Являются ли высказываниями следующие утверждения установить истинны они или ложны
Обновлено: 04.11.2024
Понятие высказывания является основным неопределяемым понятием математической логики. Под высказыванием понимают любое повествовательное предложение, о котором можно сказать истинно оно или ложно в данных условиях места и времени. Логическое значение высказывания «истина» («ложь») обозначается или буквой и, (л) или цифрой 1, (0). Высказывания обычно обозначают малыми латинскими буквами.
Отрицанием высказывания а называется высказывание , которое истинно, если а ложно, и ложно, если а истинно. Высказывание читается так: «Не а». Таблица истинности для имеет вид:
а |
1 |
Конъюнкцией высказываний а,b называется высказывание a b (а&b), которое истинно, если а и Ъ истинны и ложно, если хотя бы одно из них ложно. Высказывание а b читается: «а и b».
Дизъюнкцией высказываний а,b называется высказывание a b, которое истинно, если хотя бы одно из высказываний а или 6 истинно, и ложно, если оба они ложны. Читается: «a или b».
Импликацией высказываний а,b называется высказывание а b , которое ложно, если а истинно и b ложно, и истинно во всех остальных случаях. Читается: «Если а, то b».
Эквивалентностью (или эквиваленцией) высказываний а,b называется высказывание а b, которое истинно, если оба высказывания а и 6 одновременно истинны или ложны, и ложно во всех остальных случаях. Читается: «а тогда и только тогда, когда b».
Таблица истинности для этих логических операций такова:
а | b | a b | a b | а b | а b |
Все высказывания можно разделить на простые (или элементарные) и составные (или сложные).
Всякое сложное высказывание, которое может быть получено из элементарных высказываний посредством применения выше определенных пяти логических операций, называется формулой алгебры логики.
Формулы алгебры логики будем обозначать большими латинскими буквами. Логические значения формулы при различных комбинациях значений входящих в нее высказываний можно описать посредством таблицы, которая называется таблицей истинности формулы.
Формула А, всегда истинная, называется тождественно истинной формулой или тавтологией и записывается А 1. Формула В, всегда ложная, называется тождественно ложной формулой и записывается B 0.
Пример 1. Среди следующих предложений выделить высказывания, установить, истинны они или ложны:
1) река Волхов впадает в озеро Ильмень;
2) всякий человек имеет брата;
3) пейте томатный сок!;
4) существует человек, который моложе своего отца;
6) ни один человек не весит более 1000 кг;
8) для всех действительных чисел х и у верно равенство х+у=у+х;
10) x 2 -7x+ 12 = 0.
Решение. Легко видеть, что высказывания 4), 6), 8) - истинные, а высказывания 1), 2), 7) - ложные. Предложения 3), 5), 9), 10) не являются высказываниями.
Пример 2. Пусть a - высказывание «Студент Иванов изучает английский язык», b - высказывание «Студент Иванов успевает по математической логике». Дать словесную формулировку высказываний:
1) ; 2) ; 3) .
Решение. а) «Студент Иванов изучает английский язык и не успевает по математической логике»; б) «Если студент Иванов изучает английский язык, то он успевает по математической логике»; в) «Студент Иванов не успевает по математической логике тогда и только тогда, когда он не изучает английский язык».
Пример 3. Доставить таблицу истинности для высказывания .
Решение. Таблица истинности для высказывания имеет вид:
а | b |
1.1. Какие из следующих предложений являются высказываниями:
1) Москва - столица России;
2) студент физико-математического факультета;
4) Луна есть спутник Марса;
1.2.Приведите примеры предложений, а) являющихся высказываниями; б) не являющихся высказываниями.
1.3. Верны ли утверждения:
1) сумма корней приведенного квадратного уравнения равна свободному члену;
2) сумма корней любого приведенного квадратного уравнения равна свободному члену;
3) существует приведенное квадратное уравнение, сумма корней которого равна свободному члену?
1.4. Установите, истинно или ложно высказывание:
5) , где P(N)- множество всех подмножеств множества N;
6) ;
7) < >;
10) N;
1.5. Является ли высказыванием следующее предложение: «Это предложение ложно»?
1.6. Среди следующих высказываний указать элементарные и составные. В составных высказываниях выделить грамматические связки:
1) число 27 не делится на 3;
2) число 15 делится на 5 и на 3;
3) если число 126 делится на 9, то оно делится на 3;
4) число 7 является делителем числа 42;
5) число 1269 делится на 9 тогда и только тогда, когда 18 делится на 9.
1.7. Обозначьте элементарные высказывания буквами и запишите следующие высказывания с помощью символов алгебры логики:
1) 45 кратно 3 и 42 кратно 3;
2) 45 кратно 3 и 12 не кратно 3;
5) если число 212 делится на 3 и 4, то оно делится на 12;
6) число 212 - трехзначное и кратно 3 или 4.
1.8. Пусть р и q обозначают высказывания:
р - «Я учусь в школе»,
q - «Я люблю математику».
Прочтите следующие сложные высказывания:
1) ; 2) 3) p&q ; 4) p& ; 5) &q ; 6) & ; 7) .
1.9. Какие из следующих импликаций истинны:
1) если 2x2 = 4, то 2<3;
2) если 2x2 = 4, то 2>3;
3) если 2x2 = 5, то 2<3;
4) если 2x2 = 5, то 2>3?
1.10. Выясните, в каких случаях приведенные ниже данные противоречивы:
1) a = 1, а&b = 0; 2) a = 1,a b =0;
3) а = 1, а&b = 1; 4) а = 1, a b = l;
5) a = 0, а&b = 1; 6) а = 0, a b = 1;
7) а = 0, a&b = 0; 8) а = 0, a b = 0.
1.11. Пусть x, x', y, у' означают соответственно «7 -простое число», «7 - составное число», «8 - простое число», «8 - составное число»:
1) какие из предложений х&у, х&у', х'&у, х'&у' истинны и какие ложны?;
2) то же с заменой конъюнкции на дизъюнкцию;
3) то же для предложений .
1.12. Проверить, не составляя таблиц истинности, являются ли следующие формулы тождественно истинными:
1.13. Найдите логические значения х и у, при которых выполняются равенства:
1.14.
1) Известно, что импликация х у истинна, а эквивалентность х у ложна. Что можно сказать о значении импликации у х?
2) Известно, что эквивалентность х у истинна. Что можно сказать о значении и ?
3) Известно, что х имеет значение 1. Что можно сказать о значениях импликации ; ?
4) Известно, что у имеет значение 1. Что можно
сказать о значениях ; ; ?
1.15. Пусть x = 0, у = 1, z = 1. Определить логические значения нижеследующих сложных высказываний:
1.16. Показать, что логические связки , , , , где л - фиксированное ложное высказывание, имеют ту же таблицу истинности, что и импликация .
1.17.
1) Постройте с помощью отрицания и дизъюнкции формулу, таблица истинности для которой совпадала бы с таблицей для импликации.
2) Аналогично этому постройте с помощью отрицания и импликации формулу, таблица для которой совпадает с таблицей для дизъюнкции, ивторую формулу с таблицей, совпадающей с таблицей для конъюнкции.
1.18.Составить таблицы истинности для формул:
1.19.Установить, какие из следующих формул являются тождественно истинными, тождественно ложными:
§ 2. Равносильные формулы алгебры логики
Определение.Две формулы алгебры логики А иБ называются равносильными, если онипринимают одинаковые логические значения на любом наборе значений
Читайте также: