Поток вектора магнитной индукции определяется выражением
Обновлено: 08.07.2024
Магнитный поток Φ через площадку S (поток вектора магнитной индукции) – это скалярная величина:
Φ = B S cos α = B n S = B → S → с углом между n → и B → , обозначаемым α , n → является нормалью к площадке S .
Формула магнитного потока
Φ равняется количеству линий магнитной индукции, пересекающих площадку S , как показано на рисунке 1 . Поток магнитной индукции по формуле принимает положительные и отрицательные значения. Его знак зависит от выбора положительного направления нормали к площадке S . Зачастую положительное направление нормали связано с направлением обхода контура током. За такое направление берут поступательное перемещение правого винта во время его вращения по току.
В чем измеряется магнитный поток
В случае неоднородности магнитного поля S не будет плоской, а плоскость может быть разбита на элементарные площадки d S , рассматриваемые в качестве плоских, поле которых также считается однородным. Определение магнитного потока d Φ производится через эту поверхность. Запись примет вид:
d Φ = B d S cos α = B → d S → .
Нахождение полного потока через поверхность S :
Φ = ∫ S B d S cos α = ∫ S B → d S → .
Основной единицей измерения магнитного потока в системе СИ считаются веберы ( В б ) . 1 В б = 1 Т л 1 м 2 .
Связь магнитного потока и работы сил магнитного поля
Элементарная работа δ A , совершаемая силами магнитного поля, выражается через элементарное изменение потока вектора магнитной индукции d Φ :
Если проводник с током совершает конечное перемещение, сила тока постоянна, то работа сил поля равняется:
A = I Φ 2 - Φ 1 с Φ 1 , обозначаемым потоком через контур в начале перемещения, Φ 2 является потоком через контур в конце перемещения.
Теорема Гаусса для магнитного поля
Значение суммарного магнитного потока через замкнутую поверхность S равняется нулю:
Выражение ∮ B → d S → = 0 является справедливым для любых магнитных полей. Данное уравнение считается аналогом теоремы Остроградского-Гаусса в электростатике в вакууме:
Запись ∮ B → d S → = 0 говорит о том, что источник магнитного поля – это не магнитные заряды, а электрические токи.
Нужна помощь преподавателя? Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут! Описать заданиеДан бесконечно длинный прямой проводник с током I , недалеко от которого имеется квадратная рамка. По ней проходит ток с силой I ' . Сторона рамки равна a . Она располагается в одной плоскости с проводом, как показано на рисунке 2 . Значение расстояния от ближайшей стороны рамки до проводника равняется b . Найти работу магнитной силы при удалении рамки из поля. Считать токи постоянными.
Решение
Индукция магнитного поля длинного проводника с током в части, где расположена квадратная рамка, направляется на нас.
Следует учитывать нахождение рамки с током в неоднородном поле, что означает убывание магнитной индукции при удалении от провода.
За основу возьмем формулу магнитного потока и работы, которая их связывает:
A = I ' Φ 2 - Φ 1 ( 1 . 1 ) , где I ' принимают за силу тока в рамке, Φ 1 – за поток через квадратную рамку при расстоянии от ее стороны к проводу равняющимся b . Φ 2 = 0 . Это объясняется тем, что конечное положение рамки вне магнитного поля, как дано по условию. Отсюда следует, запись формулы ( 1 . 1 ) изменится:
A = - I ' Φ 1 ( 1 . 2 ) .
Перейдем к нормали n → и выберем ее направление к квадратному контуру относительно нас, используя правило правого винта. Отсюда следует, что для всех элементов поверхности, ограниченной при помощи контура квадратной рамки, угол между нормалью n → и вектором B → равняется π . Запись формулы потока через поверхность рамки на расстоянии х от провода примет вид:
d Φ = - B d S = - B · a · d x = - μ 0 2 π I l d x x ( 1 . 3 ) , значение индукции магнитного поля бесконечно длинного проводника с током силы I будет:
B = μ 0 2 π x I l ( 1 . 4 ) .
Отсюда следует, что для нахождения всего потока из ( 1 . 3 ) потребуется:
Φ 1 = ∫ S - μ 0 2 π I l d x x = - μ 0 2 π I l ∫ b b + a d x x = - μ 0 2 π I l · ln b + a b ( 1 . 5 ) .
Произведем подстановку формулы ( 1 . 5 ) в ( 1 . 2 ) . Искомая работа равняется:
A = I ' μ 0 2 π I l · ln b + a b .
Ответ: A = μ 0 2 π I I ' l · ln b + a b .
Пример 2Найти силу, действующую на рамку, из предыдущего примера.
Решение
Для нахождения искомой силы, действующей на квадратную рамку с током в поле длинного провода, предположим, что под воздействием магнитной силы рамка смещается на незначительное расстояние d x . Это говорит о совершении силой работы, равной:
δ A = F d x ( 2 . 1 ) .
Элементарная работа δ A может быть выражена как:
δ A = I ' d Φ ( 2 . 2 ) .
Произведем то же с силой, применяя формулы ( 2 . 1 ) , ( 2 . 2 ) . Получаем:
F d x = I ' d Φ → F = I ' d Φ d x ( 2 . 3 ) .
Используем выражение, которое было получено в примере 1 :
d Φ = - μ 0 2 π I l d x x → d Φ d x = - μ 0 2 π I l x ( 2 . 4 ) .
Произведем подстановку d Φ d x в ( 2 . 3 ) . Имеем:
F = I ' μ 0 2 π I l x ( 2 . 5 ) .
Каждый элемент контура квадратной рамки находится под воздействием сил (силы Ампера). Отсюда следует, что на рамку действует 4 силы, причем на стороны A B и D C равные по модулю и противоположные по направлению. Выражение принимает вид:
F A B → + F D C → = 0 ( 2 . 6 ) , то есть их сумма равняется нулю. Тогда значение результирующей силы, приложенной к контуру, запишется:
F → = F A D → + F B C → ( 2 . 6 ) .
Используя правило левой руки, получаем направление этих сил вдоль одной прямой в противоположные стороны:
F = F A D - F B C ( 2 . 7 ) .
Произведем поиск силы F A D , действующей на сторону A D , применив формулу ( 2 . 5 ) , где x = b :
F A D = I ' м 0 2 π I l b ( 2 . 8 ) .
Значение F B C будет:
F B C = I ' μ 0 2 π I l b + a ( 2 . 9 ) .
Для нахождения искомой силы:
F = I ' μ 0 2 π I l b - I ' μ 0 2 π I l b + a = I I ' μ 0 l 2 π 1 b - 1 b + a .
Ответ: F = I I ' μ 0 l 2 π 1 b - 1 b + a . Магнитные силы выталкивают рамку с током до тех пор, пока она находится в первоначальной ориентации относительно поля провода.
Читайте также: