Логика высказываний логика предикатов
Обновлено: 22.12.2024
Современная математическая логика включает два основных раздела : логику высказываний и охватывающую ее логику предикатов , для построения которых существуют два подхода ( языка ), образующих два варианта формальной логики : алгебру логики и логические исчисления . Между основными понятиями этих языков формальной логики имеет место взаимно однозначное соответствие .
3.1. Основные понятия
Под высказыванием принято понимать языковое предложение , о котором имеет смысл говорить , что оно истинно или ложно .
В логике высказываний интересуются не содержанием , а истинностью или ложностью высказываний . Истинностное значение – истина или ложь – будем обозначать И и Л соответственно .
Простое высказывание – высказывание , в котором нельзя выделить часть , яв - ляющуюся высказыванием , кроме самого этого целого . Сложным ( составным ) называется высказывание , составленное с помощью логических связок .
Отрицанием ( инверсией ) высказывания P называется высказывание , истин - ное тогда и только тогда , когда высказывание P ложно . Обозначается ← P .
Конъюнкцией ( операцией « И », логическим произведением ) двух высказываний
P и Q называется высказывание , истинное тогда и только тогда , когда истинны оба высказывания . Обозначается P Q .
Дизъюнкцией ( операцией « ИЛИ », логической суммой ) двух высказываний P и Q называется высказывание , ложное тогда и только тогда , когда оба высказывания ложны . Обозначается P Q .
Импликацией ( логическим следованием ) двух высказываний P и Q называется высказывание , ложное тогда и только тогда , когда P истинно , а Q ложно . Обозна - чается P Q . При этом высказывание P называется посылкой импликации , а высказывание Q – заключением .
Эквивалентностью ( эквиваленцией , равнозначностью ) двух высказываний P и Q называется высказывание , истинное тогда и только тогда , когда истинностные значения P и Q совпадают . Обозначается P Q .
Неравнозначностью ( исключающим « ИЛИ », сложением по модулю 2 ) двух высказываний P и Q называется высказывание , истинное тогда и только тогда , ко - гда истинностные значения P и Q не совпадают . Обозначается P Q .
Алфавит логики высказываний содержит следующие символы : высказыва - тельные переменные – обычно заглавные латинские буквы ; логические символы ← , , , , , ; символы скобок (, ).
Последовательность символов в логике высказываний называется формулой , если она удовлетворяет следующему определению :
1) любая высказывательная переменная – формула ;
2) если A и B – формулы , то ← A , A B , A B , A B , A B , A B , ( A ) – формулы ;
3.2. Алгебра логики высказываний
Если каждой высказывательной переменной , входящей в формулу , придавать истинностное значение И и Л , то формула будет определять истинностную функ -
цию , т . е . функцию , определенную на множестве < И , Л >n ( n – число высказыватель -
ных переменных ) со значениями в множестве < И , Л >. Если , кроме того , принять И =1, Л =0, то любую формулу логики высказываний можно интерпретировать как формулу логики переключательных функций . По аналогии с переключательными функциями , для любого высказывания можно построить таблицу истинности .
Упорядоченный набор высказывательных переменных < X 1 , X 2 , . X k > назовем списком переменных формулы A , если все переменные формулы A содержатся в этом наборе . В списке переменных формулы A часть переменных может быть фик - тивной , т . е . может не входить в формулу A явно . Очевидно , что если список пере - менных для формулы A содержит k переменных , то таблица истинности для фор - мулы A будет содержать 2 k строк .
Таким образом , мы установили соответствие между алгеброй переключатель - ных функций и алгеброй логики высказываний . В алгебре логики высказываний применим весь аппарат алгебры переключательных функций : способы проверки истинности формулы ( таблица истинности или равносильные преобразования ), эк - вивалентные соотношения . В алгебре логики высказываний , также как и в булевой алгебре , определены понятия :
– тавтология ( тождественно - истинная формула – ТИФ );
– выполнимая формула ( условно - истинная формула – УИФ );
– опровержимая формула ( условно - ложная формула – УЛФ );
– невыполнимая формула ( тождественно - ложная формула – ТЛФ ).
Алгебра логики позволяет легко проверять правильность рассуждений , со - стоящих из высказываний . Для этого надо построить логическую формулу умозак - лючения следующим образом : все посылки следует соединить связкой « и » ( ), и полученную обобщенную посылку – связкой « если …, то …» ( ). Если логическая формула умозаключения – ТИФ , то заключение верно , в противном случае невер -
но . Например , если P 1 , P 2 , . P n – посылки , а D – заключение , то для определения
правильности рассуждения по схеме P 1 , P 2 , … , P n , т . е . утверждения о том , что из
данных посылок P 1 , P 2 , . P n следует заключение D , требуется установить тожде - ственную истинность формулы ( P 1 P 2 . P n ) D .
3.3. Применение к естественному языку
В формальной логике изучается строение сложных логических высказываний , выраженных формулами , вне зависимости от содержания составляющих их про - стых высказываний . Очевидно , что содержательных интерпретаций у любой фор - мулы бесконечно много . Переводя выражения обычного языка в логические фор - мулы , мы лишаемся некоторых оттенков смысла , но зато выигрываем в точности .
В обычном языке мы не употребляем скобок для указания того , как нужно со - четать различные части сложной фразы , используя иногда взамен довольно тонкие средства . « Если Джонс присутствует ( Д ) или если Уильямс выскажется за наше
предложение ( У ) и Старк не станет возражать ( С ), то наше предложение будет при - нято ( П )» Как надо переводить ? ( а ) ( Д У ) ← С П или так : ( в ) Д ( У ← С ) П . В
письменном языке отсутствие запятой перед « и » решит в пользу ( в ); в устной же речи , чтобы выразить именно ( а ), надо заменить « и » на « ну и конечно , если » [4]. Как видим , перевод обычного языка в логические символы не является механиче - ским делом . Переводчик прежде всего должен как следует понять переводимый текст . Если автором является он сам , он должен выбрать такую интерпретацию , какую имел в виду . Если же автором является кто - то другой , то при наличии со - мнительных слов необходимо восстановить намерения автора .
Хотя в исчислении высказываний A B равносильно B A , фразы « у Джейн ро - дился ребенок , и она вышла замуж » и « Джейн вышла замуж , и у нее родился ребе - нок » будут пониматься знакомыми Джейн по - разному . В этом примере порядок высказываний в конъюнкции наводит на мысль о следовании во времени или о причинно - следственной связи . Следование во времени можно выразить с помощью классической логики , если пользоваться символизмом исчисления предикатов . Пе - ревод же посредством A B проще и достаточен для логического анализа , если в нем не участвует идея времени ( или причинности ).
Список наиболее часто встречающихся выражений , соответствующих логическим связкам
Читайте также: