В балансовой модели с помощью выражения описываются

Обновлено: 04.11.2024

Модели данного класса регулярно строятся во многих странах мира. С их помощью решаются задачи анализа, планирования и прогнозирования развития экономических систем. Задачи, в решении которых могут быть применены матричные модели:

· регулирование экономического развития;

· расчеты по составлению долгосрочных планов;

· расчеты по оптимизации внешней торговли;

· составление межрегиональных балансов;

· расчеты по ценообразованию и т.д.

Типичным примером матричных моделей считается экономико-математическая модель межотраслевого баланса (модель В.В. Леонтьева). За разработку и применение этого метода к решению важных экономических проблем в 1973 году Василий Васильевич Леонтьев был удостоен Нобелевской премии в области экономики.

В западной литературе модели данного класса именуются как метод "затраты-выпуск".

ОБЩАЯ СТРУКТУРА МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА

Центральным элементом матричных моделей является межотраслевой баланс. Он представляет собой таблицу, характеризующую связи между различными отраслями экономики страны.

Производственная сфера экономики представлена в балансе в виде совокупности n отраслей. Баланс состоит из четырех разделов (квадрантов).

Первый квадрант представляет собой матрицу, состоящую из (n+1) строки и (n+1) столбца. Этот раздел является важнейшей частью баланса, поскольку именно здесь содержится информация о межотраслевых связях.

Величина x_ij показывает, сколько продукции i-й отрасли было использовано в процессе материального производства j-й отрасли. Величины x_ij характеризуют межотраслевые поставки сырья, материалов, топлива и энергии, обусловленные производственной деятельностью. В i-й строке величины x_i1, x_i2, . x_ij, . x_in описывают распределение продукции i-й отрасли как средства производства для других отраслей. Величины x_1j, x_2j, . x_ij, . x_nj j-го столбца в этом случае будут описывать потребление j-й отраслью сырья, материалов, топлива и энергии на производственные нужды. Таким образом, первый раздел баланса дает общую картину распределения продукции на текущее производственное потребление всех n отраслей материального производства .

В зависимости от того, в каких единицах измеряются потоки продукции в балансе, существуют различные его варианты:

· в натуральном выражении;

· в денежном (стоимостном) выражении,

· в трудовых измерителях.

Рассмотрим баланс в стоимостном выражении, в котором потоки продукции измеряются на основе стоимости произведенной продукции в некоторых фиксированных ценах. Поскольку в этом случае величины x_ij отражают стоимость продукции, т.е. измеряются в одних и тех же единицах, их можно просуммировать.

Сумма по строке представляет собой сумму всех поставок i-й отрасли другим отраслям.

Сумма по столбцу характеризует производственные затраты j-й отрасли на приобретение продукции других отраслей.

На пересечении (n+1)-й строки и (n+1)-го столбца находится промежуточный продукт экономики

Второй раздел посвящен конечному продукту.

Столбец конечного продукта - (n+2)-й столбец. Величина y_i - потребление продукции i-й отрасли, не идущее на текущие производственные нужды.

В конечную продукцию, как правило, включаются:

· возмещение выбытия основных средств;

· личное потребление населения;

· расходы на содержание государственного аппарата;

· а также сальдо экспорта и импорта.

Ко второму разделу относится также столбец валовых выпусков (X_i). В пределах первого и второго разделов справедливо соотношение:

Третий квадрант межотраслевого баланса отражает стоимостную структуру валового продукта отраслей. В (n+2)-й строке таблицы отражена условно чистая продукция (V_j), представляющая собой разницу между величиной валовой продукции отрасли и суммарными затратами отрасли:

Условно чистая продукция подразделяется на амортизационные отчисления и чистую продукцию отрасли .

Важнейшими составляющими чистой продукции отрасли являются заработная плата, прибыль и налоги. Можно показать, что суммарный конечный продукт равен суммарной условно чистой продукции

Таким образом, в третьем разделе также фигурирует конечный продукт, но если во втором разделе он разбивается на величины y_i, характеризующие структуру потребления, то в третьем разделе величины V_j показывают, в каких отраслях произведена стоимость конечного продукта.

Четвертый раздел располагается под вторым.

Он характеризует перераспределения в экономике, осуществляемые через финансово-кредитную систему. В плановых расчетах четвертый раздел, как правило, не используется, и поэтому здесь рассматриваться не будет.

Итак, межотраслевой баланс - это способ представления статистической информации об экономике страны .

Он строится на основе агрегирования результатов деятельности отдельных предприятий. Такой баланс называют отчетным. Кроме этого строятся плановые балансы, предназначенные для разработки сбалансированных планов развития экономики.

n СТАТИЧЕСКАЯ МЕЖОТРАСЛЕВАЯ МОДЕЛЬ

Статические межотраслевые модели используются для разработки планов выпуска и потребления продукции и основываются на соотношениях межотраслевого баланса.

При построении модели делают следующие предположения:

1) все продукты, производимые одной отраслью, однородны и рассматриваются как единое целое, т.е. предполагается, что каждая отрасль производит один продукт ;

2) в каждой отрасли имеется единственная технология производства ;

3) нормы производственных затрат не зависят от объёма выпускаемой продукции ;

4) не допускается замещение одного сырья другим.

В действительности эти предположения не выполняются. Даже на отдельном предприятии обычно: выпускаются различные виды продукции, используются различные технологии, удельные затраты зависят от объема выпуска и допускается замена одного сырья другим. Следовательно, эти предположения тем более неверны для отрасли. Однако такие модели получили широкое распространение и, как показала практика, они вполне адекватны и применимы для составления планов выпуска продукции. При этих предположениях величина x_ij может быть представлена следующим образом:

Величина a_ij называется коэффициентом прямых материальных затрат . Она показывает, какое количество продукции i-й отрасли идет на производство единицы продукции j-й отрасли. Коэффициенты a_ij считаются в межотраслевой модели постоянными.

МАТРИЦА КОЭФФИЦИЕНТОВ ПРЯМЫХ МАТЕРИАЛЬНЫХ ЗАТРАТ

Подставляя выражение (3) в формулу (1), получим (4)

Можно записать в матричном виде

где X = (x₁, x₂, . x_n) - вектор валовых выпусков;

Y = (y₁, y₂, . y_n) - вектор конечного продукта.

Коэффициенты прямых материальных затрат являются основными параметрами статической межотраслевой модели .

Их значения могут быть получены двумя путями:

1) статистически : коэффициенты определяются на основе анализа отчётных балансов за прошлые годы.

2) нормативно : предполагается, что отрасль состоит из отдельных производств, для которых уже разработаны нормативы затрат, на их основе рассчитываются среднеотраслевые коэффициенты. Выражение (4) принято называть балансом распределения продукции. Его можно использовать для анализа и планирования структуры экономики. Если известны коэффициенты прямых материальных затрат, то, задав конечный продукт по каждой отрасли, можно определить необходимые валовые выпуски отраслей. В этом заложена основная идея использования матричных моделей для планирования производства.

Преобразуем выражение (4):

где E - единичная матрица.

До начала планирования следует выяснить, существует ли матрица, обратная матрице (E-A), и не будут ли получены отрицательные значения выпуска по отраслям. Установим некоторые свойства коэффициентов прямых материальных затрат:

1. Неотрицательность , т.е. a_ij ≥ 0, это утверждение следует из неотрицательности величин x_ij и положительности валовых выпусков X_j

2. Сумма элементов матрицы A по любому из столбцов меньше единицы . Доказательство:

Для любой отрасли условно чистая продукция есть величина положительная, поскольку включает в себя заработную плату, амортизацию, прибыль и т.д., т.е. V_j>0. Поэтому, используя соотношение (2), можно записать:

При выполнении этих двух условий матрица B = (E - A) - 1 существует если ее элементы неотрицательны. Говорят, что в этом случае матрица прямых затрат А является продуктивной . Перепишем формулу

Матрица В носит название матрицы полных материальных затрат, а ее элементы b_ij называют коэффициентами полных материальных затрат . Коэффициент b_ij показывает, каков должен быть валовой выпуск i-й отрасли для того, чтобы обеспечить выпуск единицы конечного продукта j-й отрасли.

Можно показать, что

Умножим обе части на (E - A):

Из соотношения (7) следует b_ij ≥ a_ij, таким образом, коэффициент полных материальных затрат b_ij, описывающий потребность в выпуске продукции i-й отрасли в расчете на единицу конечного продукта j-й отрасли, не меньше коэффициента прямых материальных затрат a_ij, рассчитываемого на единицу валового выпуска. Кроме того, из соотношения (7) для диагональных элементов матрицы B следует: b_ii ≥ 1, взаимосвязь коэффициентов прямых и полных материальных затрат проследим на примере.

Пусть единицей выпуска хлебопекарной промышленности является хлеб. Взаимосвязь коэффициентов прямых и полных материальных затрат.

Полные затраты электроэнергии для нашего примера складываются из прямых затрат и косвенных затрат всех уровней. Косвенные затраты высоких уровней являются незначительными и при практических расчетах ими можно пренебречь.

Пример : Даны коэффициенты прямых затрат a_ij и конечный продукт Y для трехотраслевой экономики