Логарифмирование и потенцирование выражений

Обновлено: 04.11.2024

ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ VIII

§ 186. Логарифмирование и потенцирование

Если некоторое выражение составлено из положительных чисел посредством умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня, то логарифм всего этого выражения легко выразить через логарифмы входящих в него чисел.

Тогда по теореме о логарифме дроби

logax = loga(13 2 3 √ 140 ) — loga 5 √ 67 • 98

Теорема о логарифме произведения дает:

loga(13 2 3 √ 140 ) = loga13 2 + loga 3 √ 140 ,

loga 5 √ 67 • 98 = loga 5 √ 67 + loga 5 √ 98

Теперь, используя теоремы о логарифме степени и корня, получаем:

loga13 2 = 2 loga13, loga 5 √ 67 = 1 /5 loga67,

loga 3 √ 140 = 1 /3 loga 140, loga 5 √ 98 = 1 /5 loga 98.

logax = 2 loga13 + 1 /3 loga 140 — 1 /5 loga67 — 1 /5 loga 98.

Переход от выражения к его логарифму называется логарифмированием этого выражения.

Операция, обратная логарифмированию, называется потенцированием. Она заключается в том, что по логарифму некоторого выражения восстанавливается само выражение. Поясним это на следующем примере. Пусть

logax = 2 loga10 — 1 /2 loga7 — 3 loga 3 + 1 /3 loga19.

Прежде всего, используя теоремы о логарифме степени и корня, можно записать:

2 loga10 = loga10 2 = loga100,

1 /2 loga7 = loga(7) 1/2 = loga√ 7 ,

3 loga 3 = loga 3 3 = loga 27,

1 /3 loga19 = loga(19) 1/3 = loga 3 √ 19

После этого logax можно записать в виде

logax = loga100 — loga√ 7 — loga 27 + loga 3 √ 19

Теперь, используя теоремы о логарифме произведения и частного, получим:

logax = (loga100 + loga 3 √ 19 ) — (loga√ 7 + loga 27 ) =

= loga(100 • 3 √ 19 ) — loga (√ 7 • 27) = loga .

logax = loga

Но если логарифмы двух положительных чисел по одному и тому же основанию равны, то равны и сами эти числа. Поэтому

Читайте также: