Минус на минус поговорка
Обновлено: 07.11.2024
Когда в шестом классе проходят отрицательные числа, ученики сталкиваются с одним их магическим свойством. Почему-то при перемножении отрицательных чисел получается положительное число. В школе это правило даётся как заклинание, которое звучит так: “минус на минус даёт плюс”. Часто это никак не объясняется и учеников просто просят запомнить. Иногда используют красивую метафору вроде “Враг моего врага — мой друг”, подразумевая, что друг — это положительное число, а враг отрицательное. Но это нисколько не объясняет причину этого правила.
В интернете можно прочесть объяснения , что это всего лишь обобщение действий над целыми числами и математики вот так договорились. Нам предлагают смириться и просто это принять. Но все же, давайте попробуем разобраться и построить такую модель из реальной жизни, которая нам покажет, что действительно “минус на минус” будет давать “плюс”.
Для начала зайдём издалека и разберемся с простым случаем, который иногда в школе всё же объясняют.
Представим, что есть некий человек и он должен трем своим друзьям по 100 рублей. Очевидно, что всем им вместе он должен 300 рублей. Мы просто умножили долг 100 рублей на 3 человека. Даже в младших классах большинство уже понимает, что долг — это отрицательные числа, и в целом понимает, что такое отрицательный баланс на телефоне. Поэтому многие ученики на примере долга сразу уясняют, что (-100)∙3=-300. Но такая схема не работает, если мы хотим перемножить (-100) и (-3). Мы же не можем быть должны отрицательному количеству людей.
Т.е. такая модель нам для объяснения не подходит. Давайте попробуем другую.
Пусть у нас есть поезд, который едет из Москвы в Санкт-Петербург. Для нас это будут точки А и В соответственно. Где-то посередине он проезжает мимо станции Бологое (точка О), это для нас и будет точка отсчёта. Если поезд будет находится справа от неё на расстоянии 50 км, мы будет говорить, что он находится в точке +50 км (или для удобства просто 50 км). Если поезд будет слева на расстоянии 50 км, то будем говорить, что он находится в точке -50 км. Знаки плюс и минус будут означать направления, а числа +50 и -50 будут называться относительными.
Теперь рассмотрим скорость поезда. Пусть у поезда скорость сто километров в час. Но теперь у нас появилось ещё и направление. Т.е. скорость может быть как положительной, так и отрицательной и скорость +100 км/ч означает, что поезд едет в Санкт-Петербург (в точку A), а -100 км/ч означает, что поезд едет в Москву (в точку B). Довольно легко понять, что если поезд находится в точке O и имеет координату 0, то через 3 часа у него будет координата +300 (если он ехал в Питер) или -300 (если ехал в Москву), Т.е. в первом случае будет 3∙(+100)=+300, а во втором 3 ∙(-100)=-300. Это пока объяснимо. Мы получили такой же результат, как в модели с должником.
Но теперь давайте чуть подправим задачу и рассмотрим относительное время. Допустим сейчас полдень и поезд находится в точке О. Пусть он едет из Москвы в Питер и имеет скорость +100. Где он будет через 3 часа, т.е. в 3 часа после полудня (т.е. в 15:00)? В точке +300. А где он был за три часа до полудня (т.е. в 9:00)? В точке -300. Во втором случае время отрицательно относительно полудня и (+100)∙(-3) = -300.
А теперь самое главное - как через эту модель показать перемножение отрицательных чисел. Пусть поезд едет из Санкт-Петербурга в Москву, т.е. имеет отрицательную скорость. Где он был за три часа до полудня? В точке +300. Т.е. скорость (-100) мы умножили на (-3) и получили +300. Т.е. именно такой случай иллюстрирует правило “минус на минус даёт плюс”.
Вы можете сказать, что отрицательное время — это выдумка и никто им не пользуется. Действительно в числовом виде в быту мы их не так часто используем, а вот на уроках истории вы точно про них слышали. Ведь даты “до нашей эры” по сути показывают именно отрицательное время, где точкой отсчёта считается Рождество Христово.
Про эту модель обоснования умножения отрицательных чисел более подробно можно прочесть в учебнике “Алгебра” А.П. Киселёва .
Как объяснить ребенку ?
У меня есть несколько примеров, хотя бы один из которых удовлетворит любого.
Прием 1
В шестом классе школьники уже знакомы со способами решения линейных уравнений. Можно показать ребенку, например вот это :
В первом случае мы решаем уравнения, избегая отрицательных чисел. Во втором мы такой целью не задаемся. В итоге, зная правильный ответ, мы сами понимаем, что минус на минус ДОЛЖЕН давать плюс. Иными словами, ответы, полученные с использованием отрицательных чисел не должны отличать от полученных других путем. Таким образом, мы лишаем себя необходимости искать смысл отрицательных чисел и принимаем их как необходимую и полезную математическую абстракцию.
Прием 2
Еще одно объяснение базируется на примере с завинчиванием/вывинчиванием шурупа:
Будем считать, что альфа со знаком плюс соответствует повороту винта по часовой стрелке, ход винта относительно поверхности обозначим за d . Некий коэффициент, отвечающий за скорость ввинчивания/вывинчивания, обозначим как v . Так вот в этом примере и видно, как, с одной стороны умножение положительных чисел, так и с другой - отрицательных чисел друг на друга дает число положительное! Ведь болт же переместился физически, ощущаемо! Так, например, отрицательные числа из абстракции превращаются в реальность.
Я не стал приводить пример с градусником, движущимися навстречу автомобилями, геометрические обоснования (их и дают по большей части в школе), совсем сложные для детей примеры с дистрибутивностью умножения, а также некоторые объяснения, построенные на мнемонике, вида: "Враг моего врага - мой друг". Последний вариант, скорее, направлен на запоминание, чем на понимание.
Кстати, если Вы хотите прочесть более 80 (. ) страниц преинтереснейшей книги, посвященной исключительно преподаванию отрицательных чисел в школе, не пропустите этот шедевр:
Следующая пословица
Для начала немного окунёмся в историю арифметики. Совершенно естественно, что в самом начале люди пользовались только натуральными числами — один, два, три и так далее. Их использовали для того, чтобы посчитать реальное количество предметов. Просто так, в отрыве от всего, цифры были бесполезны, поэтому стали появляться и действия, с помощью которых стало возможно оперировать числами. Абсолютно логично, что самым необходимым для человека стало сложение. Эта операция проста и естественна — подсчитать количество предметов становилось проще, теперь не нужно было каждый раз считать заново — «один, два, три». Заменить счёт теперь стало возможным с помощью действия «один плюс два равно три». Натуральные числа складывались, ответ тоже был натуральным числом.
Умножение представляло собой, по сути, такое же сложение. На практике мы и сейчас, например, совершая покупки, так же используем сложение и умножение, как это делали давным-давно наши предки. Однако порой приходилось совершать операции вычитания и деления. И числа не всегда были равнозначны — иногда число, от которого отнимали, было меньше числа, которое вычитали. То же и с делением. Таким образом и появились дробные числа.
Появление отрицательных чисел
В документах Индии записи об отрицательных числах появились в VII веке нашей эры. В китайских документах существуют более древние отметки об этом математическом «факте».
В жизни мы чаще всего отнимаем от большего числа меньшее. Например: у меня есть 100 рублей, хлеб и молоко стоят 65 рублей; 100 — 65 = 35 рублей сдачи. Если же я захочу купить ещё какой-то товар, стоимость которого превышает мои оставшиеся 35 рублей, например ещё одно молоко, то как бы я ни хотел его приобрести, а больше денег у меня нет, следовательно, отрицательные числа мне ни к чему.
Однако, продолжая говорить о современной жизни, упомянем кредитные карты или возможность от мобильного оператора «входить в минус» при звонках. Появляется возможность тратить большую сумму денег, чем имеешь, но те деньги, что ты остался должен, не исчезают, а записываются в долг. И вот здесь уже приходят на помощь отрицательные числа: на карте есть 100 рублей, хлеб и два молока обойдутся мне в 110 рублей; после покупки мой баланс по карте составляет -10 рублей.
Практически для таких же целей и начали впервые использовать отрицательные числа. Китайцы первыми использовали их для записи долгов или в промежуточных решениях уравнений. Но использование это было всё равно лишь для того, чтоб прийти к положительному числу (впрочем, как и наше погашение кредитки). Долгому отвержению отрицательных чисел способствовало то, что они не выражали конкретных предметов. Десять монет — это десять монет, вот они, их можно потрогать, на них можно купить товар. А что значит «минус десять монет»? Они предполагаются, даже если это долг. Неизвестно, вернётся ли этот долг, и превратятся ли «записанные» монеты в реальные. Если при решении какой-нибудь задачи получалось отрицательное число, считалось, что вышел неверный ответ или ответа вообще не существует. Такое недоверчивое отношение сохранялось у людей достаточно долго, даже Декарт (XVII век), совершивший прорыв в математике, считал отрицательные числа «ложными».
Формирование правил действий с отрицательными числами
Рассмотрим уравнение 9х-12=4х-2. Для решения уравнения нужно перенести члены с неизвестным в одну сторону, а известные числа — в другую. Это можно выполнить двумя способами.
Переносим часть уравнения с неизвестным в левую сторону, а другие числа — в правую. Получается:
Ответ найден. За все действия, что нам потребовалось выполнить, мы ни разу не прибегнули к использованию отрицательных чисел.
Теперь переносим часть уравнения с неизвестным в правую сторону, а остальные слагаемые — в левую. Получаем:
Чтобы найти решение, нам нужно одно отрицательное число разделить на другое. Однако верный ответ мы уже получили в предыдущем решении — это х, равное двум. Следовательно, остаётся вывести, что (-10)/(-5)=2.
Что доказывают нам эти два способа решения одного уравнения? Первое, что становится ясно – это то, каким образом выводилась адекватность оперирования отрицательными числами — полученный ответ должен быть таким же, что и при решении с использованием только натуральных чисел. Второй момент — это тот факт, что не нужно больше задумываться над величинами, чтобы получать непременно неотрицательное число. Можно выбирать наиболее удобный способ решения, особенно это касается сложных уравнений. Действия, которые позволили не задумываться над некоторыми операциями (что нужно сделать, чтоб были только натуральные числа; какое число больше, чтоб вычитать именно от него и т.д.), стали первыми шагами к «абстракцианизации» математики.
Естественно, не все правила действий с отрицательными числами сформировались единовременно. Копились решения, обобщались примеры, на основе чего и стали понемногу «вырисовывать» основные аксиомы. С развитием математики, с выделением новых правил, появлялись новые уровни абстракции. Например, в девятнадцатом веке стало доказано, что целые числа и многочлены имеют много общего, хотя внешне отличаются. Все их можно складывать, вычитать и перемножать. Правила, которым они подчиняются, влияют на них одним образом. Что же касается деления одних целых чисел на другие, то здесь «поджидает» занимательный факт — ответом не всегда будет целое число. Этот же закон распространяется и на многочлены.
Затем было выявлено множество других совокупностей математических объектов, над которыми возможно было производить такие операции: формальные степенные ряды, непрерывные функции. Со временем математики установили, что после исследования свойств операций результаты станет возможно применять ко всем этим совокупностям объектов. Точно так же работают и в современной математике.
Больше интересных материалов:
Сугубо математический подход
С течением времени математики выявили новый термин — кольцо. Под кольцом подразумевают множество элементов и операции, которые можно над ними производить. Основополагающими становятся правила (те самые аксиомы), которым подчиняются действия, а не природа элементов множества. Для того, чтоб выделить первостепенность структуры, возникающую после введения аксиом, как раз обычно и употребляют термин «кольцо»: кольцо целых чисел, кольцо многочленов и т. п. Используя аксиомы и исходя из них, можно выявлять новые свойства колец.
Сформулируем правила кольца, похожие на аксиомы операций с целыми числами, и докажем, что в любом кольце при умножении минуса на минус выходит плюс.
Под кольцом понимается множество с двумя бинарными операциями (в каждом действии участвуют два элемента кольца), традиционно именуемыми сложением и умножением, и следующими аксиомами:
— сложение элементов кольца подчиняется переместительному (A + B = B + A для любых элементов A и B) и сочетательному (A + (B + C) = (A + B) + C) законам; в кольце есть специальный элемент 0 (нейтральный элемент по сложению) такой, что A + 0 = A, и для любого элемента A есть противоположный элемент (обозначаемый (—A)), что A + (—A) = 0;
— умножение подчиняется сочетательному закону: A · (B · C) = (A · B) · C;
— сложение и умножение связаны следующими правилами раскрытия скобок:
(A + B) · C = A · C + B · C
A · (B + C) = A · B + A · C.
Уточним, что кольца, в самой общей конструкции, не требуют ни перестановочности умножения, ни его обратимости (операция деления не всегда возможна), ни существования единицы — нейтрального элемента по умножению. Если ввести данные аксиомы, получим другие алгебраические структуры, однако со всеми действующими теоремами, доказанными для колец.
Следующим этапом станет доказательство того, что для любых элементов A и B произвольного кольца верно: (-A) · B = -(A · B) и (-(-A)) = A.
Из этого получим утверждения про единицы:
Далее следует доказать некоторые моменты. Во-первых, нужно установить существование лишь одной противоположности для каждого элемента. Допустим, наличие у элемента А два противоположных элемента: B и С. То есть A + B = 0 = A + C. Разберём сумму A + B + C. Используя переместительный и сочетательный законы, а также свойства нуля, получим, что сумма равна:
B: B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C
C: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C.
Следовательно, B = C.
Отметим, что и A, и (-(-A)) противоположны к элементу (-A). Отсюда заключаем, что элементы A и (-(-A)) должны быть равны.
Далее, 0 = 0 · B = (A + (-A)) · B = A · B + (-A) · B,
т.е. (-A) · B противоположно A · B, следовательно, оно равно -(A · B).
Заметим, что 0 · B = 0 для любого элемента B.
0·B = (0 + 0) B = 0·B + 0·B,
таким образом, прибавление 0·B не изменяет сумму. Получается, это произведение равно нулю.
Следующая пословица
В книге Владимира Левшина «Магистр рассеянных наук» есть математическая притча, в которой к богатому человеку пришел бедняк и предложил умножить имущество миллионщика. Правда, бедняк сразу же оговорился, что умножая состояние богача, он на то же число умножит и собственные средства. Движимый алчностью богач согласился на это условие, действие по умножению было совершено.
Миллионщик бросился к своим сундукам, но вместо золота обнаружил только долговые расписки, согласно которым он обязался вернуть различным людям крупные суммы денег.
На вопрос, где моё золото? Бедняк ответил: "Теперь у меня. Мы договорились умножить наши состояния, вот я и умножил. на отрицательное число."
Это притча прямо иллюстрирует закон умножения на отрицательное число. У бедняка были исключительно долги (отрицательная сумма денег) и при умножении на отрицательное число получилось крупное состояние. Ну а богач при умножении своего состояния на отрицательное число оказался в долгах как в шелках. Приведенная притча как нельзя лучше иллюстрирует математическое правило умножения на отрицательное число. Но как это обосновать и объяснить наглядно?
Строгое доказательство того, что умножение двух отрицательных чисел даст в итоге положительный результат, приводится в таком разделе математики как «Теория чисел». Однако вряд ли среди читателей канала много людей знакомых с математическим понятием «кольцо», а тем более с его бинарными операциями. Поэтому оставим строго математическое доказательство через аксиоматику кольца для математиков, а сами обратимся к доказательствам логическим.
Доказательство первое
Сейчас мы воспользуемся «математической логикой». Есть там «закон отрицания отрицания», который гласит, что если неверное утверждение неверно, то оно - истинное. На примере это можно пояснить так: неверно, что неверно, что Москва столица Российской Федерации. Значит утверждение «Москва является столицей РФ» правдиво. Знак «минус» можно трактовать как отрицание, тогда «минус» «минус» есть подтверждение.
Теперь проведем несложные вычисления:
-2*(-3)= -1*2*(-1)*3 пока мы просто математически переписали наш пример,
а сейчас используем ассоциативность (сочетательный закон) умножения:
-1*(-1)*2*3=-(-1)*6 (мы просто перемножили единицы и умножили 2 на 3, а знаки пока не трогали)= 6 (для -(-1) мы использовали закон отрицания отрицания).
Доказательство второе
Решим несложное уравнение 6х+6=4х+8
Для начала соберем неизвестные слева от знака равенства, а константы справа, при этом, соблюдая, правило смены знака при переносе через равно. Получим:
Сейчас мы вспомним, что деление, это операция обратная умножению, и разделить на 2 это то же самое, что умножить на 1/2. Перепишем последнюю строчку:
Мы уже знаем правильный ответ. А сейчас повторно решим наше уравнение, вот только постоянные соберем слева от знака равенства, а переменные справа. Получим:
Отсюда -2=-2х, следовательно, -2/(-2)=х, или же -2*(-1/2)=х.
Но мы уже знаем, что х=1, а значит -2*(-1/2)=1.
Получили, что при умножении двух отрицательных чисел результат оказывается положительный.
Доказательство третье
Возьмем обыкновенный уличный термометр. Пусть каждый час температура поднимается ровно на 2 градуса по Цельсию. Сейчас полдень и на термометре 0 градусов. Какая температура будет в 15 часов?
Задача абсолютно несложная — при постоянном увеличении температуры за три часа она повысится на 6 градусов, поскольку 15ч-12ч = 3ч, а 3*2=6. Так что в 15 часов термометр покажет 6 градусов.
Усложним вопрос: а какая температура была в 8 часов утра, при условии, что ее рост был точно таким же?
Логика подсказывает, что 8 часов утра по сравнению с полднем это -4 часа, так как 8ч-12ч=-4ч. Спустимся по температурной шкале по 2 градуса вниз от 0 градусов 4 раза. Мы получим 8 градусов мороза, или попросту -8 градусов Цельсия. Таким образом получается -4*2=-8. Пока все просто и логично.
Теперь представим ситуацию, когда температура не повышается со временем, а понижается (бывает и такое) на те же 2 градуса в час.
Понижение температуры означает ее изменение на -2 градуса каждый час. Для большей правдоподобности у нас на часах 23-00, а на термометре все тот же 0 градусов по Цельсию. А какая температура была в 20-00? Посчитаем, 20ч-23ч=-3ч. Далее -3*(-2)=6.
Проверим, двигаясь вверх по шкале на два градуса за каждый час. В итоге имеем те же 6 градусов по Цельсию. Следовательно, при умножении двух отрицательных чисел мы получаем положительное.
Следующая пословица
"Минус на минус даёт только плюс.
Отчего так бывает, сказать не берусь" - английский поэт Уистен Оден.
Конечно, проще всего было бы ответить ребенку, что так принято, такое правило, однако существует риск нарваться на встречный вопрос: "а почему такое правило придумали и не проще ли тогда, например, вообще запретить отрицательные числа ? Ведь ими нельзя что-то посчитать!?"
Рабочая программа по математике за 6 класс Рабочая программа по математике за 6 классВ школьной математике дети проходят путь длиною в 10 лет, чтобы изучить натуральные, целые, рациональные, действительные и даже комплексные числа. В 6 классе школьнику впервые встречаются отрицательные числа и от того, как он "познает" одну из первых математических абстракций, зависит очень многое.
Ведь человечество сотни лет пренебрегало отрицательными числами: даже в 18 веке Рене Декарт называл их ложными. Неужели Вы думаете, что чистому сознанию ребенка будет проще понять эту информацию и принять на веру ?
Читайте также: