Высказывание истинно тогда и только тогда когда и в истинны одновременно
Обновлено: 04.11.2024
Простые и сложные высказывания, логические переменные и логические константы, логическое отрицание, логическое умножение, логическое сложение, таблицы истинности для логических операций
Для автоматизации информационных процессов необходимо уметь не только единообразно представлять информацию различных видов (числовую, текстовую, графическую, звуковую) в виде последовательностей нулей и единиц, но и определять действия, которые можно выполнять над информацией. Выполнение таких действий производится в соответствии с правилами, которым подчиняется процесс мышления. Говоря иначе, в соответствии с законами логики. Термин «логика» образован от древнегреческого слова 1 о§ 08 , означающего «мысль, рассуждение, закон». Наука логика изучает законы и формы мышления, способы доказательств.
Для описания рассуждений и правил выполнения действий с информацией используют специальный язык, принятый в математической логике. В основе рассуждений содержатся специальные предложения, называемые высказываниями. В высказываниях всегда что-либо утверждается или отрицается об объектах, их свойствах и отношениях между объектами. Высказыванием является любое суждение, относительно которого можно сказать, истинно оно или ложно. Высказываниями могут быть только повествовательные предложения. Вопросительные или побудительные предложения высказываниями не являются.
Высказывание — суждение, сформулированное в виде повествовательного предложения, о котором можно сказать, истинно оно или ложно.
Например, вопросительные предложения «В каком году было первое летописное упоминание о Москве?» и «Что является внешней памятью компьютера?» или побудительное предложение «Соблюдайте правила техники безопасности в компьютерном классе» высказываниями не являются. Повествовательные предложения «Первое летописное упоминание о Москве было в 1812 г.», «Оперативное запоминающее устройство является внешней памятью компьютера» и «В компьютерном классе не надо соблюдать правила техники безопасности» являются высказываниями, поскольку это суждения, о каждом из которых можно сказать, что оно ложно. Истинными высказываниями будут суждения «Первое летописное упоминание о Москве было в 1147 г.», «Жесткий магнитный диск является внешней памятью компьютера».
Каждому высказыванию соответствует только одно из двух значений: или «истина», или «ложь», которые являются логическими константами. Истинное значение принято обозначать цифрой 1, а ложное значение — цифрой 0. Высказывания можно обозначать с помощью логических переменных, в качестве которых используются заглавные латинские буквы. Логические переменные могут принимать только одно из двух возможных значений: «истина» или «ложь». Например, высказывание «Информация в компьютере кодируется с помощью двух знаков» можно обозначить логической переменной А, а высказывание «Принтер является устройством хранения информации» можно обозначить логической переменной В. Поскольку первое высказывание соответствует действительности, то А = 1. Такая запись означает, что высказывание А истинно. Так как второе высказывание не соответствует действительности, то В = 0. Такая запись означает, что высказывание в ложно.
Высказывания могут быть простыми и сложными. Высказывание называется простым, если никакая его часть не является высказыванием. До сих пор были приведены примеры простых высказываний, которые обозначались логическими перемены ми. Выстраивая цепочку рассуждений, человек с помощью логических операций объединяет простые высказывания в сложнее' высказывания. Чтобы узнать значение сложного высказывания нет необходимости вдумываться в его содержание. Достаточно знать значение простых высказываний, составляющих сложное высказывание, и правила выполнения логических операций.
Логическая операция — действие, позволяющее составлять сложное высказывание из простых высказываний.
Все рассуждения человека, а также работа современных технических устройств основываются на типовых действиях с информацией — трех логических операциях: логическом отрицании (инверсии), логическом умножении (конъюнкции) и логическом сложении (дизъюнкции).
Логическое отрицание простого высказывания получают добавлением слов «Неверно, что» в начале простого высказывания.
■ ПРИМЕР 1. Имеется простое высказывание «Крокодилы умеют летать». Результатом логического отрицания будет высказывание «Неверно, что крокодилы умеют летать». Значение исходного высказывания — «ложь», а значение нового — «истина».
■ ПРИМЕР 2. Имеется простое высказывание «Файл должен иметь имя». Результатом логического отрицания будет высказывание «Неверно, что файл должен иметь имя». Значение исходного высказывания — «истина», а значение нового высказывания — «ложь».
Можно заметить, что логическое отрицание высказывания истинно, когда исходное высказывание ложно, и наоборот, логическое отрицание высказывания ложно, когда исходное высказывание истинно.
Логическое отрицание (инверсия) — логическая операция, ставящая в соответствие простому высказыванию новое высказывание, значение которого противоположно значению исходного высказывания.
Обозначим простое высказывание логической переменной А. Тогда логическое отрицание этого высказывания будем обозначать НЕ А. Запишем все возможные значения логической переменной А и соответствующие результаты логического отрицания НЕ А в виде таблицы, которая называется таблицей истинности для логического отрицания (табл. 40).
ТАБЛИЦА ИСТИННОСТИ ДЛЯ ЛОГИЧЕСКОГО ОТРИЦАНИЯ
Если/1 = 0, то НЕ А = 1 (см. пример 1).
Если А = 1, то НЕ А = 0 (см. пример 2)
Можно заметить, что в таблице истинности для логического отрицания ноль меняется на единицу, а единица меняется на ноль.
Логическое умножение двух простых высказываний получают объединением этих высказываний с помощью союза и. Разберем на примерах 3—6, что будет являться результатом логического умножения.
■ ПРИМЕР 3. Имеются два простых высказывания. Одно высказывание — «Карлсон живет в подвале». Другое высказывание — «Карлсон лечится мороженым».
Результатом логического умножения этих простых высказываний будет сложное высказывание «Карлсон живет в подвале, и Карлсон лечится мороженым». Можно сформулировать новое высказывание более кратко: «Карлсон живет в подвале и лечится мороженым». Оба исходных высказывания ложны. Значение нового сложного высказывания также «ложь».
■ ПРИМЕР 4. Имеются два простых высказывания. Первое высказывание — «Карлсон живет в подвале». Второе высказывание — «Карлсон лечится вареньем».
Результатом логического умножения этих простых высказываний будет сложное высказывание «Карлсон живет в подвале и лечится вареньем». Первое исходное высказывание ложно, а второе истинно. Значение нового сложного высказывания — «ложь».
■ ПРИМЕР 5. Имеются два простых высказывания. Первое высказывание — «Карлсон живет на крыше». Второе высказывание — «Карлсон лечится мороженым».
Результатом логического умножения этих простых высказываний будет сложное высказывание «Карлсон живет на крыше и лечится мороженым». Первое исходное высказывание истин но, а второе ложно. Значение нового сложного высказывания «ложь».
* ПРИМЕР б . Имеются два простых высказывания. Одно высказывание — «Карлсон живет на крыше». Другое высказывание «Карлсон лечится вареньем».
Результатом логического умножения этих простых высказываний будет сложное высказывание «Карлсон живет на крыше и лечится вареньем». Оба исходных высказывания истинны. Зпачение нового сложного высказывания также «истина».
Можно заметить, что логическое умножение двух высказываний истинно только в одном случае — когда оба исходных высказывания истинн ы.
Логическое умножение (конъюнкция) — логическая операция, ставящая в соответствие двум простым высказываниям новое высказывание, значение которого истинно тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны.
Читайте также: