Найти значение выражения арксинус
Обновлено: 19.09.2024
Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс - обратные тригонометрические функции. Они обладают рядом свойств, которые мы рассмотрим в этой статье. Помимо словесных и математических формулировок основных свойств арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса, будут приведены доказательства этих свойств.
Синус арксинуса, косинус арккосинуса, тангенс арктангенса и котангенс арккотангенса
Это свойство используется чаще всего, поэтому логичнее всего начать рассмотрение всех основных свойств именно с него. Рассмотрим, чему равны синус арксинуса, косинус арккосинуса, тангенс арктангенса и котангенс арккотангенса числа.
Синус арксинуса, косинус арккосинуса, тангенс арктангенса и котангенс арккотангенса числа
- sin a r c sin a = a , a ∈ 1 ; - 1 ;
- cos a r c cos a = a , a ∈ 1 ; - 1 ;
- t g ( a r c t g a ) = a , a ∈ - ∞ ; + ∞ ;
- c t g ( a r c c t g a ) = a , a ∈ - ∞ ; + ∞ .
Данное свойство следует напрямую из определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.
Рассмотрим доказательство на примере арксинуса. Согласно определению, арксинус числа - это такой угол или число, синус которого равен числу a . При этом число a лежит в пределах от - 1 до + 1 включительно. В виде формулы определение запишется так:
sin ( a r c sin a ) = a
Доказательство для арккосинуса, арктангенса и арккотангенса строится аналогично, на базе определений этих функций. Вот несколько примеров использования данного свойства.
Пример 1. Свойства обратных тригонометрических функций
sin ( a r c sin ( 0 , 3 ) = 0 , 3 cos a r c cos - 3 2 = - 3 2 t g ( a r c t g ( 8 ) ) = 8 c t g ( a r c c t g ( 15 8 9 ) ) = 15 8 9
Важно отметить, что для обратных функций синуса и косинуса имеет место ограничение для значений числа a . Так, при a , лежащем вне пределов отрезка - 1 , 1 , арксинус и арккосинус не определены и записи a r c sin a и a r c cos a попросту не имеют смысла. Это связано с тем, что область значений синуса и косинуса - от минус единицы до плюс единицы. Например, нельзя записать cos ( a r c cos ( 9 ) ) , так как 9 больше 1 и данное выражение не имеет смысла. Делать подобные записи - ошибочно!
Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс противоположных чисел
Существует связь между арксинусами, арккосинусами, арктангенсами и арккотангенсами противоположных чисел. Запишем соотношения, выражающие ее.
arcsin, arccos, arctg и arcctg противоположных чисел
- a r c sin - a = - a r c sin a , a ∈ - 1 , 1 ;
- a r c cos - a = π - a r c cos a , a ∈ - 1 , 1 ;
- a r c t g - a = - a r c t g a , a ∈ - ∞ , + ∞ ;
- a r c c t g - a = π - a r c c t g a , a ∈ - ∞ , + ∞ .
Докажем записанное. Начнем, как всегда, с доказательства для арксинусов. При - 1 ≤ a ≤ 1 имеет место равенство a r c sin - a = - a r c sin a . Согласно дефиниции, a r c sin ( - a ) - это угол (число) в пределах от - π 2 до π 2 , синус которого равен - a . Для доказательства справедливости первого равенства необходимо доказать, что - a r c sin a лежит в тех же пределах от - π 2 до π 2 , что и a r c sin ( - a ) . Также необходимо обосновать, что sin ( - a r c sin a ) = - a .
Для арксинуса, по определению, справедливо двойное неравенство - π 2 ≤ a r c sin a ≤ π 2 . Умножим каждую часть неравенства на - 1 и получим эквивалентное неравенство π 2 ≥ - a r c sin a ≥ - π 2 . Переписав его, получим - π 2 ≤ - a r c sin a ≤ π 2 .
Переходим ко второй части доказательства. Теперь осталось показать, что sin ( - a r c sin a ) = - a . Для этого воспользуемся свойством синусов противоположных углов и запишем: sin - a r c sin a = - sin a r c sin a . С учетом свойства арксинуса, рассмотренного в предыдущем пункте, закончим доказательство.
sin - a r c sin a = - sin a r c sin a = - a
Доказательство свойства арксинусов противоположных чисел завершено.
Теперь рассмотрим доказательство свойства арккосинусов противоположных чисел.
Для того, чтобы доказать, что a r c cos - a = π - a r c cos a при a ∈ - 1 , 1 необходимо во-первых показать, что число undefined.
Нужна помощь преподавателя? Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут! Описать заданиеДля арккосинуса, по определению, справедливо двойное неравенство 0 ≤ a r c cos a ≤ π . Умножив каждую часть неравенства на - 1 и поменяв знаки, получим эквивалентное неравенство 0 ≥ - a r c cos a ≥ - π . Перепишем его в другом виде. По свойствам неравенств, можно добавить к каждой части слагаемое, не меняя знаков. Добавим в каждую часть неравенства слагаемое π . Получим π ≥ π - a r c cos a ≥ 0 , или 0 ≤ π - a r c cos a ≤ π .
Теперь покажем, что cos π - arccos a = - a . Для этого воспользуемся формулами приведения, согласно которым можно записать cos π - arccos a = - cos ( a r c cos a ) . Обратившись к свойству арккосинуса, разобранному ранее (см. 1 пункт), заканчиваем доказательство.
cos π - arccos a = - cos ( a r c cos a ) = - a .
Доказательства для арктангенса и арккотангенса проводится по аналогичному принципу.
Основная польза данного свойства - возможность избавиться от операций с отрицательными числами при работе с арксинусами, арккосинусами, арктангенсами и арккотангенсами. Например, справедливы записи:
a r c sin - 1 2 = - a r c sin 1 2 a r c cos - 5 5 7 = π - arccos 5 5 7 arctg - 1 = - arctg 1 arcctg ( - 3 ) = π - arcctg 3
Сумма арксинуса и арккосинуса, арктангенса и арккотангенса
Данное свойство устанавливает связь соответственно между арксинусом и арккосинусам, арктангенсом и арккотангенсом. Запишем формулы для арксинуса и арккосинуса.
Сумма arcsin и arccos
a r c sin a + a r c cos a = π 2 , a ∈ - 1 , 1
Соответственно, для арктангенса и арккотангенса
Сумма arctg и arcctg
a r c t g a + a r c c t g a = π 2 , a ∈ - ∞ , + ∞
Приведем доказательство для арксинуса и арккосинуса. Формулу для суммы arcsin и arccos можно переписать в виде a r c sin a = π 2 - a r c cos a . Теперь обратимся к определению, согласно которому арксинус - это число (угол), лежащее в пределах от - π 2 до π 2 , синус которого равен a .
Запишем неравенство, вытекающее из определения арккосинуса: 0 ≤ a r c cos a ≤ π . Умножим все его части на - 1 , а затем прибавим к каждой части π 2 . Получим:
0 ≤ a r c cos a ≤ π 0 ≥ - arccos a ≥ - π π 2 ≥ π 2 - arccos a ≥ - π 2 - π 2 ≤ π 2 - arccos a ≤ π 2
Завершая доказательство, покажем, что sin π 2 - a r c cos a = a . Для этого используем формулу приведения и свойство косинуса от арккосинуса.
sin π 2 - a r c cos a = cos a r c cos a = a
Таким образом, доказано, что сумма арксинуса и арккосинуса равна π 2 . По такому же принципу проводится доказательство для суммы арктангенса и арккотангенса.
Пользуясь разобранными свойствами, можно выряжать арксинус через арккосинус, арккосинус через арксинус, арктангенс через арккотангенс и наоборот.
Пример 2. Сумма арксинуса и арккосинуса
Известно, что a r c sin 6 - 2 2 = π 12 . Найдем арккосинус этого числа.
a r c sin 6 - 2 2 + a r c cos 6 - 2 2 = π 2 a r c cos 6 - 2 2 = π 2 - a r c sin 6 - 2 2 a r c cos 6 - 2 2 = π 2 - π 12 = 5 π 12
Арксинус синуса, арккосинус косинуса, арктангенс тангенса и арккотангенс котангенса
Запишем соотношения, иллюстрирующие свойства арксинуса синуса, арккосинуса косинуса, арктангенса тангенса и арккотангенса котангенса.
Свойства арксинуса синуса, арккосинуса косинуса, арктангенса тангенса и арккотангенса котангенса
- a r c sin ( sin α ) = α , - π 2 ≤ α ≤ π 2 ;
- a r c cos ( cos α ) = α , 0 ≤ α ≤ π ;
- a r c t g ( t g α ) = α , - π 2 ≤ α ≤ π 2 ;
- a r c c t g ( c t g α ) = α , 0 ≤ α ≤ π .
Данные равенства и неравенства являются прямым следствием определений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Покажем это, доказав, что a r c sin ( sin α ) = α при - π 2 ≤ α ≤ π 2 .
Обозначим sin α через a . a - число, лежащее в интервале от - 1 до + 1 . Тогда равенство a r c sin ( sin α ) = α можно переписать в виде a r c sin a = α . Данное равенство, при заданных условиях, аналогично определению синуса. Таким образом, мы доказали, что a r c sin ( sin α ) = α при - π 2 ≤ α ≤ π 2 .
Выражение a r c sin ( sin α ) имеет смысл не только при α , лежащем в пределах от - π 2 до π 2 . Однако, равенство a r c sin ( sin α ) = α выполняется только при соблюдении условия - π 2 ≤ α ≤ π 2 .
Аналогично, соблюдение условий обязательно для арккосинуса косинуса, арктангенса тангенса и арккотангенса котангенса.
К примеру, запись a r c sin ( sin 8 π 3 ) = 8 π 3 будет ошибочной, так как число 8 π 3 не удовлетворяет условиям неравенства.
Описанные в этой статье свойства позволяют получить ряд полезных формул, определяющих связи между основными и обратными тригонометрическими функциями. Соотношениям, связывающим sin, cos, tg, ctg, arcsin, arccos, arctg и arcctg будет посвящена отдельная статья.
Читайте также: