Притча об ахиллесе и черепахе

Обновлено: 14.11.2024

В ныне далеком 2015 году, я уже приводил разъяснение по этой апории в своей весьма пространной работе под названием «Про апории Зенона - о философском, доступно». И казалось бы, на этом и успокоиться, но сейчас я специально перетряс весь Интернет, а «воз и ныне там»!
А между тем, апория про Ахиллеса и черепаху имеет весьма краткое, понятное и изящное решение!
Сейчас, для тех, кто не в курсе, я приведу собственно сам ее текст, взятый из Википедии, а уже затем, дам свой исчерпывающий к ней комментарий.
Апория:
«Быстроногий Ахиллес никогда не догонит неторопливую черепаху, если в начале движения черепаха находится впереди Ахиллеса.
Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху».
Ну, а вот собственно и мое решение.
Исходя из условий апории, между обоими участниками в процессе их обоюдного движения, будет всегда оставаться некое расстояние. Так как скорость движения участника, следующего вторым, превышает скорость идущего первым, то вполне очевидно, что расстояние между ними будет постоянно сокращаться - в противном же случае - оно бы увеличивалось.
Для начала, заменим самих участников апории «точками» - некими абстрактными объектами в пространстве, не имеющих никаких измеримых характеристик.
Ну, так вот, в некий момент времени, когда точка движущаяся второй, уже казалось бы и вовсе нагнала первую, и казалось бы апория вот-вот и опровергнется, однако же между ними все еще продолжает и продолжает сохраняться некое, хоть и уменьшающееся - однако же и никогда и не обращающееся в ноль - расстояние! А значит ни одна из них, так никогда и не достигнет другой! Ведь лишь в момент совпадения одной точки с другой, расстояние между ними обращается в ноль!
Однако же сами проекции прототипов движущихся точек на плоскость (т.е. Ахиллеса и черепахи), являются уже скорее некими геометрическим фигурами, нежели «точками»!
Для простоты изложения, представим эти фигуры (проекции Ахиллеса и черепахи на плоскость) окружностями разного диаметра - для Ахиллеса, естественно побольше, ну, а для черепахи - поменьше.
Очевидно, что в отличие от точек, они уже (т.е. окружности), как и их прототипы, имеют некий собственный размер. И в том случае, если расстояние между точками, в конце концов, станет менее сумм их диаметров, то можно говорить, что одна из окружностей соприкоснулась (да даже и пересеклась!) с другой. И… Ахиллес все же нагнал черепаху!
Да, по формулировке апории Зеноном, он никогда не обгонит ее, но… ведь сам вопрос Зенона не в этом, а в том, догонит или не догонит Ахиллес черепаху!
Здесь есть еще одно - уж совсем шуточное и изящное решение…
Ахиллес, в самый решающий момент, может просто протянуть к черепахе - руку.
И всё.

P.S.
Ну, а вообще же, вообще же. решая эту апорию мы сами же себе воздвигли непреодолимые трудности.
Вот, к примеру, есть такая довольно известная задача - необходимо, не отрывая пера от бумаги, тремя линиями соединить четыре точки лежащих в углах квадрата. Если рисовать свои линии исключительно внутри него - задача абсолютно не решаема!
Решение же ее будет заключаться в выходе за границы квадрата и создании уже наших собственных узлов пересечения, проведенных пером линий. Образно говоря, чтобы решить ее, нам придется просто вписать этот квадрат в нарисованный нами же прямоугольный треугольник и все.
Кажущаяся исходно непреодолимой - задача получает очевидный ответ!
Так и с этой апорией - ну и что, что «когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее»!
Из этого условия, просто следует, что скорость движения Ахиллеса в 10 раз превышает скорость черепахи!
И исходя из этого - ее и надо решать!
Да он догонит и перегонит эту самую черепаху!
Другое дело, что условия в апории поставлены так, что ее автор заставляет нас разрешить ее парадокс, неявно ограничивая нас условием постоянно сокращающегося времени, сумма дробимых частей которого всегда будет меньше, чем время, необходимое на достижение Ахиллесом черепахи, так сказать достижения их полностью идентичного (обоюдно равного) расстояния от точки старта.
В этом и суть и соль апории.
Но, учитывая, что все физические тела имеют НЕ НУЛЕВОЙ объем, то конечно же Ахиллес соприкоснется с ней раньше, чем исчерпается сумма дробимых частей времени, всегда меньшая того времени, при наступлении которого их расстояние от точки старта сможет стать равным друг другу!

Это софизм или парадокс?

Если рассматривать с точки зрения философии, Ахиллес и черепаха - парадокс. В нем нет противоречий и ошибок в рассуждениях. Все основано на целеполагании. У Ахиллеса была цель не догнать и обогнать, а догонять. Постановка цели - догонять. Это никогда не позволит быстроногому Ахиллесу ни догнать, ни обогнать черепаху. В данном случае ни физика с ее законами, ни математика не могут помочь Ахиллесу обогнать это медлительное существо.

Благодаря этому средневековому философскому парадоксу, который создал Зенон, можно делать вывод: нужно правильно ставить цель, и идти к ней. Стремясь догонять кого-то, вы всегда будете оставаться вторым, да и то в лучшем случае. Зная, какую цель ставит человек, можно с уверенностью сказать, достигнет он ее или будет зря тратить силы, ресурсы и время.

В реальной жизни встречается масса примеров неправильного целеполагания. А парадокс Ахиллеса и черепахи будет актуален до тех пор, пока будет существовать человечество.

Похожая притча

Вряд ли древнегреческий философ Зенон Элейский, придумывая на досуге свои апории – парадоксальные рассуждения о движении и множестве – предполагал, что одна из них, про Ахиллеса и черепаху, переживет его и будет в течение 2,5 тысяч лет на устах всех людей. Между тем, эти апории во все последующие времена вызывали бурные дискуссии в научных кругах, благодаря чему фундаментальные понятия о движении и пространстве, их дискретности или непрерывности, были значительно продвинуты вперед.

Зенон Элейский Зенон Элейский

Парадокс Зенона

Апория об Ахиллесе и черепахе утверждает, что Ахиллес (быстроногий герой древнегреческого эпоса) никогда не сможет догнать медлительную черепаху. Объясняется этот парадокс следующим образом.

Пусть черепаха начинает гонку, находясь в 1000 шагах впереди Ахиллеса. Также предположим, что Ахиллес бежит в 10 раз быстрее черепахи. После старта за то время, которое Ахиллес пробежит эти 1000 шагов, черепаха успеет проползти 100 шагов. Когда Ахиллес пробежит эти 100 шагов, черепаха проползет еще 10 шагов. Ахиллес пробежит 10 шагов, а черепаха – еще 1 шаг. Этот процесс будет происходить до бесконечности, и черепаха всегда будет опережать Ахиллеса на 1/10 расстояния, которое успеет пробежать Ахиллес .

Если мы отвлечемся от Ахиллеса и черепахи, то парадокс гласит о том, что если некое тело движется прямолинейно и равномерно из точки А в точку Б, то это тело сначала должно пройти ½ расстояния, затем ¼, затем 1/8, 1/16 и так далее до бесконечности. То есть тело никогда не достигнет точки Б, так как всегда останется то расстояние, которое ему еще необходимо преодолеть.

Есть ли решение?

Любой здравомыслящий человек понимает, что свирепый Ахиллес не только быстро догонит несчастную черепаху, но сразу сделает из нее суп. Но хотите ли вы разрешить этот парадокс? У вас ничего не получится, потому что до сегодняшнего дня это сделать никто так и не смог.

Да, математически несложно доказать ошибочность парадокса, построив ряд из уменьшающихся интервалов и показав, что он в какой-то точке сходится. И математических решений с совершенно разным подходом довольно много. Ведь даже в школьных учебниках полно задач, где необходимо найти время, когда автомобиль нагонит велосипедиста, движущихся с разной скоростью в одном направлении.

Но эта задача отнюдь не математическая , а философская – ведь Зенон как раз и пытался показать ошибочность формального математического подхода к решению этой задачи и к реальному движению. Поэтому математическое разрешение этого парадокса в данном случае неприменимо.

Парадокс Зенона, по сути, сводится к вопросу о сумме бесконечного числа бесконечно малых слагаемых. Этот парадокс заставляет вникнуть в природу окружающего нас движения и в противоречия конечного и бесконечного, дискретного и непрерывного. В более глобальном смысле Зенон пытался показать проблемы, решение которых помогло бы в развитии строгой логики. И ему это удалось.

Похожая притча

В философии существует множество таких задач и парадоксов, которые могут поставить в тупик. Автором 9 из них является греческий философ Зенон , который родился около 490 года до н.э. в городе Элея.

Зенон, составляя свои апории (парадоксы), помимо прочего, пытался доказать, что концепции движения, бесконечного деления пространства являются противоречивыми. Сегодня я расскажу вам об одной наиболее известной его апории, которая называется " Ахиллес и черепаха ".

Суть данного парадокса заключается в следующем. Допустим, на беговой дорожке соревнуются в скорости Ахиллес и черепаха. Черепаха стартует с некоторой форой, а Ахиллес бежит намного быстрее неё. Но проблема в том, что Ахиллес никогда не догонит черепаху .

Объясняется это так: когда Ахиллес окажется на том месте, откуда начинала движение черепаха, она за это время преодолеет какое-то расстояние. Когда же Ахиллес добежит до того места, куда переместилась черепаха, она снова продвинется чуть дальше, и так до бесконечности. Для большей наглядности можно воспользоваться картинкой:

Таким образом, сколько бы ни бежал Ахиллес, ему никогда не удастся обогнать черепаху.

Греки прекрасно понимали, что такое положение вещей, хоть и выглядит логически обоснованным, но не соответствует реальности . Совершенно очевидно, что в реальной жизни Ахиллес обгонит черепаху и победит в забеге. Зенон только пытался показать, что, если мы допускаем бесконечную делимость времени и пространства, то тут же приходим к подобным парадоксам.

Однако в другой своей апории, которая называется "Стрела", Зенон исходит уже из того, что время и пространство бесконечно делимы . Там он наглядно доказывает, что невозможно и это .

Ясно, что Зенон вовсе не преследовал цели убедить кого-либо в чем-то. Он лишь хотел выявить и показать трудности, возникающие при допущении той или иной позиции по вопросу делимости пространства и времени.

Решение парадокса Ахиллеса и черепахи

Парадокс показывает несоответствие между тем, как мы думаем о мире и каким на самом деле является мир. Джозеф Мазур, почетный профессор математики и автор книги «Просветленные символы», описывает парадокс как «трюк», заставляя вас думать о пространстве, времени и движении неправильным образом.

Затем возникает задача определить, что именно не так с нашим мышлением. Движение возможно, конечно, быстрый человеческий бегун может опередить черепаху в гонке.

Парадокс Ахиллеса и черепахи с точки зрения математики выглядит следующим образом:

Предполагая, что черепаха находится на 100 метров впереди, когда Ахиллес прошел 100 метров, черепаха будет на 10 метров впереди него.
Когда он достигнет этих 10 метров, черепаха будет на 1 метр впереди.
Когда он достигнет 1 метра, черепаха будет на 0,1 метра впереди.
Когда он достигнет 0,1 метра, черепаха будет на 0,01 метра впереди.

Поэтому в том же процессе Ахиллес потерпит бесчисленные поражения. Конечно, сегодня мы знаем, что сумма 100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,001 + . = 111,111 . является точным числом и определяет, когда Ахиллес опередит черепаху.

До бесконечности, а не за ее пределами

Путаница, созданная примером Зенона, была в первую очередь из бесконечного количества точек наблюдения и позиций, которые Ахиллесу сначала пришлось достичь, когда черепаха неуклонно двигалась. Таким образом, Ахиллесу было бы почти невозможно догнать черепаху, не говоря уже о том, чтобы обогнать ее.

Во-первых, пространственное расстояние между Ахиллесом и черепахой становится все меньше и меньше. Но время, необходимое для преодоления расстояния, пропорционально уменьшается. Созданная проблема Зенона приводит к расширению точек движения до бесконечности. Но еще не было математической концепции.

Как известно, только в конце XVII века в исчислении можно было найти математически обоснованное решение этой проблемы. Ньютон и Лейбниц подошли к бесконечному с формальными математическими подходами.

Английский математик, логик и философ Бертран Рассел сказал, что ". аргументы Зенона в той или иной форме дали основу почти для всех теорий пространства и бесконечности, предложенных в наше время до наших дней. "

Кто такой Зенон?

Зенон родился около 488 года до нашей эры в Элеа (сегодняшняя Велия), Италия. Он прожил несколько лет в Афинах, где посвятил всю свою энергию объяснению и развитию философской системы Парменида. Из сочинений Платона известно, что Зенон был на 25 лет моложе Парменида, написал защиту своей философской системы в очень раннем возрасте. Хотя мало что было спасено из его сочинений. Большинство из нас знает о нем лишь из трудов Аристотеля, а также то, что этот философ, Зенон Элейский, знаменит своими философскими рассуждениями.

Из физики Аристотеля

Из книги VI.9 физики Аристотеля можно узнать, что

В гонке самый быстрый бегун никогда не сможет догнать самого медленного, так как преследователь должен сначала дойти до точки, в которой началось преследование.

Итак, после того как Ахилл бежит в течение неопределенного промежутка времени, он достигнет точки, из которой начинала движение черепаха. Но за абсолютно такое же время черепаха будет продвигаться вперед, достигая следующей точки своего пути, поэтому Ахиллесу все еще предстоит догонять черепаху. Снова он движется вперед, довольно быстро приближаясь к тому, что раньше занимала черепаха, снова "обнаруживает", что черепаха немного поползла вперед.

Этот процесс повторяется до тех пор, пока вы хотите его повторять. Из-за того, что измерения являются человеческой конструкцией, а поэтому бесконечны, мы никогда не достигнем точки, в которой Ахилл побеждает черепаху. Именно в этом и заключается парадокс Зенона об Ахиллесе и черепахе. Следуя логическим рассуждениям, Ахилл никогда не сможет догнать черепаху. На практике, конечно же, спринтер Ахиллес пробежит мимо медлительной черепахи.

Похожая притча

Парадокс Ахиллеса и черепахи, который выдвинул древнегреческий философ Зенон, бросает вызов здравому смыслу. В нем утверждается, что спортивный парень Ахиллес никогда не догонит неповоротливую черепаху, если она начинает свое движение раньше него. Так что же это: софизм (сознательная ошибка в доказательстве) или парадокс (утверждение, имеющее логическое объяснение)? Попробуем разобраться в этой статье.

Книга парадоксов

В пятом веке до нашей эры греческий философ Зенон занимался явлениями движения, пространства и времени. Как люди, животные и объекты могут двигаться - это основа парадокса Ахилла и черепахи. Математик и философ написал четыре парадокса или "парадоксы движения", которые вошли в книгу, написанную Зеноном 2500 лет назад. Они поддерживали позицию Парменида о том, что движение невозможно. Мы рассмотрим самый известный парадокс - про Ахиллеса и черепаху.

История такова: Ахиллес и черепаха решили посостязаться в беге. Чтобы сделать состязание более интересным, черепаха на некоторое расстояние опередила Ахиллеса, так как последний намного быстрее черепахи. Парадокс заключался в том, что до тех пор, пока теоретически продолжается бег, Ахилл никогда не обгонит черепаху.

В одной из версий парадокса Зенон утверждает, что нет такой вещи, как движение. Существует много вариаций, Аристотель перечисляет четыре из них, хотя по существу можно назвать их вариациями двух парадоксов движения. Один касается времени, а другой - пространства.

Смысл парадокса

Описание сложнее, чем на самом деле парадокс. Поэтому многие и говорят: "Не понимаю парадокс Ахиллеса и черепахи". Умом сложно воспринять то, что на самом деле не очевидно, а очевидно как раз обратное. Все заключено в объяснении самой задачи. Зенон доказывает, что пространство делимо, а поскольку оно делимо, то нельзя достичь определенной точки в пространстве, когда другой переместился из этой точки дальше.

Зенон, учитывая эти условия, доказывает, что Ахилл не может догнать черепаху, потому что пространство можно бесконечно разделить на более мелкие части, где черепаха всегда будет частью пространства впереди. Следует также отметить, что, пока время - это движение, как это сделал Аристотель, два бегуна будут двигаться бесконечно, таким образом, будучи неподвижными. Получается, что Зенон прав!

Читайте также: