Выражение работы внешних сил через внутренние усилия в стержнях
Обновлено: 22.12.2024
Если нагруженное тело находится в равновесии, то внутренние силы равны по значению внешним силам и противоположны им по направлению. Очевидно, что они препятствуют развитию деформации. Работа внутренних сил (U), с учетом их направления по отношению к деформации, всегда является отрицательной.
Работа внешних сил равна взятой с обратным знаком работе внутренних сил :
.
Пусть элемент стержня длиной испытывает растяжение (рис. 15.3, а).
Действие отброшенных частей стержня на рассматриваемый элемент заменим продольными силами N. Эти усилия показаны на рисунке штриховыми линиями. По отношению к элементу они являются как бы внешними. Вызываемое ими удлинение элемента равно: .
Действие рассматриваемого элемента на отброшенные части показано на рисунке сплошными линиями. Элементарная работа внутренних продольных сил, постепенно увеличивающихся, и противодействующих развитию удлинения, согласно теореме Клапейрона, выразится формулой: .
Элементарная работа внутренних поперечных сил (
При чистом сдвиге касательные напряжения равномерно распределены по всему сечению и определяются по формуле: .
Абсолютный сдвиг правого сечения элемента по отношению к левому сечению, с учетом закона Гука, равен: ,
тогда .
При поперечном изгибе касательные напряжения распределены по сечению неравномерно. В этом случае выражение для элементарной работы внутренних перерезывающих сил может быть представлено в виде: , где k – коэффициент, зависящий от формы поперечного сечения стержня. Например, для прямоугольного поперечного сечения .
Элементарная работа внутренних усилий при кручении
Поворот правого сечения элемента по отношению к левому сечению, происходящий под действием внешних по отношению к нему крутящих моментов (), показанных (см. рис. 15.3, в) штриховыми линиями, равен: .
Тогда работа внутренних крутящих моментов (они на рисунке не показаны) на этом угле поворота определяется по формуле: .
Пусть теперь элемент стержня испытывает изгиб. И пусть его правое поперечное сечение повернется на угол поворота по отношению к левому сечению (см. рис. 15.3, г).
Тогда внутренние изгибающие моменты, показанные (см. рис. 15.3, г) сплошными линиями, совершат на этом угле поворота работу:
.
При одновременном растяжении, кручении и прямом поперечном изгибе стержня (с учетом того, что работа каждого из внутренних усилий на перемещениях, вызываемых остальными усилиями, равна нулю) получим следующее выражение для элементарной работы внутренних сил упругости:
.
Интегрируя выражение по всей длине стержня, окончательно получим формулу работы внутренних сил :
.
Читайте также: