Рационализация выражений с логарифмами

Обновлено: 04.11.2024

\(\blacktriangleright\) Метод рационализации для показательной функции.
Если левая часть неравенства представлена в виде произведения некоторых множителей, а справа стоит ноль, то множители вида \(a^-a^\) можно заменить на произведение двух скобок: \((a-1)(f(x)-g(x))\) .

Пример.
Неравенство \((3^x-1)(0,25^x-16)(5x^2-9x-2)\leqslant0\) равносильно
неравенству \((3^x-3^0)(0,25^x-0,25^)(5x^2-9x-2)\leqslant 0\) ,
которое в свою очередь по методу рационализации можно переписать в виде \[(3-1)(x-0)(0,25-1)(x-(-2))(5x+1)(x-2)\leqslant0\]

\(\blacktriangleright\) Метод рационализации для логарифмической функции.
Так как у логарифмов уже появляются ограничения на ОДЗ, то данный метод работает только при выполнении условий ОДЗ для логарифмов! Следовательно, последовательность решения подобных неравенств такая:

1) находим ОДЗ неравенства;

2) решаем неравенство, как будто ОДЗ выполнено;

3) пересекаем полученный ответ с ОДЗ и получаем итоговый ответ.

Пример.
Неравенство \((3+x-2x^2)\log_\geqslant 0\) с помощью метода рационализации можно переписать в виде: \[\begin (3+x-2x^2)(x+2-1)(3x+5-1)\geqslant 0\\ x+2>0\qquad \qquad \text\\ x+2\ne 1\qquad \qquad \text\\ 3x+5>0 \qquad \qquad \text\end\]

Читайте также: