Ограниченные кванторы логический квадрат ограниченных кванторных высказываний
Обновлено: 30.06.2024
При чтении высказывания слова в квадратных скобках могут опускаться. Высказывание называется универсальным высказыванием для предиката . Символ происходит от первой буквы англ. all — "все". Сам символ также называют квантором общности по переменной "". Первый предикат тождественно истинный, поэтому применение к нему операции связывания квантором общности дает истинное высказывание: — "для всякого — "для любого переменная
Это означает, что каждое из приведенных выражений не зависит от связанных переменных, т. е. сущность выражения не изменится, если связанную переменную обозначить любой другой буквой. Так, первое из трех выражений вне зависимости от переменной равно 2, второе равно 0, а третье — действительная полупрямая . Аналогично, высказывание может быть прочитано так: "1 не превосходит всякое натуральное число" — и в таком виде оно вообще не содержит переменных.
Следовательно, для предикатов, заданных на конечном множестве, операция связывания квантором общности может быть выражена через конъюнкцию. Для предикатов, заданных на бесконечном множестве, такого сделать нельзя, и в этом случае операция связывания квантором общности является существенно новой.
Можно подметить еще одну особенность операции связывания квантором общности по сравнению с операциями из предыдущей лекции. Те операции ставили в соответствие одному или двум предикатам новый предикат, а операция связывания квантором общности сопоставляет предикату высказывание. На это можно сказать следующее. Во-первых, каждое высказывание для достижения большей общности сейчас и в дальнейшем можно рассматривать как предикат, содержащий 0 предметных переменных, т. е. как нульместный предикат. Во-вторых, мы пока применяли квантор общности лишь к одноместным предикатам. Переходим к рассмотрению вопроса о применении операции связывания квантором общности к предикатам с любым числом предметных переменных; такая операция предстанет операцией в полном смысле слова: предикатам она будет сопоставлять предикаты.
В другом примере двухместный предикат "", определенный на .
Например, применив к одноместному предикату , где , квантор общности по переменной , получим нуль-местный предикат, т. е. высказывание . Ясно, что полученное высказывание ложно, потому что предикат опровержим. Применив квантор общности по переменной
Квантор существования
Как и в предыдущем пункте, начнем Рассмотрение с операции связывания квантором существования, применяемой к одноместному предикату.
При чтении высказывания слова в квадратных скобках могут опускаться. Высказывание называется экзистенциальным высказыванием для предиката . Символ происходит от первой буквы англ. exist — "существовать". Сам символ квантором существования по переменной "". Первый предикат тождественно ложный, поэтому применение к нему операции связывания квантором существования дает ложное высказывание: — "существует натуральное число, равное себе плюс 1". Второй предикат выполним, поэтому операция связывания квантором существования, примененная к нему, дает истинное высказывание: — "существует натуральное число, делящее число 30".
Значит, для предикатов, заданных на конечном множестве, операция связывания квантором существования может быть выражена через дизъюнкцию. Для предикатов, заданных на бесконечном множестве, такого сделать нельзя, и в этом случае операция связывания квантором существования является существенно новой.
Наконец рассмотрим вопрос о применении операции связывания квантором существования к предикатам с любым числом предметных переменных.
Например, рассмотрим двухместный предикат "", определенный на , зависящий от переменной . Этот предикат всегда превращается в истинное высказывание, если вместо у подставлять конкретные числа, т.е. он является тождественно истинным предикатом.
Так, применив к тождественно истинному одноместному предикату , заданному на — "Для всякого натурального числа существует большее него натуральное число". Применив к тому же одноместному предикату квантор существования, получим также истинное высказывание: — "Существуют два натуральных числа, из которых одно не превосходит другое". Далее, применив к выполнимому одноместному предикату , заданному на — "Существует наименьшее натуральное число". Наконец, применив квантор существования к одноместному тождественно ложному предикату , получим ложное высказывание: .
Численные кванторы
Далее, предложение "Не более чем один объект обладает свойством " равнозначно по смыслу предложению "Если есть объекты, обладающие свойством , то они совпадают", т.е.
Символ квантором существования и единственности по переменной
Далее, предложение "Не более чем два объекта обладают свойством " равнозначно по смыслу предложению "Каковы бы ни были объекты , если все они обладают свойством , то по меньшей мере два из них совпадают", которое символически записывается так:
Совершенно аналогично выражаются через обычные кванторы и логические операции численные кванторы при . Рекомендуется самостоятельно записать соответствующие выражения для
Ограниченные кванторы
Нередки в математической практике обороты следующего вида: "Всякий объект, обладающий свойством , обладает также и свойством " и "Среди объектов, обладающих свойством , существует объект, обладающий также и свойством ". Первое высказывание равнозначно по смыслу высказыванию "Всякий объект, если он обладает свойством , то он обладает и свойством ", которое на языке логики предикатов записывается так:
Символ также называют ограниченным квантором общности.
Например, высказывание "Для всякого , а с использованием ограниченного квантора общности записывается в виде .
Второе из приведенных в начале настоящего пункта высказываний равнозначно по смыслу высказыванию "Существует объект, обладающий свойством и обладающий свойством ", которое на языке логики предикатов записывается так:
Символ также называют ограниченным квантором существования.
Логический квадрат
Читайте также: