Операции для выражения производных единиц из основных
Обновлено: 04.11.2024
Производные единицы Международной системы образуются на основании законов, устанавливающих связь между физическими величинами, или на основании определений физических величин (например, площадь – метр квадратный, объем – метр кубический, частота – герц приведены в таблице 2).
Соответствующие производные единицы СИ выводятся из уравнений связи между величинами, выражающими данный физический закон или определение, в случае если другие величины выражаются в единицах СИ. Зависимость каждой производной величины от основных отображается ее размерностью.
Размерность величины представляет собой произведение обозначений основных величин, возведенных в соответствующие степени, и является ее качественной оценкой. Пусть какая-то физическая величина Q выражается через основные величины: длину, массу и время. Размерности основных величин выражаются через обозначения этих величин, т. е. размерности длины, массы и времени записываются dim(l) = L, dim(m) = M, dim(t) = T. В этом случае размерность (dimension) величины dim(Q) выражается формулой размерности:
Примеры производных единиц СИ, наименования и обозначения которых
образованы с использованием наименований и обозначений
основных единиц СИ
Величина | Единица | |||
Наименование | Размерность | Наименование | Обозначение | |
Русское | Международное | |||
Площадь | L 2 | квадратный метр | м 2 | m 2 |
Объем, вместимость | L 3 | кубический метр | м 3 | m 3 |
Скорость | LT –1 | метр в секунду | м/с | m/s |
Ускорение | LT –2 | метр на секунду в квадрате | м/с 2 | m/s 2 |
Волновое число | L –1 | метр в минус первой степени | м –1 | m –1 |
Плотность | L –3 M | килограмм на кубический метр | кг/м 3 | kg/m 3 |
Удельный объем | L –3 M –1 | кубический метр на килограмм | м 3 /кг | m 3 /kg |
Плотность электрического тока | L –2 I | ампер на квадратный метр | A/м 2 | A/m 2 |
Напряженность магнитного поля | L –1 I | ампер на метр | A/м | A/m |
Молярная концентрация компонента | L –3 N | моль на кубический метр | моль/м 3 | mol/m 3 |
Яркость | L –2 J | кандела на квадратный метр | кд/м | cd/m 2 |
Рассмотрим пример использования размерностей.
Пусть требуется определить силу R, действующую на тело в потоке жидкости. Допустим, что движение жидкости настолько медленно, что инерционными силами по сравнению с силами вязкости можно пренебречь.
В этом случае сила R должна зависеть от скорости u, линейного размера тела l и динамической вязкости m. Эта формула в соответствии с формулой (1.3) должна иметь вид
dim = dim(l a u b m g ) = a b g ,
но dim(R) = LMT –2 ; dim(l) = L; dim(u) = LT –1 ; dim(m) = L –1 MT –1 ,
поэтому LMT –2 = L a (LT –1 ) b (L –1 MT –1 ) g =L a+ b – g M g T – b – g .
Для определения показателей a; b и g имеем систему уравнений
откуда получаем a = 1; b = 1 и g = 1 и, следовательно,
где – безразмерный размер, называемый числом Рейнольдса.
Важным принципом, который соблюден в Международной системе единиц, является ее когерентность (согласованность). Так, выбор основных единиц системы обеспечил полную согласованность механических и электрических единиц. Например, ватт (равный джоулю в секунду) – единица механической мощности равняется мощности, выделяемой электрическим током силой 1 ампер при напряжении 1 вольт.
В Международной системе единиц коэффициенты пропорциональности в физических уравнениях, определяющих производные единицы, равны безразмерной величине.
Когерентные производные единицы Международной системы образуются с помощью уравнений связи между величинами, в которых величины приняты равными единице СИ. При этом руководствуются следующими правилами:
1) пишут уравнение, выражающее в явном виде величину; единицу этой величины требуется установить через другие величины, единицы которых являются основными или уже выражены через основные;
2) если в уравнении связи содержится числовой коэффициент, отличный от единицы, то в правую часть подставляют обозначения величин со значениями в единицах СИ, дающими после умножения на коэффициент общее числовое значение, равное 1;
3) величины в правой части уравнения заменяют единицами измерения и выражают их через основные единицы.
Для пояснения способа образования когерентных производных единиц приведем пример. Для образования единицы энергии используется уравнение
где Е – кинетическая энергия; m – масса материальной точки; v – скорость движения материальной точки.
Для образования когерентной производной единицы энергии СИ используют уравнения
Таким образом, единицей энергии СИ является джоуль, равный ньютон-метру.
Производные единицы могут иметь специальные наименования и обозначения. Имеют место случаи, когда для выражения производных единиц СИ применяются собственные наименования (прил. А). Эти единицы могут быть использованы для образования других производных единиц СИ (прил. Б).
В Международную систему единиц при ее принятии в 1960 г. на XI Генеральной конференции по мерам и весам входило три класса единиц: основные, производные и дополнительные (радиан и стерадиан). Единицы радиан и стерадиан классифицировались как дополнительные, однако оставался открытым вопрос о том, являются они основными единицами или производными. В целях устранения двусмысленного положения этих единиц Международный комитет мер и весов в 1980 г. решил интерпретировать класс дополнительных единиц СИ как класс безразмерных производных единиц, для которых Генеральная конференция по мерам и весам оставляет открытой возможность применения или неприменения их в выражениях для производных единиц СИ. В 1995 г. XX Генеральная конференция по мерам и весам постановила исключить класс дополнительных единиц в СИ, а радиан и стерадиан считать безразмерными производными единицами СИ, имеющими специальные наименования и обозначения и которые могут быть использованы или не использованы в выражениях для других производных единиц СИ.
Читайте также: