Представить выражение в виде
Обновлено: 28.09.2024
Статья рассказывает о преобразовании рациональных выражений. Рассмотрим виды рациональных выражений, их преобразования, группировки, вынесения за скобки общего множителя. Научимся представлять дробные рациональные выражения в виде рациональных дробей.
Определение и примеры рациональных выражений
Определение 1Выражения, которые составлены из чисел, переменных, скобок, степеней с действиями сложения, вычитания, умножения, деления с наличием черты дроби, называют рациональными выражениями.
Для примера имеем, что 5 , 2 3 · x - 5 , - 3 · a · b 3 - 1 c 2 + 4 a 2 + b 2 1 + a : ( 1 - b ) , ( x + 1 ) · ( y - 2 ) x 5 - 5 · x · y · 2 - 1 11 · x 3 .
То есть это такие выражения, которые не имеют деления на выражения с переменными. Изучение рациональных выражений начинается с 8 класса, где их называют дробными рациональными выражениями. Особое внимание уделяют дробям в числителе, которые преобразовывают с помощью правил преобразования.
Это позволяет переходить к преобразованию рациональных дробей произвольного вида. Такое выражение может быть рассмотрено как выражение с наличием рациональных дробей и целых выражений со знаками действий.
Основные виды преобразований рациональных выражений
Рациональные выражения используются для того, чтобы выполнять тождественные преобразования, группировки, приведение подобных, выполнение других действий с числами. Цель таких выражений – это упрощение.
Преобразовать рациональное выражение 3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y - 1 .
Видно, что такое рациональное выражение – это разность 3 · x x · y - 1 и 2 · x x · y - 1 . Замечаем, что знаменатель у них идентичный. Это значит, что приведение подобных слагаемых примет вид
3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y - 1 = x x · y - 1 · 3 - 2 = x x · y - 1
Ответ: 3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y - 1 = x x · y - 1 .
Пример 2Выполнить преобразование 2 · x · y 4 · ( - 4 ) · x 2 : ( 3 · x - x ) .
Первоначально выполняем действия в скобках 3 · x − x = 2 · x . Данное выражение представляем в виде 2 · x · y 4 · ( - 4 ) · x 2 : ( 3 · x - x ) = 2 · x · y 4 · ( - 4 ) · x 2 : 2 · x . Мы приходим к выражению, которое содержит действия с одной ступенью, то есть имеет сложение и вычитание.
Избавляемя от скобок при помощи применения свойства деления. Тогда получаем, что 2 · x · y 4 · ( - 4 ) · x 2 : 2 · x = 2 · x · y 4 · ( - 4 ) · x 2 : 2 : x .
Группируем числовые множители с переменной x , после этого можно выполнять действия со степенями. Получаем, что
2 · x · y 4 · ( - 4 ) · x 2 : 2 : x = ( 2 · ( - 4 ) : 2 ) · ( x · x 2 : x ) · y 4 = - 4 · x 2 · y 4
Ответ: 2 · x · y 4 · ( - 4 ) · x 2 : ( 3 · x - x ) = - 4 · x 2 · y 4 .
Пример 3Преобразовать выражение вида x · ( x + 3 ) - ( 3 · x + 1 ) 1 2 · x · 4 + 2 .
Для начала преобразовываем числитель и знаменатель. Тогда получаем выражение вида ( x · ( x + 3 ) - ( 3 · x + 1 ) ) : 1 2 · x · 4 + 2 , причем действия в скобках делают в первую очередь. В числителе выполняются действия и группируются множители. После чего получаем выражение вида x · ( x + 3 ) - ( 3 · x + 1 ) 1 2 · x · 4 + 2 = x 2 + 3 · x - 3 · x - 1 1 2 · 4 · x + 2 = x 2 - 1 2 · x + 2 .
Преобразуем в числителе формулу разности квадратов, тогда получаем, что
x 2 - 1 2 · x + 2 = ( x - 1 ) · ( x + 1 ) 2 · ( x + 1 ) = x - 1 2
Ответ: x · ( x + 3 ) - ( 3 · x + 1 ) 1 2 · x · 4 + 2 = x - 1 2 .
Представление в виде рациональной дроби
Алгебраическая дробь чаще всего подвергается упрощению при решении. Каждое рациональное приводится к этому разными способами. Необходимо выполнить все необходимые действия с многочленами для того, чтобы рациональное выражение в итоге смогло дать рациональную дробь.
Нужна помощь преподавателя? Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут! Описать заданиеПредставить в виде рациональной дроби a + 5 a · ( a - 3 ) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a .
Данное выражение можно представить в виде a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a . Умножение выполняется в первую очередь по правилам.
Следует начать с умножения, тогда получим, что
a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a = a - 5 · ( a + 5 ) a + 3 · 1 a · ( a + 5 ) = a - 5 · ( a + 5 ) · 1 ( a + 3 ) · a · ( a + 5 ) = a - 5 ( a + 3 ) · a
Производим представление полученного результата с исходное. Получим, что
a + 5 a · ( a - 3 ) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a = a + 5 a · a - 3 - a - 5 a + 3 · a
Теперь выполняем вычитание:
a + 5 a · a - 3 - a - 5 a + 3 · a = a + 5 · a + 3 a · ( a - 3 ) · ( a + 3 ) - ( a - 5 ) · ( a - 3 ) ( a + 3 ) · a · ( a - 3 ) = = a + 5 · a + 3 - ( a - 5 ) · ( a - 3 ) a · ( a - 3 ) · ( a + 3 ) = a 2 + 3 · a + 5 · a + 15 - ( a 2 - 3 · a - 5 · a + 15 ) a · ( a - 3 ) · ( a + 3 ) = = 16 · a a · ( a - 3 ) · ( a + 3 ) = 16 a - 3 · ( a + 3 ) = 16 a 2 - 9
После чего очевидно, что исходное выражение примет вид 16 a 2 - 9 .
Ответ: a + 5 a · ( a - 3 ) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a = 16 a 2 - 9 .
Пример 5Представить x x + 1 + 1 2 · x - 1 1 + x в виде рациональной дроби.
Заданное выражение записывается как дробь, в числителе которой имеется x x + 1 + 1 , а в знаменателе 2 · x - 1 1 + x . Необходимо произвести преобразования x x + 1 + 1 . Для этого нужно выполнить сложение дроби и числа. Получаем, что x x + 1 + 1 = x x + 1 + 1 1 = x x + 1 + 1 · ( x + 1 ) 1 · ( x + 1 ) = x x + 1 + x + 1 x + 1 = x + x + 1 x + 1 = 2 · x + 1 x + 1
Следует, что x x + 1 + 1 2 · x - 1 1 + x = 2 · x + 1 x + 1 2 · x - 1 1 + x
Получившаяся дробь может быть записана как 2 · x + 1 x + 1 : 2 · x - 1 1 + x .
После деления придем к рациональной дроби вида
2 · x + 1 x + 1 : 2 · x - 1 1 + x = 2 · x + 1 x + 1 · 1 + x 2 · x - 1 = 2 · x + 1 · ( 1 + x ) ( x + 1 ) · ( 2 · x - 1 ) = 2 · x + 1 2 · x - 1
Можно решить это иначе.
Вместо деления на 2 · x - 1 1 + x производим умножение на обратную ей 1 + x 2 · x - 1 . Применим распределительное свойство и получаем, что
x x + 1 + 1 2 · x - 1 1 + x = x x + 1 + 1 : 2 · x - 1 1 + x = x x + 1 + 1 · 1 + x 2 · x - 1 = = x x + 1 · 1 + x 2 · x - 1 + 1 · 1 + x 2 · x - 1 = x · 1 + x ( x + 1 ) · 2 · x - 1 + 1 + x 2 · x - 1 = = x 2 · x - 1 + 1 + x 2 · x - 1 = x + 1 + x 2 · x - 1 = 2 · x + 1 2 · x - 1
Читайте также: