Умножение корней с одинаковыми подкоренными выражениями
Обновлено: 22.12.2024
Известно, что знак корня является квадратным корнем из некоторого числа. Однако знак корня означает не только алгебраическое действие, но и применяется в деревообрабатывающем производстве — в расчете относительных размеров.
Если вы хотите узнать, как умножить корни «с» или «без» множителей, то эта статья для вас. В ней мы рассмотрим методы умножения корней:
- без множителей;
- с множителями;
- с разными показателями.
Метод умножения корней без множителей
Убедиться, что у корня одинаковые показатели (степени). Вспомним, что степень записывается слева над знаком корня. Если нет обозначения степени, это значит, что корень квадратный, т.е. со степенью 2, и его можно умножать на другие корни со степенью 2.
Пример 3: 3 3 × 9 3 = ?
Далее необходимо перемножить числа под корнем.
Пример 1: 18 × 2 = 36
Пример 2: 10 × 5 = 50
Пример 3: 3 3 × 9 3 = 27 3
Упростить подкоренные выражения. Когда мы умножаем корни друг на друга, мы можем упростить полученное подкоренное выражение до произведения числа (или выражения) на полный квадрат или куб:
Пример 1: 36 = 6 . 36 - квадратный корень из шести ( 6 × 6 = 36 ) .
Пример 2: 50 = ( 25 × 2 ) = ( 5 × 5 ) × 2 = 5 2 . Число 50 раскладываем на произведение 25 и 2 . Корень из 25 - 5 , поэтому выносим 5 из-под знака корня и упрощаем выражение.
Пример 3: 27 3 = 3 . Кубический корень из 27 равен 3 : 3 × 3 × 3 = 27 .
Нужна помощь преподавателя? Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут! Описать заданиеМетод умножения показателей с множителями
Умножить множители. Множитель — число, которое стоит перед знаком корня. В случае отсутствия множителя, он, по умолчанию, считается единицей. Далее необходимо перемножить множители:
Пример 1: 3 2 × 10 = 3 ? 3 × 1 = 3
Пример 2: 4 3 × 3 6 = 12 ? 4 × 3 = 12
Умножить числа под знаком корня. Как только вы перемножили множители, смело умножайте числа, стоящие под знаком корня:
Пример 1: 3 2 × 10 = 3 ( 2 × 10 ) = 3 20
Пример 2: 4 3 × 3 6 = 12 ( 3 × 6 ) = 12 18
Упростить подкоренное выражение. Далее следует упростить значения, которые стоят под знаком корня, — требуется вынести соответствующие числа за знак корня. После этого, необходимо перемножить числа и множители, которые стоят перед знаком корня:
Пример 1: 3 20 = 3 ( 4 × 5 ) = 3 ( 2 × 2 ) × 5 = ( 3 × 2 ) 5 = 6 5
Пример 2: 12 18 = 12 ( 9 × 2 ) = 12 ( 3 × 3 ) × 2 = ( 12 × 3 ) 2 = 36 2
Метод умножения корней с разными показателями
Найти наименьшее общее кратное (НОК) показателей. Наименьшее общее кратное — наименьшее число, делящееся на оба показателя.
Необходимо найти НОК показателей для следующего выражения:
Показатели равны 3 и 2 . Для этих двух чисел наименьшим общим кратным является число 6 (оно делится без остатка и на 3 , и на 2 ). Для умножения корней необходим показатель 6 .
Записать каждое выражение с новым показателем:
Найти числа, на которые нужно умножить показатели, чтобы получить НОК.
В выражении 5 3 необходимо умножить 3 на 2 , чтобы получить 6 . А в выражении 2 2 — наоборот, необходимо умножить на 3 , чтобы получить 6 .
Возвести число, которое стоит под знаком корня, в степень равную числу, которое было найдено в предыдущем шаге. Для первого выражения 5 нужно возвести в степень 2 , а втором — 2 в степень 3 :
2 → 5 6 = 5 2 6 3 → 2 6 = 2 3 6
Возвести в степень выражения и записать результат под знаком корня:
5 2 6 = ( 5 × 5 ) 6 = 25 6 2 3 6 = ( 2 × 2 × 2 ) 6 = 8 6
Перемножить числа под корнем:
( 8 × 25 ) 6
Записать результат:
( 8 × 25 ) 6 = 200 6
По возможности необходимо упростить выражение, но в данном случае оно не упрощается.
Читайте также: