Операции для выражения производных единиц из основных

Обновлено: 21.11.2024

Производные единицы Международной системы образуются на основании законов, устанавливающих связь между физическими величинами, или на основании определений физических величин (например, площадь – метр квадратный, объем – метр кубический, частота – герц приведены в таблице 2).

Соответствующие производные единицы СИ выводятся из уравнений связи между величинами, выражающими данный физический закон или определение, в случае если другие величины выражаются в единицах СИ. Зависимость каждой производной величины от основных отображается ее размерностью.

Размерность величины представляет собой произведение обозначений основных величин, возведенных в соответствующие степени, и является ее качественной оценкой. Пусть какая-то физическая величина Q выражается через основные величины: длину, массу и время. Размерности основных величин выражаются через обозначения этих величин, т. е. размерности длины, массы и времени записываются dim(l) = L, dim(m) = M, dim(t) = T. В этом случае размерность (dimension) величины dim(Q) выражается формулой размерности:

Примеры производных единиц СИ, наименования и обозначения которых

образованы с использованием наименований и обозначений

основных единиц СИ

Величина Единица
Наименование Размерность Наименование Обозначение
Русское Международное
Площадь L 2 квадратный метр м 2 m 2
Объем, вместимость L 3 кубический метр м 3 m 3
Скорость LT –1 метр в секунду м/с m/s
Ускорение LT –2 метр на секунду в квадрате м/с 2 m/s 2
Волновое число L –1 метр в минус первой степени м –1 m –1
Плотность L –3 M килограмм на кубический метр кг/м 3 kg/m 3
Удельный объем L –3 M –1 кубический метр на килограмм м 3 /кг m 3 /kg
Плотность электрического тока L –2 I ампер на квадратный метр A/м 2 A/m 2
Напряженность магнитного поля L –1 I ампер на метр A/м A/m
Молярная концентрация компонента L –3 N моль на кубический метр моль/м 3 mol/m 3
Яркость L –2 J кандела на квадратный метр кд/м cd/m 2

Рассмотрим пример использования размерностей.

Пусть требуется определить силу R, действующую на тело в потоке жидкости. Допустим, что движение жидкости настолько медленно, что инерционными силами по сравнению с силами вязкости можно пренебречь.

В этом случае сила R должна зависеть от скорости u, линейного размера тела l и динамической вязкости m. Эта формула в соответствии с формулой (1.3) должна иметь вид

dim = dim(l a u b m g ) = a b g ,

но dim(R) = LMT –2 ; dim(l) = L; dim(u) = LT –1 ; dim(m) = L –1 MT –1 ,

поэтому LMT –2 = L a (LT –1 ) b (L –1 MT –1 ) g =L a+ b – g M g T – b – g .

Для определения показателей a; b и g имеем систему уравнений

откуда получаем a = 1; b = 1 и g = 1 и, следовательно,

где – безразмерный размер, называемый числом Рейнольдса.

Важным принципом, который соблюден в Международной системе единиц, является ее когерентность (согласованность). Так, выбор основных единиц системы обеспечил полную согласованность механических и электрических единиц. Например, ватт (равный джоулю в секунду) – единица механической мощности равняется мощности, выделяемой электрическим током силой 1 ампер при напряжении 1 вольт.

В Международной системе единиц коэффициенты пропорциональности в физических уравнениях, определяющих производные единицы, равны безразмерной величине.

Когерентные производные единицы Международной системы образуются с помощью уравнений связи между величинами, в которых величины приняты равными единице СИ. При этом руководствуются следующими правилами:

1) пишут уравнение, выражающее в явном виде величину; единицу этой величины требуется установить через другие величины, единицы которых являются основными или уже выражены через основные;

2) если в уравнении связи содержится числовой коэффициент, отличный от единицы, то в правую часть подставляют обозначения величин со значениями в единицах СИ, дающими после умножения на коэффициент общее числовое значение, равное 1;

3) величины в правой части уравнения заменяют единицами измерения и выражают их через основные единицы.

Для пояснения способа образования когерентных производных единиц приведем пример. Для образования единицы энергии используется уравнение

где Е – кинетическая энергия; m – масса материальной точки; v – скорость движения материальной точки.

Для образования когерентной производной единицы энергии СИ используют уравнения

Таким образом, единицей энергии СИ является джоуль, равный ньютон-метру.

Производные единицы могут иметь специальные наименования и обозначения. Имеют место случаи, когда для выражения производных единиц СИ применяются собственные наименования (прил. А). Эти единицы могут быть использованы для образования других производных единиц СИ (прил. Б).

В Международную систему единиц при ее принятии в 1960 г. на XI Генеральной конференции по мерам и весам входило три класса единиц: основные, производные и дополнительные (радиан и стерадиан). Единицы радиан и стерадиан классифицировались как дополнительные, однако оставался открытым вопрос о том, являются они основными единицами или производными. В целях устранения двусмысленного положения этих единиц Международный комитет мер и весов в 1980 г. решил интерпретировать класс дополнительных единиц СИ как класс безразмерных производных единиц, для которых Генеральная конференция по мерам и весам оставляет открытой возможность применения или неприменения их в выражениях для производных единиц СИ. В 1995 г. XX Генеральная конференция по мерам и весам постановила исключить класс дополнительных единиц в СИ, а радиан и стерадиан считать безразмерными производными единицами СИ, имеющими специальные наименования и обозначения и которые могут быть использованы или не использованы в выражениях для других производных единиц СИ.

Читайте также: