Уравнение с подкоренным выражением

Обновлено: 25.11.2024

Говоря об иррациональности, может показаться, что сложнее иррациональных уравнений есть лишь одна вещь — иррациональные неравенства.

И сейчас ты поймешь, что это не так!

Если ты хорошо разобрался в предыдущих темах (я скажу, в каких в начале статьи), то иррациональные уравнения покажутся тебе легкими.

Мы рассмотрим все виды неравенств и разберем различные примеры, так, чтобы ты смог решить любое иррациональное неравенство.

Определение

Иррациональное неравенство – это неравенство, содержащее переменную под корнем

Неравенства вида \( A\sqrt>0\) или \( A\sqrt<0\)

Неравенства вида \( A\sqrt\ge 0\)

\( A\sqrt\ge 0\text< >\Leftrightarrow \text< >\left[ \beginB=0\\\left\< \beginA\ge 0\\B\ge 0\end \right.\end \right.\)

\( A\sqrt\le 0\text< >\Leftrightarrow \text< >\left[ \beginB=0\\\left\< \beginA\le 0\\B\ge 0\end \right.\end \right.\)

Неравенства вида \( \sqrt\ge B\)

Неравенства вида \( \sqrt\le B\)

Корни четной степени

Корни нечетной степени

Корень нечетной степени можно извлекать из любого числа!

Темы на повторение:

Чтобы хорошо понять, о чем здесь пойдет речь, повтори темы:

Определение:

Иррациональным называется неравенство, содержащее переменную под знаком радикала (корня)

ОДЗ (Область допустимых значений)

Помнишь, что такое ОДЗ?

ОДЗ (область допустимых значений) неравенства или неравенств – это множество значений переменной, при которых обе части данного неравенства (или неравенств) имеют смысл.

Например, в уравнении \( \sqrt=3\) присутствует квадратный корень. А квадратный корень не имеет смысла, если подкоренное выражение отрицательно.

То есть, в данном случае ОДЗ – это решения неравенства \( x+2\ge 0\).

Нет необходимости искать ОДЗ в каждой задаче, содержащей корень.

Взять, например, такую задачу:

При возведении в квадрат получаем \( ^>+3x>4\), то есть подкоренное выражение автоматически неотрицательно! Так зачем лишняя писанина?

Но в некоторых случаях это может быть очень полезно. Более того, иногда можно решить пример, просто найдя ОДЗ. Например:

Но ведь мы помним, что квадратный корень всегда неотрицателен. Поэтому он всегда будет больше \( -2\). Значит, решением задачи будет ОДЗ:

\( 2-6\ge 0\text< >\Leftrightarrow \text< >x\ge 3\).

Ответ: \( \left[ 3;+\infty \right)\).

Пять видов неравенств и способы их решений

Первый вид неравенств

Естественно, знак неравенства может быть и нестрогим.

Здесь и далее большими буквами \( A\), \( B\), \( C\) и т.д. я буду обозначать не переменные или параметры, а целые выражения, содержащие переменную.

Как решить такое неравенство?

Для начала вспомним, что функция \( f\left( x \right)=\sqrt\) – монотонна, то есть, чем больше подкоренное выражение, тем больше сам корень.

Поэтому из двух корней больше тот, у которого подкоренное выражение больше.

Но недаром мы недавно вспоминали про ОДЗ. Есть ли какие-нибудь ограничения в этом неравенстве?

Действительно, чтобы неравенство имело смысл, необходимо, чтобы оба подкоренных выражения были неотрицательны:

Но поскольку первое выражение больше второго, достаточно потребовать неотрицательности только второго:

Читайте также: