Куб суммы 3 выражений

Обновлено: 22.12.2024

В данной публикации мы рассмотрим одну из формул сокращенного умножения, позволяющую разложить куб суммы на множители, а также, подробно разберем пример решения задачи.

Содержание скрыть
  • Формула куба суммы
  • Доказательство формулы
  • Пример

Формула куба суммы

Куб суммы слагаемых a и b равняется кубу a плюс утроенное произведение квадрата a на b плюс утроенное произведение квадрата b на a плюс куб b .

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Формула равносильна и в обратном порядке:

a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3

Доказательство формулы

Куб числа/выражения – это его возведение в третью степень. Давайте представим наше выражение в виде куба:
(a + b) 3 = (a + b)(a + b)(a + b) .

Перемножаем скобки с учетом арифметических правил:
(a + b)(a + b)(a + b) = (a + b)(a + b) 2 = (a + b)(a 2 + 2ab + b 2 ) = a 3 + 2a 2 b + ab 2 + a 2 b + 2ab 2 + b 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 .

Примечание: при раскрытии скобок использовалась формула квадрата суммы:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 .

Пример

Чему равен куб суммы (5x + 7y) 3 ?

Решение
Используем формулу сокращенного умножения:
(5x + 7y) 3 = (5x) 3 + 3 ⋅ (5x) 2 ⋅ 7y + 3 ⋅ 5x ⋅ (7y) 2 + (7y) 3 = 125x 3 + 525x 2 y + 735xy 2 + 343y 3

Проверка
Выполним перемножение трех одинаковых скобок:
(5x + 7y) 3 = (5x + 7y)(5x + 7y)(5x + 7y) = (5x + 7y)(5x + 7y) 2 = (5x + 7y)(25x 2 + 70xy + 49y 2 ) = 125x 3 + 350x 2 y + 245xy 2 + 175x 2 y + 490xy 2 + 343y 3 = 125x 3 + 525x 2 y + 735xy 2 + 343y 3

Читайте также: