Задания смешанного типа степенные иррациональные логарифмические выражения
Обновлено: 04.11.2024
\(\blacktriangleright\) На ОДЗ верны следующие формулы:
Уровень задания: Равен ЕГЭа) Решите уравнение \[(2\cos^2x+11\cos x+5)\cdot \log_(\sin x)=0\]
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \([0;\pi].\)
а) Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю, а другие при этом не теряют смысла: \[\left[\begin\begin &2\cos^2x+11\cos x+5=0\\[1ex] &\log_(\sin x)=0\end\end\right.\quad\Leftrightarrow\quad \begin \left[\begin\begin &2\cos^2x+11\cos x+5=0\\[1ex] &\sin x=18^0\end\end\right.\\ \sin x>0\end\] Назовем \(\sin x>0\) ОДЗ.
1) Рассмотрим первое уравнение. Заменой \(\cos x=t\) , \(-1\leqslant t\leqslant 1\) , данное уравнение сводится к квадратному: \(2t^2+11t+5=0\) . Корнями будут \(t_1=-\frac12\) и \(t_2=-5\) . Видим, что корень \(t_2\) не подходит. Таким образом: \[\cos x=-\dfrac12\quad\Leftrightarrow\quad x=\pm \dfrac<2\pi>3+2\pi n, n\in\mathbb\] Заметим, что углы \(x=\dfrac<2\pi>3+2\pi n\) находятся во второй четверти, где \(\sin x>0\) , следовательно, подходят по ОДЗ. Углы \(x=-\dfrac<2\pi>3+2\pi n\) находятся в третьей четверти, где \(\sin x <0\) , следовательно, не подходят по ОДЗ. Итог: \[x=\dfrac<2\pi>3+2\pi n, n\in\mathbb\]
2) Рассмотрим второе уравнение: \(\sin x=1\) (подходит под ОДЗ). Решением будут \[x=\dfrac<\pi>2+2\pi k, k\in\mathbb\]
б) Отберем корни. 1) \(0\leqslant \dfrac<2\pi>3+2\pi n\leqslant \pi \quad\Rightarrow\quad n=0 \quad\Rightarrow\quad x=\dfrac<2\pi>3\) 2) \(0\leqslant \dfrac<\pi>2+2\pi k\leqslant \pi \quad\Rightarrow\quad k=0\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac<\pi>2\)
а) \(\dfrac<2\pi>3+2\pi n, \dfrac<\pi>2+2\pi k; k, n\in\mathbb\)
Уровень задания: Равен ЕГЭб) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \(\left[-\dfrac<13\pi>2; -5\pi \right].\)
а) Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю: \[\begin 4^-2^=0\\[1ex] \sqrt\ne 0\end\] Так как ОДЗ выражения \(\sqrt\) — это \(\sin x\geqslant 0\) , но \(\sqrt\ne 0\) , то есть \(\sin x\ne 0\) , то данная система равносильна: \[\begin 4^-2^=0\\[1ex] \sin x>0\end\] Назовем неравенство ОДЗ.
Рассмотрим уравнение системы: \[2^=2^\quad\Leftrightarrow\quad 2\cdot 2\sin x\cos x=2\sqrt3\sin x\quad\Leftrightarrow\quad \sin x(2\cos x-\sqrt3)=0\] Следовательно:
1) \(\sin x=0\) . Данное уравнение не удовлетворяет ОДЗ \(\sin x>0\) .
2) \(\cos x=\dfrac2\) , что равносильно \(x=\dfrac<\pi>6+2\pi n\) или \(x=-\dfrac<\pi>6+2\pi m\) , \(n,m\in\mathbb\) .
Так как по ОДЗ \(\sin x>0\) , то серия корней \(x=-\dfrac<\pi>6+2\pi m\) нам не подходит, так как эти углы находятся в четвертой четверти, где \(\sin x<0\) .
Следовательно, ответом будут: \(x=\dfrac<\pi>6+2\pi n\) , \(n\in\mathbb\) .
б) Отберем корни.
\(-\dfrac<13\pi>2\leqslant \dfrac<\pi>6+2\pi n\leqslant -5\pi\quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac3\leqslant n\leqslant -\dfrac\quad\Rightarrow\quad n=-3\quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac<35\pi>6\)
Уровень задания: Равен ЕГЭб) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \(\left[\dfrac<\pi>2; 2\pi\right].\)
а) Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю: \[\begin \log^2_2(\sin x)+\log_2(\sin x)=0\\[1ex] 2\cos x-\sqrt3\ne 0\end\] Неравенство \(\cos x\ne \dfrac2\) назовем ОДЗ.
Рассмотрим уравнение системы: \(\log^2_2(\sin x)+\log_2(\sin x)=0\) .
Сделаем замену \(\log_2(\sin x)=t\) . Тогда уравнение примет вид \[t^2+t=0\quad\Leftrightarrow\quad t(t+1)=0\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin\begin &t=0\\ &t=-1\end\end\right.\] Следовательно, \[\left[\begin\begin &\log_2(\sin x)=0\\ &\log_2(\sin x)=-1 \end\end\right.\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin\begin &\sin x=2^0=1\\[1ex] &\sin x=2^=\dfrac12 \end\end\right.\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin\begin &x_1=\dfrac<\pi>2+2\pi n\\[2ex] &x_2=\dfrac<\pi>6+2\pi m\\[2ex] &x_3=\dfrac<5\pi>6+2\pi k \end\end\right.\] \(n,m,k\in\mathbb\) .
Вернемся к ОДЗ. По ОДЗ \(x\ne \dfrac<\pi>6+2\pi l\) и \(x\ne -\dfrac<\pi>6+2\pi p\) , \(l,p\in\mathbb\) .
Таким образом мы видим, что серия корней \(x_2\) не подходит под ОДЗ, значит, не будет входить в ответ.
Ответом будут являться серии \(x_1\) и \(x_3\) .
б) Отберем корни. 1) \(\dfrac<\pi>2\leqslant \dfrac<\pi>2+2\pi n\leqslant 2\pi \quad\Leftrightarrow\quad 0\leqslant n\leqslant \dfrac34\quad\Rightarrow\quad n=0\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac<\pi>2\) 2) \(\dfrac<\pi>2\leqslant \dfrac<5\pi>6+2\pi k\leqslant 2\pi \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac16\leqslant k\leqslant \dfrac7\quad\Rightarrow\quad k=0\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac<5\pi>6\)
Читайте также: