Выражение энтропии через параметры состояния
Обновлено: 22.12.2024
В этой статье мы расскажем, что такое энтропия идеального газа и в чем заключается ее физический смысл. Начнем с определения.
Энтропия – это функция состояния системы ( S ) с дифференциалом в бесконечном обратимом процессе, равным d S = δ Q T .
Параметр δ Q обозначает элементарное тепло, которое сообщается системе. Соответственно, T – это общая температура системы.
Если у системы в обратимом процессе изменяется знак энтропии, то это говорит о смене направления обмена теплом. Основная формула дает нам возможность найти, на сколько изменилась величина энтропии. Важно подчеркнуть, что она будет верной только в том случае, если процесс будет обратим.
В чем состоит физический смысл энтропии
Свойства идеального газа таковы, что с их помощью удобно пояснять физический смысл энтропии. Допустим, у нас есть один моль некоторого газа, для которого мы можем записать первое правило термодинамики (в дифференциальной форме):
δ Q = d U + p d V .
Выполним деление левой и правой части выражения на температуру. У нас получится, что:
δ Q T = d U T + p d V T = c μ V d T T + p d V T .
Здесь c μ V = i 2 R . С помощью уравнения Менделеева-Клайперона мы можем выразить из него p T и получить:
p V = R T → p T = R V .
Подставляем это в исходное выражение:
δ Q T = c м V d T T + R d V V = d c м V ln T + R ln V .
Правая часть уравнения у нас получилась полностью дифференциальной, значит, и слева тоже должен быть полный дифференциал. Назовем его d S . С помощью одной из приведенных выше формул вычислим ∆ S в изотермическом процессе. Если температура остается постоянной, то и внутренняя энергия системы также остается прежней. Получаем следующее:
d S = R d ln V → ∫ ( 1 ) ( 2 ) d S = R ∫ ( 1 ) ( 2 ) d ln V = S 2 - S 1 = R ln V 2 V 1 .
Нам известно, что объем, занимаемый газом в равновесном состоянии, связан с количеством пространственных микросостояний частиц формулой Г 0 = N ! N - n ! ( Г 0 – общее количество микросостояний, N – количество ячеек, в которые помещены частица системы, n – общее количество частиц). Поскольку исходный объем идеального газа равен одному молю, то n = N A . Выведем формулу объемов V 1 и V 2 из выражения выше. Она будет иметь следующий вид:
Г 01 = N 1 ! N 1 - N A ! , Г 02 = N 2 ! N 2 - N A ! .
Здесь N 1 = V 1 l 3 , N 1 = V 2 l 3 , l = 10 - 10 м .
Для дальнейших преобразований нам потребуется формула Стирлинга (для больших n , n ! ≈ N 2 N 1 N A = V 2 V 1 N A ):
Г 02 Г 01 ≈ N 2 N 1 N A = V 2 V 1 N A .
Берем логарифм от этого выражения и получаем:
ln V 2 V 1 = 1 N A ln Г 02 Г 01 .
Таким образом, S 2 - S 1 = R ln V 2 V 1 = R N A ln Г 02 Г 01 = k ln Г 02 - k ln Г 01 .
Здесь параметр k обозначает постоянную Больцмана.
Нужна помощь преподавателя? Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут! Описать заданиеФормула Больцмана
Сам вид формулы энтропии говорит нам о том, что она может быть определена через логарифм числа микросостояний, образующих макросостояние, рассматриваемое как S = k ln Г .
Выведенное выше равенство называется формулой Больцмана. Она позволяет сделать вывод, что чем больше упорядоченность системы, тем меньше в ней микросостояний, с помощью которых достигается макросостояние. Поэтому энтропия является мерой упорядоченности системы. Максимальная энтропия достигается в состоянии упорядоченности.
Энтропия является аддитивной величиной. При S = c o n s t процесс называется изоэнтропийным. Если система является физически однородной, то ее энтропия выражается как функция двух независимых параметров состояния (масса считается постоянной).
Условие: есть идеальный газ, в котором происходит изотермическое расширение, при этом объем меняется от V 1 до V 1 . При этом температура системы в первом процессе равна T 1 , а во втором T 2 , причем вторая температура меньше, чем первая. Определите, как будет меняться значение энтропии.
Решение
Зная основное определение энтропии и обратимость процессов в идеальном газе, мы можем использовать формулу для вычисления ∆ S при постоянной температуре.
∆ S = ∫ ( 1 ) ( 2 ) δ Q T = 1 T ∫ ( 1 ) ( 2 ) δ Q .
Идеальный газ в физике – это понятие, подразумевающее, что мы можем пренебречь взаимодействием между его молекулами. Если V = c o n s t , то работа идеального газа равна 0 .
Обратимся к первому правилу термодинамики, зная, что при постоянной температуре d U = 0 :
Выражаем давление из уравнения Менделеева-Клайперона:
p V = ν R T → p = v R T V .
Подставляем в исходную формулу и получаем:
∆ S = 1 T ∫ ( 1 ) ( 2 ) н R T V d V = R T н T ∫ ( 1 ) ( 2 ) d V V = v R ln V 2 V 1
Ответ: поскольку не существует зависимости энтропии от температуры в изотермическом процессе, то в заданных условиях оба процесса будут иметь одинаковую энтропию.
Пример 2Условие: на рисунке схематично обозначены обратимые процессы. Сопоставьте, какие количества теплоты будут поглощаться системой в ходе обеих процессов.
Решение
Данная задача решается на основе определения энтропии для обратимых процессов.
Выражаем показатель δ Q из уравнения, выведенного ранее, и получаем:
Для определения объема подведенного к системе тепла нам нужно проинтегрировать выражение:
∆ Q = ∫ S 1 S 2 T d S .
Теперь, используя геометрическое свойство интеграла (по площади) и рисунок, мы можем подытожить, что площадь, ограниченная кривой процесса, изоэнтропами, перпендикулярными S , и осью S , больше площади для процесса 2 , значит, Q I > Q I I .
Ответ: в первом процессе поглощается большее количество теплоты, чем в во втором.
Читайте также: