Уравнения с целыми выражениями
Обновлено: 22.12.2024
В общем случае уравнение, имеющее степень выше 4 , нельзя разрешить в радикалах. Но иногда мы все же можем найти корни многочлена, стоящего слева в уравнении высшей степени, если представим его в виде произведения многочленов в степени не более 4 -х. Решение таких уравнений базируется на разложении многочлена на множители, поэтому советуем вам повторить эту тему перед изучением данной статьи.
Чаще всего приходится иметь дело с уравнениями высших степеней с целыми коэффициентами. В этих случаях мы можем попробовать найти рациональные корни, а потом разложить многочлен на множители, чтобы потом преобразовать его в уравнение более низкой степени, которое будет просто решить. В рамках этого материала мы рассмотрим как раз такие примеры.
Уравнения высшей степени с целыми коэффициентами
Все уравнения, имеющие вид a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = 0 , мы можем привести к уравнению той же степени с помощью умножения обеих частей на a n n - 1 и осуществив замену переменной вида y = a n x :
a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = 0 a n n · x n + a n - 1 · a n n - 1 · x n - 1 + … + a 1 · ( a n ) n - 1 · x + a 0 · ( a n ) n - 1 = 0 y = a n x ⇒ y n + b n - 1 y n - 1 + … + b 1 y + b 0 = 0
Те коэффициенты, что получились в итоге, также будут целыми. Таким образом, нам нужно будет решить приведенное уравнение n-ной степени с целыми коэффициентами, имеющее вид x n + a n x n - 1 + … + a 1 x + a 0 = 0 .
Схема решения уравнения
Вычисляем целые корни уравнения. Если уравнение имеет целые корни, нужно искать их среди делителей свободного члена a 0 . Выпишем их и будем подставлять в исходное равенство по очереди, проверяя результат. Как только мы получили тождество и нашли один из корней уравнения, то можем записать его в виде x - x 1 · P n - 1 ( x ) = 0 . Здесь x 1 является корнем уравнения, а P n - 1 ( x ) представляет собой частное от деления x n + a n x n - 1 + … + a 1 x + a 0 на x - x 1 .
Подставляем остальные выписанные делители в P n - 1 ( x ) = 0 , начав с x 1 , поскольку корни могут повторяться. После получения тождества корень x 2 считается найденным, а уравнение может быть записано в виде ( x - x 1 ) ( x - x 2 ) · P n - 2 ( x ) = 0 .Здесь P n - 2 ( x ) будет частным от деления P n - 1 ( x ) на x - x 2 .
Продолжаем и дальше перебирать делители. Найдем все целые корни и обозначим их количество как m . После этого исходное уравнение можно представить как x - x 1 x - x 2 · … · x - x m · P n - m ( x ) = 0 . Здесь P n - m ( x ) является многочленом n - m -ной степени. Для подсчета удобно использовать схему Горнера.
Если у нас исходное уравнение имеет целые коэффициенты, мы не можем получить в итоге дробные корни.
У нас в итоге получилось уравнение P n - m ( x ) = 0 , корни которого могут быть найдены любым удобным способом. Они могут быть иррациональными или комплексными.
Покажем на конкретном примере, как применяется такая схема решения.
Условие: найдите решение уравнения x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = 0 .
Решение
Начнем с нахождений целых корней.
У нас есть свободный член, равный минус трем. У него есть делители, равные 1 , - 1 , 3 и - 3 . Подставим их в исходное уравнение и посмотрим, какие из них дадут в итоге тождества.
При x , равном единице, мы получим 1 4 + 1 3 + 2 · 1 2 - 1 - 3 = 0 , значит, единица будет корнем данного уравнения.
Теперь выполним деления многочлена x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 на ( х - 1 ) в столбик:
Значит, x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = x - 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 .
Перебираем возможные делители дальше, но подставляем их в равенство x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 = 0 :
1 3 + 2 · 1 2 + 4 · 1 + 3 = 10 ≠ 0 ( - 1 ) 3 + 2 · ( - 1 ) 2 + 4 · - 1 + 3 = 0
У нас получилось тождество, значит, мы нашли еще один корень уравнения, равный - 1 .
Делим многочлен x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 на ( х + 1 ) в столбик:
x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = ( x - 1 ) ( x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 ) = = ( x - 1 ) ( x + 1 ) ( x 2 + x + 3 )
Подставляем очередной делитель в равенство x 2 + x + 3 = 0 , начиная с - 1 :
- 1 2 + ( - 1 ) + 3 = 3 ≠ 0 3 2 + 3 + 3 = 15 ≠ 0 ( - 3 ) 2 + ( - 3 ) + 3 = 9 ≠ 0
Равенства, полученные в итоге, будут неверными, значит, у уравнения больше нет целых корней.
Оставшиеся корни будут корнями выражения x 2 + x + 3 .
D = 1 2 - 4 · 1 · 3 = - 11 < 0
Из этого следует, что у данного квадратного трехчлена нет действительных корней, но есть комплексно сопряженные: x = - 1 2 ± i 11 2 .
Уточним, что вместо деления в столбик можно применять схему Горнера. Это делается так: после того, как мы определили первый корень уравнения, заполняем таблицу.
| x i | коэффициенты многочлена | ||||
| 1 | 1 | 2 | - 1 | - 3 | |
| 1 | 1 | 1 + 1 · 1 = 2 | 2 + 2 · 1 = 4 | - 1 + 4 · 1 = 3 | - 3 + 3 · 1 = 0 |
В таблице коэффициентов мы сразу можем увидеть коэффициенты частного от деления многочленов, значит, x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = x - 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 .
После нахождения следующего корня, равного - 1 , мы получаем следующее:
| x i | коэффициенты многочлена | |||
| 1 | 2 | 4 | 3 | |
| 1 | 1 | 2 + 1 · ( - 1 ) = 1 | 4 + 1 · ( - 1 ) = 3 | 3 + 3 · ( - 1 ) = 0 |
Далее мы приходим к разложению x - 1 x + 1 x 2 + x + 3 = 0 . Потом, проверив оставшиеся делители равенства x 2 + x + 3 = 0 , вычисляем оставшиеся корни.
Ответ: х = - 1 , х = 1 , x = - 1 2 ± i 11 2 .
Нужна помощь преподавателя? Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут! Описать заданиеУсловие: решите уравнение x 4 - x 3 - 5 x 2 + 12 = 0 .
Решение
У свободного члена есть делители 1 , - 1 , 2 , - 2 , 3 , - 3 , 4 , - 4 , 6 , - 6 , 12 , - 12 .
Проверяем их по порядку:
1 4 - 1 3 - 5 · 1 2 + 12 = 7 ≠ 0 ( - 1 ) 4 - ( - 1 ) 3 - 5 · ( - 1 ) 2 + 12 = 9 ≠ 0 2 4 · 2 3 - 5 · 2 2 + 12 = 0
Значит, x = 2 будет корнем уравнения. Разделим x 4 - x 3 - 5 x 2 + 12 на х - 2 , воспользовавшись схемой Горнера:
| x i | коэффициенты многочлена | ||||
| 1 | - 1 | - 5 | 0 | 12 | |
| 2 | 1 | - 1 + 1 · 2 = 1 | - 5 + 1 · 2 = - 3 | 0 - 3 · 2 = 3 | 12 - 6 · 2 = 0 |
В итоге мы получим x - 2 ( x 3 + x 2 - 3 x - 6 ) = 0 .
Проверяем делители дальше, но уже для равенства x 3 + x 2 - 3 x - 6 = 0 , начиная с двойки.
2 3 + 2 2 - 3 · 2 - 6 = 0
Значит, 2 опять будет корнем. Разделим x 3 + x 2 - 3 x - 6 = 0 на x - 2 :
| x i | коэффициенты многочлена | |||
| 1 | 1 | - 3 | - 6 | |
| 2 | 1 | 1 + 1 · 2 = 3 | - 3 + 3 · 2 = 3 | - 6 + 3 · 2 = 0 |
В итоге получим ( x - 2 ) 2 · ( x 2 + 3 x + 3 ) = 0 .
Проверка оставшихся делителей смысла не имеет, поскольку равенство x 2 + 3 x + 3 = 0 быстрее и удобнее решить с помощью дискриминанта.
Решим квадратное уравнение:
x 2 + 3 x + 3 = 0 D = 3 2 - 4 · 1 · 3 = - 3 < 0
Получаем комплексно сопряженную пару корней: x = - 3 2 ± i 3 2 .
Ответ: x = - 3 2 ± i 3 2 .
Пример 3Условие: найдите для уравнения x 4 + 1 2 x 3 - 5 2 x - 3 = 0 действительные корни.
Решение
x 4 + 1 2 x 3 - 5 2 x - 3 = 0 2 x 4 + x 3 - 5 x - 6 = 0
Выполняем домножение 2 3 обеих частей уравнения:
2 x 4 + x 3 - 5 x - 6 = 0 2 4 · x 4 + 2 3 x 3 - 20 · 2 · x - 48 = 0
Заменяем переменные y = 2 x :
2 4 · x 4 + 2 3 x 3 - 20 · 2 · x - 48 = 0 y 4 + y 3 - 20 y - 48 = 0
В итоге у нас получилось стандартное уравнение 4 -й степени, которое можно решить по стандартной схеме. Проверим делители, разделим и получим в итоге, что оно имеет 2 действительных корня y = - 2 , y = 3 и два комплексных. Решение целиком здесь мы не будем приводить. В силу замены действительными корнями данного уравнения будут x = y 2 = - 2 2 = - 1 и x = y 2 = 3 2 .
Ответ: x 1 = - 1 , x 2 = 3 2
Советуем также ознакомиться с материалами, посвященными решению кубических уравнений и уравнений четвертой степени.
Читайте также: