Высказывание истинность которого устанавливается посредством рассуждения называется
Обновлено: 04.11.2024
С логической точки зрения теорема представляет собой высказывание вида А Þ В, где А и В - высказывательные формы с одной или несколькими переменными. Предложение А называют условием теоремы, а предложение В - ее заключением.
Например, условием теоремы «если четырехугольник является прямоугольником, то в нем диагонали равны» является предложение «четырехугольник - прямоугольник», а заключением - предложений «в таком четырехугольнике диагонали равны».
Рассмотрим, например, теорему: «если четырехугольник является прямоугольником, в нем диагонали равны». Построим предложение, обратное данному «если в четырехугольнике диагонали равны, то четырехугольник является прямоугольником». Это высказывание ложное, в чем можно убедиться, приведяконтрпример: в равнобедренной трапеции диагонали равны, но трапеция не является прямоугольником.
Рассмотрим теперь теорему «в равнобедренном треугольнике углы при основании равны». Обратное ей предложение таково: «если в треугольнике углы при основании равны, то этот треугольник - равнобедренный». Оно, как известно, истинное и поэтому является теоремой. Ее называют теоремой, обратной данной.
Замечание.В том случае, если предложение, обратное данному, будет истинно, его называют теоремой, обратной данной.
Замечание. Для всякой теоремы вида «если А, то В» можно сформулировать предложение «если не А, то не В», которое называют противоположным данному.
Например, предложение, противоположное теореме «если четырехугольник является прямоугольником, то в нем диагонали равны», будет ложным: «если четырехугольник не является прямоугольником, то в нем диагонали не равны».
Замечание. В том случае, если предложение, противоположное данному, будет истинно, его называют теоремой, противоположной данной.
Таким образом, если для теоремы А Þ В сформулировать обратное или противоположное предложения, то их надо доказывать (и тогда их можно называть соответственно обратной и противоположной теоремами) или опровергать.
Замечание. Для всякой теоремы вида «если А, то В» можно сформулировать предложение «если не В, то не А», которое называют обратным противоположному.
Например, для теоремы «если четырехугольник является прямоугольником, то в нем диагонали равны» предложение, обратное противоположному, будет таким: «если в четырехугольнике диагонали не равны, то он (четырехугольник) не является прямоугольником». Это, как известно, предложение истинное и, следовательно, является теоремой. Ее называют обратно противоположной данной.
Замечание. Для какой бы теоремы мы ни формулировали предложение обратное противоположному, оно всегда будет теоремой, потому имеется следующая равносильность (А Þ В) Û ( Þ ).
Эту равносильность называют законом контрапозиции. Мы принимаем его без доказательства. Согласно этому закону,
Закон контрапозиции. Предложение, обратно противоположное какой-либо теореме, также является теоремой, и, значит, вместо данной теоремы можно доказывать теорему, обратно противоположную данной.
Вопрос
Вопрос
Читайте также: