Логарифмирование и потенцирование выражений

Обновлено: 28.09.2024

ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ VIII

§ 186. Логарифмирование и потенцирование

Если некоторое выражение составлено из положительных чисел посредством умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня, то логарифм всего этого выражения легко выразить через логарифмы входящих в него чисел.

Тогда по теореме о логарифме дроби

log_ax = log_a(13 2 3 √ 140 ) — log_a 5 √ 67 • 98

Теорема о логарифме произведения дает:

log_a(13 2 3 √ 140 ) = log_a13 2 + log_a 3 √ 140 ,

log_a 5 √ 67 • 98 = log_a 5 √ 67 + log_a 5 √ 98

Теперь, используя теоремы о логарифме степени и корня, получаем:

log_a13 2 = 2 log_a13, log_a 5 √ 67 = 1 /₅ log_a67,

log_a 3 √ 140 = 1 /₃ log_a 140, log_a 5 √ 98 = 1 /₅ log_a 98.

log_ax = 2 log_a13 + 1 /₃ log_a 140 — 1 /₅ log_a67 — 1 /₅ log_a 98.

Переход от выражения к его логарифму называется логарифмированием этого выражения.

Операция, обратная логарифмированию, называется потенцированием. Она заключается в том, что по логарифму некоторого выражения восстанавливается само выражение. Поясним это на следующем примере. Пусть

log_ax = 2 log_a10 — 1 /₂ log_a7 — 3 log_a 3 + 1 /₃ log_a19.

Прежде всего, используя теоремы о логарифме степени и корня, можно записать:

2 log_a10 = log_a10 2 = log_a100,

1 /₂ log_a7 = log_a(7) 1/2 = log_a√ 7 ,

3 log_a 3 = log_a 3 3 = log_a 27,

1 /₃ log_a19 = log_a(19) 1/3 = log_a 3 √ 19

После этого log_ax можно записать в виде

log_ax = log_a100 — log_a√ 7 — log_a 27 + log_a 3 √ 19

Теперь, используя теоремы о логарифме произведения и частного, получим:

log_ax = (log_a100 + log_a 3 √ 19 ) — (log_a√ 7 + log_a 27 ) =

= log_a(100 • 3 √ 19 ) — log_a (√ 7 • 27) = log_a .

log_ax = log_a

Но если логарифмы двух положительных чисел по одному и тому же основанию равны, то равны и сами эти числа. Поэтому

Читайте также: