия:

Функцию распределения можно найти по формуле.

Математическое ожидание находится по следующей формуле:

Дисперсия выражена формулой:

3 /₄₉•4 7/ ₂ - ( 3 /₄₉•1 7/ ₂) - ( 93 /₃₅) 2 = 876 /₁₂₂₅
Вероятность того, что X примет значение из интервала (2;3):

Пример №2 . Случайная величина X задана функцией распределения F(x). Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины. Схематично построить графики функций F(x) и f(x).

Пример №2 . Функция распределения CB X имеет вид:

Найти вероятность того, что случайная величина окажется в интервале (3,6). (см. свойства F (x)).

Решение:
P(3 < x < 6) = F(6) – F(3) = F(x>5) – F(3) = 1 – 3 2 /26 = 1 – 9/26 = 17/26

Пример №3 . Средний процент выполнения плана некоторыми предприятиями составляет 106% , среднее квадратическое отклонение 9% . Полагая, что выполнение плана этой группой предприятий подчиняется нормальному закону, определить процент предприятий, не выполняющих план.
Решить задачу при условии, что требуется определить процент предприятий, выполняющих план от 105% до 120% .

Решение:
а) Чтобы определить процент предприятий, не выполняющих план, необходимо найти P(X < 106) = 1 - Ф(105/9) = 0.5.
б) Здесь a = 106, α=105, β = 120, σ = 9.

И для дискретной, и для непрерывной случайной величины она определяется одинаково:

, где – вероятность того, что случайная величина примет значение, МЕНЬШЕЕ, чем переменная , которая«пробегает» все действительные значения от «минус» до «плюс» бесконечности.

Построим функцию распределения для нашей подопытной игры:

Начинаем разбираться. Чему, например, равно значение ? Это вероятность того, что выигрыш будет меньше, чем –20. И это невозможное событие: . Совершенно понятно, что и для всех «икс» из интервала , а также для . Почему? По определению функции распределения:
– вы согласны? Функция возвращает вероятность того, что в точке выигрыш будет СТРОГО МЕНЬШЕ «минус» пяти.

Таким образом: , если .
На интервале функция , поскольку левее любой точки этого интервала есть только одно значение случайной величины, которое появляется с вероятностью 0,5. Кроме того, сюда же следует отнести точку , так как:
– очень хорошо осознайте этот момент!

Таким образом, если , то

Далее рассматриваем промежуток . СТРОГО ЛЕВЕЕ любой точки этого промежутка находятся два выигрыша , поэтому:

И, наконец, если , то , ибо все значения случайной величины лежат СТРОГО левее любой точки интервала

Заметим, кстати, важную особенность: коль скоро функция характеризует вероятность, то она может принимать значения лишь из промежутка – и никакие другие!

Итак, функция распределения вероятностей ДСВ является кусочной и, как многие знают, в таких случаях принято использовать фигурные скобки:

График данной функции имеет разрывный «ступенчатый» вид:

Причём, функция или её график однозначно определяют сам закон распределения: в точке высота «ступеньки» (разрыв) составляет (следим по графику), в точке «скачок» разрыва равен и, наконец, в точке он равен в точности .
Таким образом, функция распределения вероятностей – это ещё один способ ЗАДАТЬ случайную величину. И этот способ особо важен для непрерывной случайной величины – по той причине, что её невозможно описать таблицей (ввиду бесконечного и несчётного количества принимаемых значений). Однако, всему своё время, и НСВ – тоже.

Освоим технические моменты решения типовой задачи:

Задача 93
Построить функцию распределения случайной величины

Найти вероятности того, что случайная величина примет значение из следующих промежутков:

Решение: На практике удобно использовать формальный алгоритм построения функции распределения:

Сначала берём первое значение и составляем нестрогое неравенство . На этом промежутке .

На промежутке (между и ):

И, наконец, если строго больше самого последнего значения , то:

Легко заметить, что с увеличением «икс» идёт накопление (суммирование) вероятностей, и поэтому функцию иногда называют интегральной функцией распределения. В практических задачах проведённые выше действия обычно выполняют устно, а результат сразу записывают под единую скобку:

Выполним чертёж:

и проконтролируем правильность решения с помощью «скачков» графика: в точке «скачок» равен , в точке составляет , в точке равен , и, наконец, в точке – .

При выполнении чертежа от руки оптимален следующий масштаб:
горизонтальная ось: 1 ед. = 2 или 1 тетрадная клетка;
вертикальная ось: 0,1 = 1 тетрадная клетка.

На левых концах ступенек (кроме нижнего луча) можно ставить выколотые точки – дело вкуса. Левый нижний луч следует прочертить жирно (чтобы он не сливался с координатной осью) и до конца оси! Правая верхняя линия не должна заканчиваться раньше острия оси! Такие оплошности могут говорить о непонимании функции распределения, а это, как вы понимаете, скверно. То было ручное построение. Ну а о том, как строить такие красивые графики в Экселе можно узнать в этом ролике на Ютубе, к слову, полигон (многоугольник) распределения строится ещё проще.

Переходим ко второй части задания, её коротко можно сформулировать так:

Полную и свежую версию этой книги в pdf-формате ,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

Читайте также: