Выражение энтропии через параметры состояния

Обновлено: 05.11.2024

В этой статье мы расскажем, что такое энтропия идеального газа и в чем заключается ее физический смысл. Начнем с определения.

Энтропия – это функция состояния системы ( S ) с дифференциалом в бесконечном обратимом процессе, равным d S = δ Q T .

Параметр δ Q обозначает элементарное тепло, которое сообщается системе. Соответственно, T – это общая температура системы.

Если у системы в обратимом процессе изменяется знак энтропии, то это говорит о смене направления обмена теплом. Основная формула дает нам возможность найти, на сколько изменилась величина энтропии. Важно подчеркнуть, что она будет верной только в том случае, если процесс будет обратим.

В чем состоит физический смысл энтропии

Свойства идеального газа таковы, что с их помощью удобно пояснять физический смысл энтропии. Допустим, у нас есть один моль некоторого газа, для которого мы можем записать первое правило термодинамики (в дифференциальной форме):

δ Q = d U + p d V .

Выполним деление левой и правой части выражения на температуру. У нас получится, что:

δ Q T = d U T + p d V T = c μ V d T T + p d V T .

Здесь c μ V = i 2 R . С помощью уравнения Менделеева-Клайперона мы можем выразить из него p T и получить:

p V = R T → p T = R V .

Подставляем это в исходное выражение:

δ Q T = c м V d T T + R d V V = d c м V ln T + R ln V .

Правая часть уравнения у нас получилась полностью дифференциальной, значит, и слева тоже должен быть полный дифференциал. Назовем его d S . С помощью одной из приведенных выше формул вычислим ∆ S в изотермическом процессе. Если температура остается постоянной, то и внутренняя энергия системы также остается прежней. Получаем следующее:

d S = R d ln V → ∫ ( 1 ) ( 2 ) d S = R ∫ ( 1 ) ( 2 ) d ln V = S 2 - S 1 = R ln V 2 V 1 .

Нам известно, что объем, занимаемый газом в равновесном состоянии, связан с количеством пространственных микросостояний частиц формулой Г 0 = N ! N - n ! ( Г 0 – общее количество микросостояний, N – количество ячеек, в которые помещены частица системы, n – общее количество частиц). Поскольку исходный объем идеального газа равен одному молю, то n = N A . Выведем формулу объемов V 1 и V 2 из выражения выше. Она будет иметь следующий вид:

Г 01 = N 1 ! N 1 - N A ! , Г 02 = N 2 ! N 2 - N A ! .

Здесь N 1 = V 1 l 3 , N 1 = V 2 l 3 , l = 10 - 10 м .

Для дальнейших преобразований нам потребуется формула Стирлинга (для больших n , n ! ≈ N 2 N 1 N A = V 2 V 1 N A ):

Г 02 Г 01 ≈ N 2 N 1 N A = V 2 V 1 N A .

Берем логарифм от этого выражения и получаем:

ln V 2 V 1 = 1 N A ln Г 02 Г 01 .

Таким образом, S 2 - S 1 = R ln V 2 V 1 = R N A ln Г 02 Г 01 = k ln Г 02 - k ln Г 01 .

Здесь параметр k обозначает постоянную Больцмана.

Нужна помощь преподавателя? Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут! Описать задание

Формула Больцмана

Сам вид формулы энтропии говорит нам о том, что она может быть определена через логарифм числа микросостояний, образующих макросостояние, рассматриваемое как S = k ln Г .

Выведенное выше равенство называется формулой Больцмана. Она позволяет сделать вывод, что чем больше упорядоченность системы, тем меньше в ней микросостояний, с помощью которых достигается макросостояние. Поэтому энтропия является мерой упорядоченности системы. Максимальная энтропия достигается в состоянии упорядоченности.

Энтропия является аддитивной величиной. При S = c o n s t процесс называется изоэнтропийным. Если система является физически однородной, то ее энтропия выражается как функция двух независимых параметров состояния (масса считается постоянной).

Условие: есть идеальный газ, в котором происходит изотермическое расширение, при этом объем меняется от V 1 до V 1 . При этом температура системы в первом процессе равна T 1 , а во втором T 2 , причем вторая температура меньше, чем первая. Определите, как будет меняться значение энтропии.

Решение

Зная основное определение энтропии и обратимость процессов в идеальном газе, мы можем использовать формулу для вычисления ∆ S при постоянной температуре.

∆ S = ∫ ( 1 ) ( 2 ) δ Q T = 1 T ∫ ( 1 ) ( 2 ) δ Q .

Идеальный газ в физике – это понятие, подразумевающее, что мы можем пренебречь взаимодействием между его молекулами. Если V = c o n s t , то работа идеального газа равна 0 .

Обратимся к первому правилу термодинамики, зная, что при постоянной температуре d U = 0 :

Выражаем давление из уравнения Менделеева-Клайперона:

p V = ν R T → p = v R T V .

Подставляем в исходную формулу и получаем:

∆ S = 1 T ∫ ( 1 ) ( 2 ) н R T V d V = R T н T ∫ ( 1 ) ( 2 ) d V V = v R ln V 2 V 1

Ответ: поскольку не существует зависимости энтропии от температуры в изотермическом процессе, то в заданных условиях оба процесса будут иметь одинаковую энтропию.

Пример 2

Условие: на рисунке схематично обозначены обратимые процессы. Сопоставьте, какие количества теплоты будут поглощаться системой в ходе обеих процессов.

Формула Больцмана

Решение

Данная задача решается на основе определения энтропии для обратимых процессов.

Выражаем показатель δ Q из уравнения, выведенного ранее, и получаем:

Для определения объема подведенного к системе тепла нам нужно проинтегрировать выражение:

∆ Q = ∫ S 1 S 2 T d S .

Теперь, используя геометрическое свойство интеграла (по площади) и рисунок, мы можем подытожить, что площадь, ограниченная кривой процесса, изоэнтропами, перпендикулярными S , и осью S , больше площади для процесса 2 , значит, Q I > Q I I .

Ответ: в первом процессе поглощается большее количество теплоты, чем в во втором.

Читайте также: