Выражение длины вектора через его координаты в ортонормированном базисе
Обновлено: 30.06.2024
Получим формулу для вычисления скалярного произведения по координатам сомножителей в ортонормированном базисе.
Если векторы в ортонормированном базисе заданы своими координатами , , то скалярное произведение равно:
Длина вектора a ( ) заданного координатами в ортонормированном базисе , , вычисляется по формуле
Координаты вектора в ортонормированном базисе:
Любой вектор трехмерного пространства можно единственным способом разложить по ортонормированному базису :
, где – координаты вектора (числа) в данном базисе.
Аналогично плоскому случаю, помимо записи широко используются версии со скобками: либо .
Если в разложении отсутствует один (или два) координатных вектора, то вместо них ставятся нули. Примеры:
вектор (дотошно ) – запишем ;
вектор (дотошно ) – запишем ;
вектор (дотошно ) – запишем .
Базисные векторы записываются следующим образом:
Метод ортогонализации Шмидта
Для справки:
Множество векторов называется ортогональной системой векторов (или системой попарно ортогональных векторов), если любые два ее вектора ортогональны (относительно данного скалярного произведения).
Всякая упорядоченная ортогональная система из n ненулевых векторов n-мерного евклидова векторного пространства образует его базис. Такой базис называется ортогональным.
Базис евклидово векторного пространства < V, g > называется ортонормированным, если все его векторы - попарно ортогональные орты (относительно скалярного произведения g).
Ответ:
Теорема: - евклидово пространство, dim =n в существует ортонормированный базис.
Теорема: В любом ненулевом конечномерном евклидовом векторном пространстве существует ортонормированный базис.
Читайте также: