Логические следствия в исчислении высказываний
Обновлено: 04.07.2024
Понятие логического следствия, введенное в § 2.4 для исчисления высказываний, распространяется и на исчисление предикатов. Теперь нам придется иметь дело не только с символами, обозначающими высказывания, но и с предикатными символами, а приписывание значений происходит несколько более сложно. В исчислении предикатов начинает играть роль еще один фактор — возможность свободного вхождения какой-либо переменной. Например, в арифметической теореме исходное допущение может иметь форму «пусть х есть целое число больше 0» или «предположим, что х делится на 3». Исследование того, как такое х «рассматривается» в доказательстве, обнаруживает, что х считается постоянной, т. е. одним и тем же предметом на протяжении всего доказательства. Однако вне контекста доказательства это х — переменная. (Например, доказав некоторый результат, относящийся к х, которое делится на 3, мы считаем, что имеем право применять этот результат ко всем таким числам.) Читателю хорошо известны такие названия, как «параметр» и «произвольная постоянная» для символов, используемых подобным образом.
Так мы приходим к основному определению: формула В есть логическое следствие формул А1, А2, . АM (в исчислении предикатов), что символизируется записью
Если для каждого поля D и для каждого приписывания формулам А в D формула В получает значение Т каждый раз, как каждое А получает значение Т. Далее, если переменная х входит как свободная в какую-либо формулу А, то при каждом приписывании формулам А для всех свободных вхождений х в поле D выбирается одно и то же значение, т. е., выбирая приписывание формулам А, такое х рассматривают как постоянную.
Правило us (универсальной конкретизации). Существует формула (х)А(х), предшествующая формуле Е, такая, что Е есть А(у), результат подстановки в формулу А(х) переменной у вместо х, причем подстановки эти ограничиваются требованием, чтобы ни одно из получающихся в результате вхождений у не было связанным.
Правило ug (универсального обобщения). Е имеет форму (х)А(х), где А(х) является предшествующей формулой, такой, что х есть переменная, не имеющая свободных вхождений ни в одной из посылок.
Положение вещей в вопросе о доказательстве логического следствия в исчислении предикатов оказывается, таким образом, следующим. Мы утверждаем, что А1, А2, . Аm |=В, если мы можем образовать цепочку формул
Такую, что наличие в ней каждого Е можно оправдать на основании одного из правил р, t, us или ug. В самом деле, как и в § 2.4, можно доказать, что если наличие в цепочке каждого Е можно оправдать таким способом, то
А1, А2, . Аm |=(любое Е в последовательности).
Прежнее доказательство сохраняет силу (причем достаточно использовать расширенную форму теоремы 2.7) для случая, когда наличие в цепочке какого-либо Е оправдывается правилами р или t. Те случаи, когда используются правила us или ug, охватываются применением теорем 2.10 (I) и 2.11 (I). Подробное доказательство предоставляется читателю в качестве упражнения.
Мы теперь в состоянии построить формальные выводы для простых рассуждений в том стиле, какой применялся в § 2.4.
1. Рассмотрим следующее рассуждение.
«Ни один человек не является четвероногим. Все женщины — люди. Следовательно, ни одна женщина не является четвероногой». Пользуясь методами перевода, данными в § 2.6, запишем это рассуждение в символической форме:
Читайте также: