Выражение длины вектора через его координаты в ортонормированном базисе

Обновлено: 22.12.2024

Получим формулу для вычисления скалярного произведения по координатам сомножителей в ортонормированном базисе.

Если векторы в ортонормированном базисе заданы своими координатами , , то скалярное произведение равно:

Длина вектора a ( ) заданного координатами в ортонормированном базисе , , вычисляется по формуле

Координаты вектора в ортонормированном базисе:

Любой вектор трехмерного пространства можно единственным способом разложить по ортонормированному базису :
, где – координаты вектора (числа) в данном базисе.

Аналогично плоскому случаю, помимо записи широко используются версии со скобками: либо .

Если в разложении отсутствует один (или два) координатных вектора, то вместо них ставятся нули. Примеры:
вектор (дотошно ) – запишем ;
вектор (дотошно ) – запишем ;
вектор (дотошно ) – запишем .

Базисные векторы записываются следующим образом:

Метод ортогонализации Шмидта

Для справки:

Множество векторов называется ортогональной системой векторов (или системой попарно ортогональных векторов), если любые два ее вектора ортогональны (относительно данного скалярного произведения).

Всякая упорядоченная ортогональная система из n ненулевых векторов n-мерного евклидова векторного пространства образует его базис. Такой базис называется ортогональным.

Базис евклидово векторного пространства < V, g > называется ортонормированным, если все его векторы - попарно ортогональные орты (относительно скалярного произведения g).

Ответ:

Теорема: - евклидово пространство, dim =n в существует ортонормированный базис.

Теорема: В любом ненулевом конечномерном евклидовом векторном пространстве существует ортонормированный базис.

Читайте также: