Уравнение с подкоренным выражением
Обновлено: 04.10.2024
Говоря об иррациональности, может показаться, что сложнее иррациональных уравнений есть лишь одна вещь — иррациональные неравенства.
И сейчас ты поймешь, что это не так!
Если ты хорошо разобрался в предыдущих темах (я скажу, в каких в начале статьи), то иррациональные уравнения покажутся тебе легкими.
Мы рассмотрим все виды неравенств и разберем различные примеры, так, чтобы ты смог решить любое иррациональное неравенство.
Определение
Иррациональное неравенство – это неравенство, содержащее переменную под корнем
Неравенства вида \( A\sqrt>0\) или \( A\sqrt<0\)
Неравенства вида \( A\sqrt\ge 0\)
\( A\sqrt\ge 0\text< >\Leftrightarrow \text< >\left[ \beginB=0\\\left\< \beginA\ge 0\\B\ge 0\end \right.\end \right.\)
\( A\sqrt\le 0\text< >\Leftrightarrow \text< >\left[ \beginB=0\\\left\< \beginA\le 0\\B\ge 0\end \right.\end \right.\)
Неравенства вида \( \sqrt\ge B\)
Неравенства вида \( \sqrt\le B\)
Корни четной степени
Корни нечетной степени
Корень нечетной степени можно извлекать из любого числа!
Темы на повторение:
Чтобы хорошо понять, о чем здесь пойдет речь, повтори темы:
Определение:
Иррациональным называется неравенство, содержащее переменную под знаком радикала (корня)
ОДЗ (Область допустимых значений)
Помнишь, что такое ОДЗ?
ОДЗ (область допустимых значений) неравенства или неравенств – это множество значений переменной, при которых обе части данного неравенства (или неравенств) имеют смысл.
Например, в уравнении \( \sqrt=3\) присутствует квадратный корень. А квадратный корень не имеет смысла, если подкоренное выражение отрицательно.
То есть, в данном случае ОДЗ – это решения неравенства \( x+2\ge 0\).
Нет необходимости искать ОДЗ в каждой задаче, содержащей корень.
Взять, например, такую задачу:
При возведении в квадрат получаем \( ^>+3x>4\), то есть подкоренное выражение автоматически неотрицательно! Так зачем лишняя писанина?
Но в некоторых случаях это может быть очень полезно. Более того, иногда можно решить пример, просто найдя ОДЗ. Например:
Но ведь мы помним, что квадратный корень всегда неотрицателен. Поэтому он всегда будет больше \( -2\). Значит, решением задачи будет ОДЗ:
\( 2-6\ge 0\text< >\Leftrightarrow \text< >x\ge 3\).
Ответ: \( \left[ 3;+\infty \right)\).
Пять видов неравенств и способы их решений
Первый вид неравенств
Естественно, знак неравенства может быть и нестрогим.
Здесь и далее большими буквами \( A\), \( B\), \( C\) и т.д. я буду обозначать не переменные или параметры, а целые выражения, содержащие переменную.
Как решить такое неравенство?
Для начала вспомним, что функция \( f\left( x \right)=\sqrt\) – монотонна, то есть, чем больше подкоренное выражение, тем больше сам корень.
Поэтому из двух корней больше тот, у которого подкоренное выражение больше.
Но недаром мы недавно вспоминали про ОДЗ. Есть ли какие-нибудь ограничения в этом неравенстве?
Действительно, чтобы неравенство имело смысл, необходимо, чтобы оба подкоренных выражения были неотрицательны:
Но поскольку первое выражение больше второго, достаточно потребовать неотрицательности только второго:
Читайте также: