Выражение матрицы поворота через углы эйлера
Обновлено: 22.12.2024
Матричное описание вращения твёрдого тела упрощает многие операции; однако, для того, чтобы полностью описать ориентацию вращающегося твёрдого тела, необходимо использовать все девять элементов матрицы поворота.
Непосредственно эти элементы не составляют полной системы обобщённых координат, с помощью которых можно описать ориентацию вращающегося твёрдого тела относительно абсолютной системы координат.В качестве обобщённых координат можно использовать углы Эйлера j, q и y.
Таблица 3.1. Три системы углов Эйлера
| 1 | 2 | 3 | |
| Последова-тельность поворотов | На j вокруг оси OZ | На j вокруг оси OZ | На y вокруг оси OX |
| На q вокруг оси OU | На q вокруг оси OV | На q вокруг оси OY | |
| На y вокруг оси OW | На y вокруг оси OW | На j вокруг оси OZ |
Первая из систем углов Эйлера обычно используется при описании движения гироскопов и соответствует следующей последовательности поворотов (рис. 3.2):
1. Поворот на угол j вокруг оси OZ (Rz,).
2. Поворот на угол q вокруг повёрнутой оси OU (Ru,q).
3. Поворот на угол y вокруг повёрнутой оси OW (Rw,y).
Рисунок 3.2. Первая система углов Эйлера
Результирующая матрица поворота имеет следующий вид:
Rj,q,y = R z,j ?R u,q ?R w,y = =
Поворот, описываемый матрицей Rj,q,y , может быть также получен в результате выполнения последовательности следующих поворотов вокруг осей неподвижной системы координат: сначала на угол y вокруг оси OZ , затем на угол q вокруг оси OX, затем на угол j вокруг оси OZ.
На рисунке 3.3 показана вторая система углов Эйлера, определяемая следующей последовательностью поворотов:
Поворот на угол j вокруг оси OZ (Rz,j).2. Поворот на угол q вокруг оси OV (Rv,q).
3. Поворот на угол y вокруг повёрнутой оси OW (Rw,y).
Результирующая матрица поворота имеет следующий вид:
Rj,q,y = R z,j ?R v,q ?R w,y = =
Поворот, описываемый матрицей Rj,q,y для этой системы углов Эйлера, может быть получен также в результате выполнения последовательных поворотов: на угол y вокруг оси OZ, на угол q вокруг оси OY, на угол j вокруг оси OZ.
Рисунок 3.3. Вторая система углов Эйлера
Ещё одну систему углов Эйлера составляют так называемые углы крена, тангажа и рыскания. Эти углы обычно применяются в авиации для описания движения самолётов.
Они соответствуют следующей последовательности поворотов:
1. Поворот на угол y вокруг оси OX (R x,y ) – рыскание.
2. Поворот на угол q вокруг оси OY (R y,q ) – тангаж.
3. Поворот на угол j вокруг оси OZ (R z,j ) – крен.
Результирующая матрица поворота имеет вид:
Rj,q,y = R z,j ?R y,q ?R x,y ==
Поворот, описываемый матрицей Rj,q,y в переменных «крен, тангаж, рыскание» может быть также получен в результате выполнения следующей последовательности поворотов вокруг осей абсолютной и подвижной систем координат: на угол j вокруг оси OZ, затем на угол q вокруг повёрнутой оси OV, на угол y вокруг повёрнутой оси OU (продольная ось аппарата – Z) (рис. 3.4).
Читайте также: